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6.3.2　二项式系数的性质
【考点梳理】
知识点　二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
【题型归纳】
题型一、二项展开式的系数和问题
1．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
2．二项式的展开式中：
（1）求常数项；
（2）求二项式系数和；
（3）求各项系数和；
（4）有几个有理项？
（5）有几个整式项？
3．设，求：
（1）展开式中各项的二项式系数之和；
（2）的值；
（3）的值．
4．已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
5．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和；
（4）系数绝对值的和.
6．若，
求（1）；
（2）展开式中各项的二项式系数之和；
（3）求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值；
（4）a0+a2+a4+a6的值.
7．已知．
（1）若，求n的值．
（2）求的值（用n表示）．
8．已知；求：
（1）；
（2）.
9．已知二项式的展开式中各项系数和为64．
（1）求n；
（2）求展开式中的常数项．
题型二、二项式系数性质的应用
10．己知的展开式中二项式系数和为16．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求．
11．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
12．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项.
13．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在的展开式中，_____．
（1）求的值；
（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．
14．已知.
（1）若展开式中各项系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若展开式中前3项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
15．在的展开式中，
（1）求系数的绝对值最大的项；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）求系数最大的项；
（4）求系数最小的项．
16．已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.
（1）求展开式中含有的项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项.
17．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，解决下面两个问题．已知，若的展开式中，________．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的值．
18．在二项式的展开式中，______.
给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项.
【双基达标】
1．若的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是（ ）
A．240 B．－240 C．160 D．－160
2．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若，则自然数（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．512 B．210
C．211 D．212
5．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项.
A．6 B．5 C．4和6 D．5和7
6．对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
8．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是（ ）
A．第n－k项 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项
9．已知的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是（ ）
A． B． C． D．
10．若，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
11．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
12．已知的展开式中共有7项，则（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
13．已知，记，则n＝_______．
14．的展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）
15．已知．若，则_________．
16．若的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是______.
17．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求m的值；
(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和.
18．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，
(1)求n；
(2)求展开式中系数最大的项．
19．若的展开式中的常数项为．
(1)求a；
(2)若，求．
20．在二项式展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为.
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项.
21．已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
22．求的展开式中：
(1)各项系数之和；
(2)各项系数的绝对值之和；
(3)系数最小的项.
【高分突破】
1．若的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
2．若的展开式中的系数为75，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
3．使得）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．设，则等于（ ）
A．1 B． C．63 D．64
5．已知的展开式中的系数为，则m的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
6．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为（ ）
A．-20 B．-15 C．-6 D．15
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
五、多选题
8．对于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为0 B．二项式系数的最大值为
C．不存在常数项 D．x的系数为－28
9．的展开式中各项系数之和为2，则其中正确的是（ ）
A．a=1
B．展开式中含项的系数是
C．展开式中含项
D．展开式中常数项为40
六、填空题
10．在的二项展开式中，第______项为常数项.
11．若，若，则______．
12．在的展开式中，所有项的系数之和为，则含的项的系数是______．
13．已知，则______．
七、解答题
14．在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于22；②所有奇数项的二项式系数的和为32.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式中二项式系数最大的项；.
(2)求展开式的常数项.
15．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为，
(1)求的值；
(2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项．
16．设，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
17．已知(1+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中系数最大的项．
18．已知.求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
19．已知，求的值．
20．设（，），且．
（1）求n的值；
（2）求的展开式中所有含x奇次幂项的系数和．
21．已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
（1）求a2的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
（3）求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
【答案详解】
【题型归纳】
1．(1)210
(2)1
(3)29，29
(4)奇数项系数和为，偶数项系数和为
【详解】(1)二项式系数的和为.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为.
(4)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10
令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
其中①＋②得：，∴奇数项系数和为；①－②得：，∴偶数项系数和为.
2．（1）；（2）；（3）；（4）3项；（5）2项.
【详解】由已知，，
（1）令，，所以常数项为；
（2）二项式系数为和；
（3）令得所有项系数和为．
（4）由于中，使得为整数的有，因此有理项有3项；
（5）由上知使得为非负整数的有0和6，因此整式项有2项．
3．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）展开式中各项的二项式系数之和;
（2）令，则，
即①，
（3）令，则，
即②，
①+②得，即，
令，得，所以.
4．（1）1；（2）-2；（3）-122.
【详解】（1）令可得．
（2）令可得，
故．
（3）取，得，①
又，②
②-①得，
则．
5．（1）29；（2）－1；（3）；（4）59.
【详解】设，
（1）二项式系数之和为
（2）令，
得，
即各项系数之和为－1；
（3）由（2）知，①
令，
得，②
将①②两式相加，得
此即为所有奇数项系数之和.
（4）方法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋－a9，
令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋－a9＝59
即系数绝对值的和为59.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项系数之和，
令x＝1，y＝1得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a9|＝59，
即系数绝对值的和为59.
6．(1); (2); (3); (4)
【详解】(1)令则,故
(2)二项式系数之和为
(3)令有,
故
(4)令有,
令有.
即,
相加除以2有
7．（1）；（2）.
【详解】（1）因为展开式的通项为，
所以项的系数为，所以，解得；
（2）因为，设项的系数为，
所以，所以且，
所以.
8．（1）-2；（2）
【详解】（1）当时，，
展开式变为，
当时，
（2）由展开式知：均为负，均为正，
令 ①
令 ②
9．（1）6；（2）15
【详解】（1）由题意，二项式的展开式中各项系数和为64，
令，则展开式中各项系数和为，即，解得．
（2）由（1）知，二项式展开式中的第项为，
令，则，　此时常数项为．
10．(1)
(2)
【详解】(1)由题意可得，解得．，展开式中二项式系数最大的项为；
(2)，其展开式的通项为
，令，得．
∴常数项
令，可得展开式中所有项系数的和为，∴．
11．（1），；（2）.
【详解】（1）令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，
依题意，，即，整理得，
于是得，解得，而5为奇数，
所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是，；
（2）由(1)知展开式通项为，
令Tr＋1项的系数最大，则有，即，
整理得，解得，而，从而得，
所以展开式中系数最大项为.
12．（1）－8064；（2）－15360x4.
【详解】由题意，解得n＝5.
（1）的展开式中第6项的二项式系数最大，
即
（2）设第项的系数的绝对值最大，
因为
，
∴，即
,
即系数的绝对值最大的项为－15360x4.
13．（1）条件选择见解析，；（2）1．
【详解】（1）选①：因为，所以n＝8；
选②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以，则n＝8；
选③：因为所有项的二项式系数的和为256，则2n＝256，则n＝8；
（2）二项式的展开式的通项公式为，令，解得r＝6，所以展开式的常数项为，得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，
令x＝1可得展开式的所有项的系数和为．
14．（1），；（2）.
【详解】（1）令，得，解得，
所以的展开式中二项式系数分别为，，，，，，
其中最大的是和，
所以展开式中二项式系数最大的项为第项或第项，
其中，.
（2）由题意可得：，
所以，解得或（舍去）.
设第项的系数最大，
因为，
则，即
所以解得，所以，
所以展开式中系数最大的项为第11项，.
15．（1）第6项和第7项；（2）；（3）；（4）．
【详解】由二项式定理可得的展开式的通项为．
（1）设第项系数的绝对值最大．
则∴解得．
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
（2）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，
所以．
（3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最大的项为．
（4）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，系数最小的项为．
16．（1）；（2）和；（3）.
【详解】（1）令，可得二项展开式的系数和为，又由二项式的二项式系数和为，
根据题意，解得，即二项式为，
可得展开式的通项为，
令，可得，则，
即展开式中含有的项.
（2）因为，所以展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，
由（1）可得，，
展开式中二项式系数最大的项为和.
（3）设展开式中第项系数最大，则，解得且，
所以，可得，
即展开式中系数最大的项为.
17．①②③；（1）第6项,；（2）.
【详解】（1）选择条件①，
若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，
；
选择条件②，
若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，
；
选择条件③，
若的展开式中所有二项式系数的和为，则，
；
由于,∴的展开式中二项式系数最大的项为第6项,；
（2）由（1）知，则，
令，得，
令，则，
.
18．（1），；（2）.
【详解】选择①.
，即，
即，即，
解得或（舍去）.
选择②.
，即，解得.
（1）展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，
，
.
（2）展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中常数项为第7项，
常数项为.
【双基达标】
1．A
【详解】由二项式定理性质可知，二项式系数和为，
所以，
根据二项展开式的通项公式为 ，
令，则，
所以展开式中的常数项为240.
故选：A.
2．A
【详解】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以，
所以的展开式的通项
令，得.
所以展开式中的系数为.
故选：A
3．B
【详解】令，得，
令，得，
所以，.
故选：B.
4．A
【详解】∵的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴，解得n＝10，
对于二项式，令x＝，可得其展开式的奇数项和偶数项的二项式系数之和为0，即奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，又因为所有二项式系数之和为，∴的展开式中奇数项的二项式系数和为，
故选：A．
5．A
【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，
易知当r＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.
故选：A
6．A
【详解】因为，所以，
故选：A.
7．A
【详解】令可得，
所以，展开式有项，
所以二项式展开式中二项式系数最大的为第项，
，
故选：A.
8．D
【详解】第k项的二项式系数是，由于，
所以与第k项二项式系数相同的项是第n－k＋2项.
故选：D.
9．A
【详解】因为的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，
即，所以，
所以二项式系数和是.
故选：A.
10．C
【详解】由题意得，
∴
.
∵
，
∴.
故选：C.
11．AB
【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以，得，
所以题中二项式为，所以二项式展开式的通式公式为：，
对于选项，令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以选项正确；
对于选项，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，所以选项正确；
对于选项，令，则，所以二项展开式中的常数项为，所以选项错误；
对于选项，令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为
，所以选项错误.
故选：.
12．ACD
【详解】因为的展开式中共有7项，
所以，
对于A，所有项的二项式系数和为，所以A正确，
对于B，令，则所有项的系数和为，所以B错误，
对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，
对于D，的展开式的通项公式为，当时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，
故选：ACD
13．200
【详解】已知
两边同时对求导数，可得
，
再令，可得，
故答案为：200．
14．
【详解】令，得各项系数之和为，解得．
故答案为：．
15．36
【详解】对于，
令 ，则 ；
令 ，则 ，
即 ，
故 ,
故答案为：36
16．5
【详解】因为的展开式的各项系数和为32，
令，得，所以，
又，
所以该展开式中的系数是．
故答案为：5
17．(1)
(2)所有项的系数和为，二项式系数和为
【详解】(1)展开式的通项为：，
∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
∴，即.
(2)令可得展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的二项式系数和为.
18．(1)9
(2)
【详解】(1)
由题意得：，解得：或，因为，所以（舍去），从而
(2)
二项式的展开式通项为：，则系数为，要求其最大值，则只要满足，即，解得：，因为，所以，所以系数最大项为
19．(1)
(2)
【详解】(1)的展开式的通项为，，1，…，6．
令，得．
由题意，得，即．解得．
(2)
又，
所以．
令，得，
所以.
20．(1)，常数项为
(2)5
【详解】(1)二项式展开式的通项公式为，
因为第3项和第4项的二项式系数比为，
所以，化简得，解得，
所以，令，得，
所以常数项为
(2)设展开式中系数最大的项是第项，则，
，解得，
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项是第5项
21．(1)2
(2)
【详解】(1)，，
，
令，得，∴．
(2)若，，
记，
，
，
∴
22．(1)-1
(2)
(3)
【详解】(1)设，
令，得；
所以的展开式各项系数之和为-1；
(2)令，得，
两式相减得：，
两式相加得：，
所以的展开式各项系数的绝对值之和为，
；
(3)的展开式的通项公式为：
，
系数的绝对值为，设第r+1项的系数绝对值最大，
则，解得，
则，即系数的绝对值的最大值为，
因为13为奇数，
所以，即第14项的系数最小，
所以系数最小的项为
【高分突破】
1．C
【详解】∵二项式系数最大的项只有第三项，
∴展开式中共有5项，∴．
∴展开式第项为，
∴当时，为常数项.
故选：C．
2．A
【详解】的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，由题知，，解得．
故选：A.
3．D
【详解】的展开式的通项公式为：，
令，可得，
当时，取得最小值为3，
故选：D．
4．C
【详解】依题意，
令得，
令得，
所以.
故选：C
5．A
【详解】，
因为的展开式中的系数为，系数为，
所以的展开式中的系数为，
解得．
故选：A．
6．C
【详解】∵在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，
∴在的展开式有7项，即n=6；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入，即，所以.
∴是展开式的通项公式为：，
要求含的项，只需，解得，所以系数为.
故选：C
7．D
【详解】设
由已知可得，，
因此，.
故选：D.
8．AC
【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确；
对于B，二项式系数最大的为，故B不正确；
对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，不是非负整数，故不存在常数项，故C正确；
对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误.
故选：AC.
9．AC
【详解】令，，故A正确；
的展开式中含项的系数为，故B错误；
的展开式中为项 ，故C正确；
的展开式中常数项为，故D错误.
故选：AC.
10．7
【详解】的二项展开式的通项为，令，解得，即时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项．
故答案为：7．
11．2
【详解】展开式的通项为，令，则，即，
故，令，得.
又，所以
故
故答案为：
12．508
【详解】由题意知，令，则，解得，
所以展开式中含的项为，则含的项的系数是508．
故答案为：508.
13．2
【详解】令，得；
令，得，
故．
故答案为：2
14．(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】(1)选①则
即：，解得或（舍）
选②则∴
∴
二项式系数最大为
(2)令，则
∴展开式的常数项为：
15．(1)
(2)
【详解】(1)的二项展开式中所有项的二项式系数之和，
所以.
(2)，
因此时，有理项为，
有理项是第一项和第七项.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】(1)由，
令，可得.
(2)令，可得，
所以.
(3)令，可得，
令，可得，
所以
17．(1)，
(2)
【详解】(1)令x=1，则展开式中各项系数和为，
又∵展开式中二项式系数和为，
，即n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，；
(2)展开式为，，
设展开式中第r+1项系数最大，
则，即，解得，
因此r=4，即展开式中第5项系数最大， .
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】(1)令，得
∴ .
(2)令x＝1，得
∴ a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(3)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tk＋1＝ (－1)k·25－k·x5－k，
知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(4)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
19．-2
【详解】在展开式中，
令，可得.
20．（1）；（2）3280.
【详解】（1）∵，∴，，．
∵，
∴，
解得或（舍去）．
（2）在中，
令，则，
令，则，
两式相减得，
∴，
即展开式中所有含x奇次幂项的系数和为3280．
21．（1）－49×10；（2）0；（3）310.
【详解】∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，
令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
（1）a2＝(－4)9＝－49×10；
（2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，①
令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，②
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0；
由（2）①+②得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.

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