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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题29 直线、平面平行的判定与性质
1．（2021·浙江）如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，则（　　）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), A(2,0,0), A1(2,0,2), B(2,2,0), D1(0,0.2), M(1,0,1), N(1,1,1), B1(2,2,2),
对于A: 因为因为所以,
即 , 又因为则AB||MN,于是AB∥平面ABCD，A符合题意；
对于B: 由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意；
对于C: A1D与D1B是异面的, 不平行，故C不符合题意；
对于D: A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；
故答案为：A.
2．（2019·浙江）平面a与平面β平行的条件可以是（　　）
A．a内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥a，a∥B，且直线a不在a内，也不在β内
C．直线a a，直线b B，且a∥B，b∥a
D．a内的任何直线都与β平行
【答案】D
【解析】解：A选项无穷多条直线不一定含有两条相交直线，故错误。B选项中描述的这种情况可能两个平面是相交的。故错误。C选项没有强调两条相交直线，故错误。进而得出D正确。
故答案为：D
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
【常用结论】
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a α，则a∥β.
考点一　直线与平面平行的判定与性质
【方法总结】(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明　如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE.
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解　l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
2．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
【答案】证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
考点二　平面与平面平行的判定与性质
【方法总结】证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ)．
3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
【答案】证明：(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
一、单选题
1．（2022·东北三省模拟）设表示直线，表示平面，使“”成立的充分条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，，，
【答案】C
【解析】对于A，当，时，可能、或与相交，充分性不成立，A不符合题意；
对于B，当，时，可能或与相交，充分性不成立，B不符合题意；
对于C，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C符合题意；
对于D，若，则，，，无法得到，充分性不成立，D不符合题意.
故答案为：C.
2．（2022·张家口模拟）如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知平面与棱柱上，下底面分别交于，，
则∥，，
显然是三棱台，
设的面积为1，的面积为S，三棱柱的高为h，
，
解得，
由，可得.
故答案为：D.
3．（2022高三上·西城期末）如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】D
【解析】在直三棱柱中，
因为,平面,平面,所以平面，A符合题意；
因为平面平面，平面，所以平面，B符合题意；
取中点,连接,
因为点，F分别是棱，BC的中点，所以,且,所以，四边形为平行四边形，所以,平面，平面,所以平面,C符合题意；
取中点,连接,可证得四边形为平行四边形，所以,与平面相交,所以与平面相交,D不正确；
故答案为：D.
4．（2021高三上·信阳开学考）已知a，b为空间中两条不同的直线， 为空间中两个不同的平面，则下列条件中使 一定成立的是(　　)
A． ， ， B． ， ，
C． ， D． ， ，
【答案】A
【解析】对于A， 一定成立；对于B，可能 ，也可能a与b异面；对于C，a，b平行或相交；对于D，a，b异面或相交.
故答案为：A.
5．（2021·青岛模拟）设 、 是空间两个不同平面， 、 、 是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若直线 与 相交， ， ，则 与 相交
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ， ， ，则
【答案】D
【解析】对于A选项，若 ， ，则 或 ，A选项错误；
对于B选项，若直线 与 相交， ， ，则 与 相交或平行，B选项错误；
对于C选项，若 ， ，则 与 的位置关系不确定，C选项错误；
对于D选项，若 ， ， ， ，由面面垂直的性质可得 ，
，所以， ，D选项正确.
故答案为：D.
6．（2022·成都模拟）已知，为空间中的两个平面，m，n为两条异面直线，且平面，平面．若直线l满足，，，，则（　　）．
A．， B．与相交，且交线垂直于l
C．， D．与相交，且交线平行于l
【答案】D
【解析】若，由平面，平面易知：与m，n异面矛盾，A不符合题意；
若，平面有或，又且，则或相交，C不符合题意；
若，过上一点作交于，，连接，
由知：，又，，则面，
由则，，又，则，，，
所以面，
综上，，故与相交，且交线平行于l，D符合题意，B不符合题意.
故答案为：D
7．（2022·顺义模拟）如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；
，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；
平面就是平面，而与平面相交，③错；
长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．
故答案为：C．
8．（2022·贵阳模拟）已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（　　）
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】D
【解析】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图，
当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确；
当直线为直线a时，满足，，而，②不正确；
在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则，
而，则，又，m，n是相交直线，所以，③正确；
因，过直线b作平面，如图，
则有，又，，于是得，从而得，④正确，
所以给定命题正确的是③④.
故答案为：D
9．（2022·大连模拟）如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是(　　)
A．存在点F，使得为直角
B．对于任意点F，都有直线∥平面
C．对于任意点F，都有平面平面
D．当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大
【答案】C
【解析】对于A，易知，故与不垂直，A不符合题意；
对于B，连接、AC、EF，则平面平面=EF，
若∥平面，则∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时与EF才平行，B不符合题意；
对于C，连接、、、、、，
由AB⊥平面得AB⊥，易知⊥，
∵AB∩=A，AB、平面，∴⊥平面，
∴⊥，同理可证⊥，
∵∩=，、平面，∴⊥平面，
∵平面，∴平面⊥平面，C符合题意；
对于D，连接、、，
∵∥，平面，平面，
∴∥平面，则F到平面的距离为定值，
又△面积为定值，故三棱锥F-体积为定值，D不符合题意．
故答案为：C．
10．（2022·安康模拟）如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：
①平面；②平面；③平面；④直线交于一点.其中正确命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：因为，所以且，又分别为的中点，所以且，则，又平面，平面，所以平面，
因为 为 的中点， 为 的一个三等分点，所以 与 为相交直线，故 与平面 必不平行， 也不平行平面 ，
因为 为梯形，所以 与 必相交，设交点为 ，
又 平面 ， 平面 ，
则 是平面 与平面 的一个交点，
所以 ，即直线 交于一点，
故答案为：B.
二、填空题
11．（2022·鹤壁模拟）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是　 　．
①若平面，则动点Q的轨迹是一条线段②存在Q点，使得平面③当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大④若，那么Q点的轨迹长度为
【答案】①③④
【解析】在正方体中，取的中点E，F，连，如图，
则，平面，平面，则有平面，
因点P为棱的中点，有，，即有为平行四边形，
则，而平面，平面，有平面，
，平面，因此，平面平面，因平面，
则平面，又点Q在平面，平面平面，即点Q的轨迹为线段EF，①正确；
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，若平面，则，即，
，所以不存在Q点，使得平面，②不正确；
因的面积为定值，当且仅当点Q到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，
，点Q到平面的距离，而，则当时，，
而，即，因此点与点重合时，三棱锥的体积最大，③正确；
因平面，平面，则，因此，
显然点Q的轨迹是以为圆心，半径为，所含圆心角为的扇形弧，弧长为，④正确.
故答案为：①③④
12．（2022·长春模拟）如图，在边长为2的正方体中，点P是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：
①
②面积的最大值是
③面积的最小值是
④当时，平面平面
其中所有正确结论的序号是　 　.
【答案】①②④
【解析】在正方体中，
，
故平面，又，
则，①正确；
连接BD交AC与E，由，则，
，则求的面积的最值等价于求PE长度的最值.
在中，当时，最小，易知，，
，此时，
此时，的面积的最小值为，故③错误；
当与重合时，最大，易知，，
此时，的面积的最大值为，故②正确；
当时，在中，，，
则，
则，又，
故平面，
由正方体体对角线性质，易知，即平面，
故平面平面，④正确；
故答案为：①②④.
13．（2021高三上·洮南月考）如图，在正方体 中，M为棱 的中点，N是棱 上的动点（不与端点 重合）.
给出下列说法：
①当N变化时，三棱锥 的体积不变；
②当N变化时，平面 内总存在与平面 平行的直线；
③当N为 中点时，异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
④存在点N，使得直线 平面 .
其中所有正确的说法是　 　 .
【答案】①②
【解析】对于①，三棱锥 的体积 .
当N变化时， 和h均不变，所以三棱锥 的体积不变，故①中说法正确.
对于②，如图，连接 ，在平面 内，过N作 ，交 于P，过P作 ，交 于Q，连接 ，则平面 平面 ，又 平面 ，所以平面 内总存在与平面 平行的直线，故②在说法正确.
对于③，当N变化时，在正方体 后方再补一个形状大小相同的正方体 ，如图所示.取 中点 ，连接 ， ，则 ，所以 或其补角为异面直线 与 所成角.设正方体的棱长为2，在 中，易得 ， ， ，由余弦定理得 ，故③中说法错误.
对于④，若存在点N，使得 平面 ，则 ，易知 ， ，所以 平面 ，连接 ，则 ，这显然不成立，故④中说法错误.
综上知， ①②正确.
14．（2021·成都一模）如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，点 是棱 上一点， ，若 且满足 平面 ，则 　 　．
【答案】
【解析】如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 ，
在线段 取一点 使得 ，则 .
连接 ，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 且满足 ，故平面 平面 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，则 .
所以 ，即 为所求.
故答案为： .
15．（2020·南京模拟）给出下列命题：
①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，真命题是　 　．(填序号)
【答案】①③④
【解析】由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；
根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即③正确；
根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确，
故真命题有①、③、④三个.
三、解答题
16．（2021高三上·河南月考）如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， ， ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若 的面积为 ，求点 到平面 的距离．
【答案】解：（Ⅰ）在平面 内，因为 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，故 BC∥平面 ．
（Ⅱ）因为等边 的面积为 ，
所以 ．
如图，取 的中点 ，连接 ．
由 ， ， 可知四边形 为正方形，
所以 且 ，
在等腰直角三角形 中可得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
因为侧面 底面 ，交线为 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
故点 到平面 的距离为 ．
【解析】（Ⅰ） 根据题意由角的大小结合已知条件即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由题意作出辅助线，结合中点的性质和三角形的几何性质即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，由此得出点到平面的距离，然后由边之间的关系计算出结果即可。
17．（2021高三上·湖北开学考）如图，在三棱锥 与三棱锥 拼接而成的五面体中， 平面 ，平面 平面 ， 是边长为 的正三角形， 是直角三角形，且
（1）求证： 平面 ；
（2）若多面体 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）设点 为 中点， 是正三角形，可得 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又由 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）连接 ，由 ，
可得 ，解得
又由平面 平面 ，过点 作 的垂线，连接 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 是边长为 的正三角形， 是直角三角形，且 ，
可得 ，
所以 ，
设平面BEF的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，可得 ，即 ，
又由 ，
若 与平面 所成角为 ，则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【解析】(1)由已知条件作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，再由平行的传递性得到线线平行，结合线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)首先由已知条件由体积分割法代入数值计算出，然后由面面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面 BEF 法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面 BEF 的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式以及线面角的性质代入数值即可求出夹角的正弦值，由此得到直线 与平面 所成角的正弦值。
18．已知等腰直角 ， ，点 ， 分别为边 ， 的中点，沿 将 折起，得到四棱锥 ，平面 平面 .
（Ⅰ）过点 的平面 平面 ，平面 与棱锥 的面相交，在图中画出交线；设平面 与棱 交于点 ，写出 的值（不必说出画法和求值理由）；
（Ⅱ）求证：平面 平面 .
【答案】解：过 作 交 于 ，由 ， 分别为边 ， 的中点，即 ，
∴ 为平行四边形，则 为 的中点，再过 作 交 于 ，
∴在△ 中， 为中位线，即 为 的中点，所得平面 即为平面 ，如下图示，
∴由上，知： .
（Ⅱ）由题设知： ，
面 面 ，面 面 ， ， 面 ，
面 ，又 ， 面 ，
， ，又 ，
， ， 三条棱两两互相垂直.
以 为原点，分别以射线 ， 、 的方向为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 ，平面 的法向量分别为 ， ，
，即 ，取 ，则 ，
，即 ，取 ，则 ，
，
平面 平面
【解析】（1）根据题意即可得出AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据两个平面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD
（2）由于平面α∥平面ABC，故平面ACD与平面α的交线MQ∥AC，M是CD的中点，故Q是AD的中点；同理平面BCDE与平面α的交线MN∥BC，N为BE的中点；平面ABE的交线NP∥AB，P为AE的中点，连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形就是四边形MNPQ，进一步观察可知四边形MNPQ是直角梯形，进而由比例关系可以求得截面面积与△ABC的面积之比.
18．（2022·新高考Ⅱ卷）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）解：过点 作 ，以AB为 轴，AC为 轴，AF为z轴建立如图所示的空问直角坐标系.
因为 ，由(1) ，
义 ，所以， ，所以 ， ， ，设 ，则 ，
平面AEB的法向量设为 ，所以 ，所以 ，设 ，则 ，所以 ：
平面AEC的法向量设为 ，所以 ，所以 ，设 ，则 ，阦以 ：
所以
二面角 的平面角为 ，则 ，所以二面角 的正弦值为 。
【解析】（1） 连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到，再根据直角三角形性质得到，即可得到 为 的中点从而得到，即可得证；
（2）过点 作 ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
20．（2022·安徽模拟）如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.
（1）求证：平面平面BDF；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以.
因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以
又平面BDF，平面BDF，
所以平面.
同理，，又平面BDF，平面BDF，
所以平面.
又，平面，
所以平面平面
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，因为，所以，
所以直线与平面所成角的大小为.
【解析】（1）依题意可得四边形是平行四边形，即可得到，从而得到 平面. ，同理可证 平面 ，即可得证.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解；<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题29 直线、平面平行的判定与性质
1．（2021·浙江）如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，则（　　）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
2．（2019·浙江）平面a与平面β平行的条件可以是（　　）
A．a内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥a，a∥B，且直线a不在a内，也不在β内
C．直线a a，直线b B，且a∥B，b∥a
D．a内的任何直线都与β平行
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
【常用结论】
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a α，则a∥β.
考点一　直线与平面平行的判定与性质
【方法总结】(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
1．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
2．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
考点二　平面与平面平行的判定与性质
【方法总结】证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ)．
3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
一、单选题
1．（2022·东北三省模拟）设表示直线，表示平面，使“”成立的充分条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，，，
2．（2022·张家口模拟）如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·西城期末）如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
4．（2021高三上·信阳开学考）已知a，b为空间中两条不同的直线， 为空间中两个不同的平面，则下列条件中使 一定成立的是(　　)
A． ， ， B． ， ，
C． ， D． ， ，
5．（2021·青岛模拟）设 、 是空间两个不同平面， 、 、 是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若直线 与 相交， ， ，则 与 相交
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ， ， ，则
6．（2022·成都模拟）已知，为空间中的两个平面，m，n为两条异面直线，且平面，平面．若直线l满足，，，，则（　　）．
A．， B．与相交，且交线垂直于l
C．， D．与相交，且交线平行于l
7．（2022·顺义模拟）如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
8．（2022·贵阳模拟）已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（　　）
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
9．（2022·大连模拟）如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是(　　)
A．存在点F，使得为直角
B．对于任意点F，都有直线∥平面
C．对于任意点F，都有平面平面
D．当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大
10．（2022·安康模拟）如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：
①平面；②平面；③平面；④直线交于一点.其中正确命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2022·鹤壁模拟）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是　 　．
①若平面，则动点Q的轨迹是一条线段②存在Q点，使得平面③当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大④若，那么Q点的轨迹长度为
12．（2022·长春模拟）如图，在边长为2的正方体中，点P是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：
①
②面积的最大值是
③面积的最小值是
④当时，平面平面
其中所有正确结论的序号是　 　.
13．（2021高三上·洮南月考）如图，在正方体 中，M为棱 的中点，N是棱 上的动点（不与端点 重合）.
给出下列说法：
①当N变化时，三棱锥 的体积不变；
②当N变化时，平面 内总存在与平面 平行的直线；
③当N为 中点时，异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
④存在点N，使得直线 平面 .
其中所有正确的说法是　 　 .
14．（2021·成都一模）如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，点 是棱 上一点， ，若 且满足 平面 ，则 　 　．
15．（2020·南京模拟）给出下列命题：
①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，真命题是　 　．(填序号)
三、解答题
16．（2021高三上·河南月考）如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， ， ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若 的面积为 ，求点 到平面 的距离．
17．（2021高三上·湖北开学考）如图，在三棱锥 与三棱锥 拼接而成的五面体中， 平面 ，平面 平面 ， 是边长为 的正三角形， 是直角三角形，且
（1）求证： 平面 ；
（2）若多面体 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．已知等腰直角 ， ，点 ， 分别为边 ， 的中点，沿 将 折起，得到四棱锥 ，平面 平面 .
（Ⅰ）过点 的平面 平面 ，平面 与棱锥 的面相交，在图中画出交线；设平面 与棱 交于点 ，写出 的值（不必说出画法和求值理由）；
（Ⅱ）求证：平面 平面 .
18．（2022·新高考Ⅱ卷）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
20．（2022·安徽模拟）如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.
（1）求证：平面平面BDF；
（2）求直线与平面所成角的大小.

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