资源简介

<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题31 空间向量及其应用
1．（2022·浙江学考）如图，正方体 中，N是棱 的中点，则直线CN与平面 所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 、 交于 ，由正方形的性质可得 ，
又 平面 ，
平面 ， ，
又 与 在平面 内相交，
所以 平面
是 与平面 所成的角，
设正方体的棱长为2，则 ， ，
。
故答案为：B.
2．（2019·浙江）如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，则AC1与侧面ABB1A1所成的角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】解：根据题意作出辅助线如图
取A1B1中点D，连结C1D,AD，
∵正三棱柱ABC-A1B1C1面边长为a，侧棱长为 a ，∴C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,∴C1D⊥平面ABB1A1
∴∠DAC1是AC1与侧面ABB1A1所成的角∵C1D⊥AD,C1D=,AC1=,∴∠DAC1=30 ，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30 。
故答案为：A
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
【常用结论】
1．在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
考点一　空间向量的线性运算
【方法总结】用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
1．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
【答案】(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＝＋＋
＝＋＋
＝a＋c＋
＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋(a＋c＋b)
＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a.
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
考点二　空间向量基本定理及其应用
【方法总结】证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥或∥)．
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
【答案】(1)由题知＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
所以，，共面．
(2)方法一　由(1)知，，，共面且基线过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
方法二　因为＝(＋＋)
＝＋＋，
又因为＋＋＝1，
所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内．
考点三　空间向量数量积及其应用
3．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·.
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
【答案】设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，
＝－a，·＝·(－a)
＝a2－a·c＝.
(2)＝(＋)＝b＋c，
＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝
＝
＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
考点四　向量法证明平行、垂直
【方法总结】(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
4．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
【答案】证明：依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)＝(0,1,1)，
＝(2,0,0)，
故·＝0，
所以BE⊥DC.
(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，
AB 平面ABCD，
所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
所以＝(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，
而·＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，
所以BE⊥AB，
又BE 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知平面PAD的法向量＝(1,0,0)，
＝(0,2，－2)，
＝(2,0,0)，
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令y＝1，可得n＝(0,1,1)为平面PCD的一个法向量．
且n·＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，
所以n⊥.
所以平面PAD⊥平面PCD.
一、单选题
1．（2022·淮安模拟）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（　　）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】因为，在上的投影为1，所以，即；
所以在上的投影为；
故答案为：C.
2．（2021高三上·湖南期中）已知向量 ，则 在 方向上的投影是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得 ，
在 方向上的投影是 .
故答案为：C
3．（2021高三上·金台月考）在长方体中，，，点在上，点在上，，则直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，以，，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，， ，
则，，所以．
所以直线与所成角的余弦值为，
故答案为：A．
4．（2021·马鞍山模拟）我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效.蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成.经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为 ，菱形边长约为 ，则该菱形较小角的余弦值约为（　　）(参考数据： ， )
A．0.333 B．0.4 C．0.5 D．0.667
【答案】A
【解析】如图所示：
且 ，
在 中， ， ，∴ ，
∵ ，
在 中， ，
所以菱形较小角的余弦值为0.333.
故答案为：A.
5．（2021·铁岭模拟）如图在底圆半径和高均为 的圆锥中， 、 是过底圆圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点，已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离等于（　　）．
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，过点 做 ，垂足为 ．
∵ 是母线 的中点，圆锥的底面半径和高均为 ，
∴ ．∴ ．
在平面 内建立直角坐标系如图．
设抛物线的方程为 ， 为抛物线的焦点．
，所以 ，解得 ，
即 ， ， ，
该抛物线的焦点 到圆锥顶点 的距离为 ，
故答案为：A
6．（2022·海宁模拟）如图，在矩形中，，E，F，G，H分别为边的中点，将分别沿直线翻折形成四棱锥，下列说法正确的是（　　）
A．异面直线所成角的取值范围是
B．异面直线所成角的取值范围是
C．异面直线所成角的取值范围是
D．异面直线所成角的取值范围是
【答案】C
【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，
和在平面中的投影分别在和上（如下图所示），
因为，令，则，
由比值可知，的x，y，z坐标比值为，所以令坐标为，
因为在平面中的投影在上，所以，
同理可得坐标为，
，
则，
解得，因为和的范围均为，
所以，即夹角范围是，A，B不符合题意；
同理可得，因为异面直线所成角范围是，则夹角范围是．即C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C．
7．（2022·长春模拟）在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在平面中过作，垂足为；
在平面中过作，垂足为.
由于平面平面，且交线为，
所以平面，平面，
设，
，
同理可得，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设与所成角为，
则.
故答案为：C
8．（2022·浙江模拟）已知点M是棱长为4的正方体的棱的中点.过直线作平面，记平面与棱的交点为K，当平面与底面所成的锐二面角最小时，（　　）
A．3 B． C． D．1
【答案】B
【解析】连接，
则为直线与底面所成的角.
由于平面，因此平面与底面所成的锐二面角的大小不小于.
下面作平面，使得平面与底面所成的锐二面角恰为：
取的中点N，则，故平面.
取的中点E，则，故平面.
则当平面位于平面时，平面与底面所成的锐二面角恰为，
此时平面与底面所成的锐二面角最小.
如图作出截面，其中，，，，
从而，
故答案为：B
9．（2022·滨海模拟）已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，设四点均在以为球心的某个球面上，则到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取AB中点D，连CD，SD，如图，
因为AB是等腰直角的斜边，则D是球O被平面所截圆圆心，，
又，则有，而，即，，
而，平面，则平面，由球的截面圆性质知，球心O在直线SD上，
球半径或，由，即解得，或得无解，
所以到平面的距离为。
故答案为：A
10．（2022·昌平模拟）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．// B．
C．//平面 D．平面
【答案】B
【解析】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B符合题意；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故答案为：B
二、填空题
11．（2022·赣州模拟）已知向量，.若向量在向量方向上的投影为，则　 　.
【答案】3
【解析】因为向量，，向量在向量方向上的投影为，
所以 ，
解得 .
故答案为：3
12．（2022·嘉定模拟）已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为　 　.
【答案】
【解析】设底面半径为,母线长为,底面中心为,
如图:
，
解得:，
在中,,
,
故母线与底面所成角的大小为:。
故答案为:。
13．（2022·普陀模拟）在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为　 　.
【答案】3
【解析】由已知可得，因此，点到平面的距离为。
故答案为：3。
14．（2022·浙江模拟）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是　 　.
【答案】
【解析】设，则平面平面，
由重心的性质可得，
因为底面，，设，
，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
，
设平面，的法向量为，
则，
，
所以，由图可知，
二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为，
正弦值为.
故答案为：
15．（2022·浙江模拟）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，
设，其中，则，
所以，，
所以，，
当且仅当线段与棱或重合时，等号成立，即的最大值为，
，当且仅当与点或重合，、重合于点或点时，等号成立，
但、、为不同的三点，则，
由上可知的最大值为，取线段的中点，
则，
当且仅当线段与棱重合且为棱的中点时，等号成立，则.
综上所述，.
故答案为：.
三、解答题
16．（2022·凉山模拟）如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.
（1）证明：图2中，平面；
（2）图2中，求二面角的正切值.
【答案】（1）证明：由已知得：,
平面，
又平面,
在中，,由余弦定理得：，
，即，平面.
（2）解：由（1）知：平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则与，
即与,..
,
观察可知二面角为钝二面角，二面角的正切值为.
【解析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由此得出线线垂直，再由余弦定理代入数值计算出边的大小，再由刚刚打开计算出垂直，结合线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系式，由此得到二面角的正切值 。
17．（2021·安阳模拟）如图，在梯形 中， ， ， ，四边形 是矩形.
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：在等腰梯形 中， ， ，又 ，即 ，所以 ，且 ，
，即 .
又 四边形 是矩形， .
又 ， 平面 ，又 平面 ， .
（2）解：由条件可知 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，
， .
设平面 的法向量 ，
则有 ，
令 ，得 ， ，
平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角为
又 ， ，
与平面 所成角的正弦值为 .
【解析】(1) 利用边角关系先证明∠BCA=90°，即AC⊥BC，结合AC⊥EC，可证AC⊥平面ECB，从而证明AC⊥EB；
（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面FBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
18．（2021·德阳模拟）四棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ，点 为 的中点.
（1）求证：向量 、 、 共面；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 .
∵点 为 的中点，∴ ，且 ，
又 ， ，
∴ ，且 ，
∴四形边 为平行四边形，则 .
而 平面 ， 平面
∴ 平面 .
故向量 、 、 共面
（2）解：∵ ，∴ ，
而 ， ，
∴ 平面 ，∴ .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 .
如图，以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系
则 ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
不妨令 ，可得： .
设平面 的一个法向量为 ，同理可求得 ，
∴ .
∵二面角 为钝二面角，
∴二面角 的余弦值为
【解析】(1)由已知条件结合中点的性质，即可得出线线平行由此得到 四形边 为平行四边形 ，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)利用线面垂直的性质定理以及判定定理即可得出线面垂直，即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标并设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，再由向量夹角的公式代入计算出夹角的余弦值，由此得出二面角 的余弦值即可。
19．（2022·广东模拟）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，E是棱的中点，F是棱上的点，且A，D，E，F四点共面．
（1）求证：F为的中点；
（2）若为等边三角形，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：四棱锥中，平面平面，
∴平面．
由题意可知E，F在平面内，且A，D，E，F四点共面．
∴，∴．
∵E是棱的中点，∴F为中点．
（2）解：如图：以为x轴，连接中点O与中点G，为y轴，并过O作垂直于平面的z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
，设，则．
∴，
．
因为为等边三角形，所以，
所以为二面角的平面角，又二面角的大小为，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，过作垂直于y轴于点H，因为平面，
所以，又，平面，
所以垂直于平面．且，，，，，∴，
∵E，F分别为中点，∴，
设平面的法向量为，则，
所以，取可得，
设与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】（1）由题意可知 平面． 进而说明即可求证；
（2）建立如图空间直角坐标系， 设，则． 由二面角大小求得a，再求得 直线的方向向量与平面的法向量，代入夹角公式即可。
20．（2022·全国乙卷）如图，四面体 中， ，E为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为 ，E为 的中点，所以 ；
在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为E为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：连接 ，
由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 最小，即 的面积最小.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
因为E为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角的正弦值为 ，
所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
【解析】（1）根据已知关系证明 ，得到 ，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到 ，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题31 空间向量及其应用
1．（2022·浙江学考）如图，正方体 中，N是棱 的中点，则直线CN与平面 所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
2．（2019·浙江）如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，则AC1与侧面ABB1A1所成的角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m＝0
【常用结论】
1．在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
考点一　空间向量的线性运算
【方法总结】用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
1．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
考点二　空间向量基本定理及其应用
【方法总结】证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥或∥)．
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
考点三　空间向量数量积及其应用
3．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·.
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
考点四　向量法证明平行、垂直
【方法总结】(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
4．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
一、单选题
1．（2022·淮安模拟）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（　　）
A．-1 B．2 C．3 D．
2．（2021高三上·湖南期中）已知向量 ，则 在 方向上的投影是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高三上·金台月考）在长方体中，，，点在上，点在上，，则直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·马鞍山模拟）我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效.蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成.经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为 ，菱形边长约为 ，则该菱形较小角的余弦值约为（　　）(参考数据： ， )
A．0.333 B．0.4 C．0.5 D．0.667
5．（2021·铁岭模拟）如图在底圆半径和高均为 的圆锥中， 、 是过底圆圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点，已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离等于（　　）．
A． B．1 C． D．
6．（2022·海宁模拟）如图，在矩形中，，E，F，G，H分别为边的中点，将分别沿直线翻折形成四棱锥，下列说法正确的是（　　）
A．异面直线所成角的取值范围是
B．异面直线所成角的取值范围是
C．异面直线所成角的取值范围是
D．异面直线所成角的取值范围是
7．（2022·长春模拟）在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江模拟）已知点M是棱长为4的正方体的棱的中点.过直线作平面，记平面与棱的交点为K，当平面与底面所成的锐二面角最小时，（　　）
A．3 B． C． D．1
9．（2022·滨海模拟）已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，设四点均在以为球心的某个球面上，则到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·昌平模拟）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．// B．
C．//平面 D．平面
二、填空题
11．（2022·赣州模拟）已知向量，.若向量在向量方向上的投影为，则　 　.
12．（2022·嘉定模拟）已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为　 　.
13．（2022·普陀模拟）在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为　 　.
14．（2022·浙江模拟）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是　 　.
15．（2022·浙江模拟）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是　 　.
三、解答题
16．（2022·凉山模拟）如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.
（1）证明：图2中，平面；
（2）图2中，求二面角的正切值.
17．（2021·安阳模拟）如图，在梯形 中， ， ， ，四边形 是矩形.
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，求 与平面 所成角的正弦值.
18．（2021·德阳模拟）四棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ，点 为 的中点.
（1）求证：向量 、 、 共面；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
19．（2022·广东模拟）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，E是棱的中点，F是棱上的点，且A，D，E，F四点共面．
（1）求证：F为的中点；
（2）若为等边三角形，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2022·全国乙卷）如图，四面体 中， ，E为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值．

展开更多......

收起↑