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第七节 直线与圆的位置关系
知识清单
1．判断直线与圆的位置关系
（1）几何法
圆圆心到直线的距离．
①若直线与圆相离没有交点；
②若直线与圆相切有一个交点；
③若直线与圆相交有两个交点．
（2）代数法
联立直线方程与圆的一般方程，得到方程组，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程．
①若，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；
②若，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
③若，直线与圆没有交点，直线与圆相离．
2．直线与圆相离的应用
（1）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）；
（2）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）．
3．直线与圆相交的应用
（1）弦长（为圆心到直线的距离）；
（2）过圆内一定点最长的弦为直径，最短的弦和定点与圆心的连线垂直；
（3）圆上的点到直线的距离为的个数问题，结合圆心到直线的距离考虑．
4．直线与圆相切的应用
（1）求过圆上一点的切线方程
切线与垂直且过点，点斜式写出切线方程即可
已知圆与圆上一点
则过点的切线方程为
（2）求过圆外一点的切线方程（一定有两条）
圆的方程为，求过圆外一点的切线方程步骤：
①当切线斜率不存在时，验证是否成立；
②当切线斜率存在时，设点斜式方程，，化为一般式，然后用圆心到该直线距离，求解，得到切线方程．
（3）切线长
过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，
则切线长（利用勾股定理求解）．
（4）切点弦问题
过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，
切点弦所在直线方程为：
（以圆心，为半径作圆，然后两圆相减即可）
切点弦的长度：（可利用等面积法或者相似求解）
题型训练
题型一 判断直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．直线与圆相切，则（　　）
A．或12 B．或2 C．或 D．2或12
3．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．直线与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．若直线与圆相切，则
6．已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，
则　 　，　 　
题型二 直线与圆相离的应用
7．已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，
则的最小值为（　 　）
A． B．1 C． D．
8．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的和是（　 　）
A．30 B．18 C． D．
9．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（　　 ）
A． B． C． D．
10．圆上恰有两点到直线的距离为，则的范围是（ 　）
A． B． C． D．
题型三 直线与圆相交的应用
11．直线与圆交于两点，则（ ）
A． B．2 C． D．4
12．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（　 　）
A． B． C． D．
13．已知直线被圆截得的弦长为，则（　 　）
A． B． C． D．
14．过的直线与圆交于两点，若，则l的方程为（　）
A． B．
C．或 D．或
15．圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为（　　 ）
A． B． C． D．
16．已知圆，过点作圆的弦，则弦长的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．3
17．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，
则四边形的面积为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．36
18．圆上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．直线被圆截得的线段长为　　
20．已知圆．
（1）求的取值范围；
（2）若圆与直线相交于两点，且，求的值．
题型四 直线与圆相切的应用
21．已知过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
22．已知过点的直线与圆的圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
23．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（　　）
A．2 B．6 C． D．
24．过点向圆引圆的两条切线，则弦的长为（　　）
A． B． C． D．
25．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
26．点是直线上的一动点，过点向圆引切线，
则切线长的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
27．若实数满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
28．已知圆，过点作圆的切线，切点分别为.
（1）求切线的方程；
（2）求切点弦的长度与直线的方程.
综合训练
1．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
3．已知直线与圆相交于点，且，则k的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线和圆交于两点，为坐标原点，若，
则实数（　 　）
A． B． C． D．
5．直线与圆交于两点，则弦长的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，若存在唯一的点使得，则（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知圆和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．已知直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9．已知直线与圆相交于两点，若，
则圆C的面积为　 　
10．已知直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则　 　
11．设，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则实数的取值范围是
12．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
13．已知平面坐标系内一动点到点的距离是它到点的距离的一半．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求动点到直线的距离的最大值与最小值．
14．已知圆与轴正半轴和直线都相切，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
15．已知圆，过点的直线与圆交于两点
（1）求弦中点的轨迹方程；
（2）已知为上一动点，求的最大值与的最小值．
第七节 直线与圆的位置关系参考答案
题型一 判断直线与圆的位置关系
1-4 C，D，D，A 5．5 6．
题型二 直线与圆相离的应用
7-10 C，C，A，A
题型三 直线与圆相交的应用
11-15 C，B，D，C，D 16-18 A，B，C
19． 20．（1） （2）
题型四 直线与圆相切的应用
21-25 C，D，B，B，A 26-27 C，B
28．（1） （2），直线的方程为
综合训练
1-5 D，B，C，A，C 6-8 B，C，C
9． 10．2 11． 12．
13．（1） （2）最大值为6，最小值为2
14．（1） （2）或
15．（1） （2）的最大值为1，的最小值为8

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