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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题28 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．（2019·全国Ⅱ卷理）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】A选项中α面内的无数条直线不一定是两条相交直线C选项中平行于同一条直线的两个平面也可以相交D选项垂直于同一个平面的两个平面也可以相交。
故答案为：B
2．（2019·上海）已知平面 、 、 两两垂直，直线 、 、 满足： ， ， ，则直线 、 、 不可能满足以下哪种关系（　　）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【答案】B
【解析】解：如图1，可得 、 、 可能两两垂直；
如图2，可得 、 、 可能两两相交；
如图3，可得 、 、 可能两两异面；
故答案为：B．
1．平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
5．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
6．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
7．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
考点一　基本事实应用
【方法总结】共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
【答案】证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝A1B．
又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，
即E，C，D1，F四点共面．
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则P∈CE，且P∈D1F，
∵CE 平面ABCD，D1F 平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1．
又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点．
考点二　空间线面位置关系
【方法总结】(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
2．下列推断中，错误的是(　　)
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
【答案】C
【解析】对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对；
对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB α，AB β，即α∩β＝AB，B对；
对于C，若l∩α＝A，则有l α，A∈l，但A∈α，C错；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．
3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝．
所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，
于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
考点三　空间几何体的切割(截面)问题
【方法总结】(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
4．(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是(　　)
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积最大值为3
【答案】ACD
【解析】易知A，C正确，B不正确，下面说明D正确，
如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝2，GH＝，
OE＝＝＝，
所以S＝2××(＋2)×＝3，
故D正确．
一、单选题
1．（2022·汝州模拟）已知 ， 是两条直线， ， ， 是三个平面，则下列说法错误的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】B
【解析】A选项，面面平行具有传递性，A选项正确；
B选项，若 ， ，则 可能包含于 ，B选项错误；
C选项，若 ， ，则 ，C选项正确；
D选项，根据面面垂直的判定定理可知D选项正确．
故答案为：B．
2．（2022·安徽模拟）设m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】A选项，若，则可能异面，所以A选项错误.
B选项，若，则可能，所以B选项错误.
C选项，若，根据面面垂直的判定定理可知，所以C选项正确.
D选项，若，则可能，所以D选项错误.
故答案为：C
3．（2022·衡阳二模）设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
【答案】A
【解析】对于A选项，设直线、的方向向量分别为、，
因为，，则平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
因为，则，故，A对；
对于B选项，若，，，则、平行或异面，B不符合题意；
对于C选项，若，，，则、的位置关系不确定，C不符合题意；
对于D选项，若，，，，则、平行或相交，D不符合题意.
故答案为：A.
4．（2022·湖州模拟）已知直线 平面 ，点 平面 ，那么过点 且平行于直线 的直线（　　）
A．有无数条，仅有一条在平面 内
B．只有一条，且不在平面 内
C．有无数条，均不在平面 内
D．只有一条，且在平面 内
【答案】D
【解析】解：过直线l与点P的平面有且只有一个，记该平面为β,
又因直线l//平面α，点P∈平面α,
所以过点P且平行于直线l的直线只有一条，且这条线为平面α与平面β的相交线.
故答案为：D.
5．（2021高三上·河南月考）如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，取的中点，连接，，则，为异面直线，所成的角．
由题意可知，，，
所以．
故答案为：B
6．（2022·安徽模拟）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图1，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长和攒尖高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，连接，设为的中点，
，
异面直线与所成角为或其补角．
连接，
所以，在正四棱锥中，，，
平面，
，设，则由题意得，
在中，．
故答案为：C．
7．（2022·福州模拟）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，则（　　）
A．，与是共面直线 B．，与是共面直线
C．，与是异而直线 D．，与是异面直线
【答案】A
【解析】解：由题意，圆柱的轴截面为边长为2的正方形，是的中点，是的中点，
所以，
所以与是共面直线，
又，
故答案为：A.
8．（2022·沧州模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接.
因为为中点，且，所以四边形为矩形，
所以，所以或其补角为异面直线与BD所成的角.
设圆O的半径为1，则.
因为，所以.
在直角中，，得.
所以，
所以异面直线与BD所成角的余弦值为.
故答案为：C.
9．（2022·泰安二模）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取中点，连接，
由可得是的外心，则平面，又，，
由得，即，又，，分别是中点，
，，以为轴建立空间直角坐标系，
则，与平行的向量，
，故异面直线PB与AC所成角的余弦值为。
故答案为：A.
10．（2022·渭滨模拟）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（　　）
A．60° B．90 C．30° D．75°
【答案】B
【解析】不妨设，则，
如图，延长至点，使，
连接，易得四边形为平行四边形，
所以，所以（或其补角）即为与所成的角，
连接，易求得，
所以，则.
故与所成角的大小为90°.
故答案为：B
二、填空题
11．（2022·常州模拟）在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为　 　．
【答案】
【解析】如图，取中点，连接，
所以，则（或其补角）即为与BD所成角，
因为平面BCD，所以，所以，则，
因为，所以，所以，
取BD中点，连接，所以，所以平面，
所以，又，，
所以，
所以.
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：.
12．（2022·广东模拟）如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点），其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：　 　.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）
【答案】AE和DF（AE和DG，AE和GF，AG和DF）（写出其中一对即可）
【解析】解：如图所示，连接和,相交于点,连接.
因为,
所以, 所以,
又,所以,
所以, , 所以.
因为, 所以.
又因为平面,
所以平面, 又平面,
所以.
故答案为：AE和DF.
13．（2022·济南模拟）下列命题：
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；
③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；
⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直．
其中正确命题的序号为　 　．
【答案】①②③
【解析】①，根据平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线平行.所以①正确，
②，根据线面平行的判定定理可知：如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行，所以②正确.
③，结合面面平行的判定定理可知：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.所以③正确.
④，如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线可能在这个平面内，所以④错误.
⑤，如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，直线时，，但与不垂直.所以⑤错误.
故答案为：①②③
14．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：
①若，，，则直线与可能平行；
②若，，，则直线与可能相交 平行或异面；
③若，，则直线与一定垂直；
④若，，，则直线与一定平行.
以上说法正确的是　 　.（填序号）
【答案】①③
【解析】对于①，若是两个平面的交线时，能够找到且的直线，故①正确；对于②，若，，，直线与不可能平行，故②错误；对于③，根据线面垂直 线面平行的性质可知直线与一定垂直，故③正确；对于④，若，，，则直线与可能平行也可能异面，故④错误.
故答案为：①③
15．（2021·大理模拟）如图，在正方体 中，点 在线段 上移动，有下列判断：①平面 平面 ；②平面 平面 ；③三棱锥 的体积不变；④ 平面 ．其中，正确的是　 　．（把所有正确的判断的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】①因为在正方体中有 , ,且 平面 , 平面 ,所以 平面 ,同理得 平面 ,
又 ,所以平面 平面 ,
又点 在线段 上移动,所以平面 平面 ,所以①正确;
②因为 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，
因为 ，根据三垂线定理可得 ，
同理可得 ，
因为 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，所以②正确；
③由①知 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值,所以三棱锥 的体积不变，所以③正确；
④由②知 平面 ，而 与 交于 ，所以 与平面 不垂直，所以④不正确。
故答案为:①②③
三、解答题
16．（2022·滨海模拟）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线BE与直线DF所成角的余弦值；
（3）求点D到直线BF的距离．
【答案】（1）证明：∵AE∥CF，AE 平面BFC，CF 平面BFC，
∴AE∥平面BCF，
∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，
又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE，
∵BF 平面BFC，∴BF∥平面ADE
（2）解：以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1），
则=（-2，0，2），=（2，-1，1），
∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为
（3）解：根据（2）可知=（0，2，1），=（2，-1，1），
【解析】（1） 利用AE∥CF结合线线平行证出线面平行，所以AE∥平面BCF，再利用AD∥BC结合线线平行证出线面平行，可得AD∥平面BFC，再结合线面平行证出面面平行，所以平面BCF∥平面ADE，再利用线面平行的性质定理证出线面平行，从而证出直线BF∥平面ADE。
（2） 以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式得出直线BE与直线DF所成角的余弦值。
（3） 根据（2）结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，得出 的值， 从而得出点D到直线BF的距离。
17．（2022·上海市模拟）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成角的大小等于．
（1）当时，求异面直线与所成的角；
（2）当三棱锥的体积最大时，求的值．
【答案】（1）解：取中点，
因为是中点，则，是中点，则，
所以是与所成的角或其补角，是与所成的角或其补角．
，，，
若，则，
，，
是圆锥的高，而在底面上，因此，
所以，所以，；
若，则，
，，
是圆锥的高，而在底面上，因此，
所以，所以，．
（2）解：三棱锥中顶点到底面的距离不变，只有最大时，三棱锥的体积最大，
，
所以时，最大．
此时，
，
，．
所以．
【解析】（1） 取中点，是与 成的角或其补角， 是与所成的角或其补角， 根据异面直线所成角的定义分类讨论，求得，从而求得结论；
（2）由体积公式确定三棱锥体积最大时，然后求出相应线段长得异面直线所成的角．
18．（2022·宝山二模）在长方体－A1B1C1D1中，，，点是棱上的点，.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）解：在平面ABCD内作交于，连接，
则为异面直线与所成角或其补角.
因为，所以，所以，
因为，所以
而所以△为正三角形，，
从而异面直线与所成角的大小为.
（2）解：设点到平面的距离为，
，，
由得，所以
【解析】（1） 在平面ABCD内作交于，连接， 进而得到 为异面直线与所成角或其补角. 进而可求解；
（2） 设点到平面的距离为， 由由即可求解。
19．（2022·静安模拟）如图，在正三棱柱中，．
（1）求正三棱柱的体积；
（2）若点M是侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）解：由已知；
（2）解：因为，所以或其补角是所求异面直线所成的角，
在中，，，
．
所以异面直线与所成角的余弦值是．
【解析】（1）利用已知条件结合正三棱柱的体积公式，进而求出正三棱柱的体积。
（2）利用 ，所以或其补角是所求异面直线所成的角，在中结合勾股定理得出的长，再利用结合余弦函数的定义，得出异面直线与所成角的余弦值 。
20．（2022高三上·宝山模拟）如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱与的中点.
（1）求以，，，为顶点的四面体的体积；
（2）求异面直线和所成的角的大小.
【答案】（1）解：连接，，，以，，，为顶点的四面体即为三棱锥，
底面的面积，
高，
则其体积；
（2）解：连接，，，则即为异面直线和所成的角的平面角，
在中，，，，
则，
故，
即和所成的角的的大小为.
【解析】(1)根据题意， 以，，，为顶点的四面体即为三棱锥， 由棱锥体积公式计算可得以，，，为顶点的四面体的体积；
(2)根据题意， 连接，，，则即为异面直线和所成的角的平面角， 进而由余弦定理求出∠D1PA的余弦值，即可求出 和所成的角的的大小 .<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题28 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．（2019·全国Ⅱ卷理）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
2．（2019·上海）已知平面 、 、 两两垂直，直线 、 、 满足： ， ， ，则直线 、 、 不可能满足以下哪种关系（　　）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
1．平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
5．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
6．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
7．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
考点一　基本事实应用
【方法总结】共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
考点二　空间线面位置关系
【方法总结】(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
2．下列推断中，错误的是(　　)
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
考点三　空间几何体的切割(截面)问题
【方法总结】(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
4．(多选)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是(　　)
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积最大值为3
一、单选题
1．（2022·汝州模拟）已知 ， 是两条直线， ， ， 是三个平面，则下列说法错误的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
2．（2022·安徽模拟）设m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．（2022·衡阳二模）设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
4．（2022·湖州模拟）已知直线 平面 ，点 平面 ，那么过点 且平行于直线 的直线（　　）
A．有无数条，仅有一条在平面 内
B．只有一条，且不在平面 内
C．有无数条，均不在平面 内
D．只有一条，且在平面 内
5．（2021高三上·河南月考）如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·安徽模拟）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图1，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长和攒尖高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·福州模拟）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，则（　　）
A．，与是共面直线 B．，与是共面直线
C．，与是异而直线 D．，与是异面直线
8．（2022·沧州模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·泰安二模）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·渭滨模拟）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（　　）
A．60° B．90 C．30° D．75°
二、填空题
11．（2022·常州模拟）在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为　 　．
12．（2022·广东模拟）如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点），其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：　 　.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）
13．（2022·济南模拟）下列命题：
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；
③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；
⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直．
其中正确命题的序号为　 　．
14．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：
①若，，，则直线与可能平行；
②若，，，则直线与可能相交 平行或异面；
③若，，则直线与一定垂直；
④若，，，则直线与一定平行.
以上说法正确的是　 　.（填序号）
15．（2021·大理模拟）如图，在正方体 中，点 在线段 上移动，有下列判断：①平面 平面 ；②平面 平面 ；③三棱锥 的体积不变；④ 平面 ．其中，正确的是　 　．（把所有正确的判断的序号都填上）
三、解答题
16．（2022·滨海模拟）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线BE与直线DF所成角的余弦值；
（3）求点D到直线BF的距离．
17．（2022·上海市模拟）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成角的大小等于．
（1）当时，求异面直线与所成的角；
（2）当三棱锥的体积最大时，求的值．
18．（2022·宝山二模）在长方体－A1B1C1D1中，，，点是棱上的点，.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
19．（2022·静安模拟）如图，在正三棱柱中，．
（1）求正三棱柱的体积；
（2）若点M是侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
20．（2022高三上·宝山模拟）如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱与的中点.
（1）求以，，，为顶点的四面体的体积；
（2）求异面直线和所成的角的大小.

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