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6.3.1　二项式定理
【考点梳理】
知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二　二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
【题型归纳】
题型一、二项式定理的正用、逆用
1．利用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
2．已知，则可化简为（ ）
A． B． C． D．
3．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．
4．设n是正整数，化简．
5．求证：．
题型二、二项展开式的通项的应用
6．求下列各展开式中的指定项：
(1)展开式中的第4项；
(2)展开式中的第3项．
7．已知在的展开式中，第项为常数项．
(1)求；
(2)求含项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
8．求展开式的.
（1）第6项的二项式系数；
（2）第3项的系数；
（3）常数项.
9．已知二项式的展开式中共有8项.
（1）求展开式的第4项的系数；
（2）求展开式中含的项.
10．在的展开式中，第项的二项式系数为，
（Ⅰ）求第项的系数（要算出具体数值），
（Ⅱ）展开式中是否含有常数项？若有，请求出来；若没有，说明理由．
题型三、求两个多项式积的特定项
11．的展开式中的系数为（ ）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
12．的展开式中，的系数（ ）
A． B．5 C．35 D．50
13．的展开式中的系数为，则该二项式展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
14．的展开式中的系数为（ ）
A．72 B．60 C．48 D．36
15．展开式中的常数项是______．
16．的展开式中含的项的系数是______．
17．的展开式中项的系数为___________.
18．求展开式中含项的系数．
题型四、二项式定理的应用
19．设，则除以7的余数为（ ）
A．0或5 B．1或3 C．4或6 D．0或3
20．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
21．求证：当n为偶数时，．
22．求证：.
23．（1）求被100除所得的余数．
（2）用二项式定理证明：能被100整除．
【双基达标】
1．展开式中，的系数为（ ）
A．20 B． C．160 D．
2．二项式的展开式中为常数项的是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
3．1－2＋…＋(－2)n等于（ ）
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
4．的展开式中的常数项为（ ）
A．10 B． C． D．
5．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为，若，则b的值可以是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
8．展开=_____．
9．在展开式中，常数项为__________.（用数值表示）
10．若的展开式中常数项为，则实数的值是________．
11．已知在的展开式中，第9项为常数项.求：
（1）展开式中的系数；
（2）含x的整数次幂的项的个数.
12．在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项的系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
13．已知二项式展开式中的第7项是常数项.
(1)求；
(2)求展开式中有理项的个数.
14．求的展开式中含的项．
15．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
16．记的展开式中第项的系数为．
（1）求的表达式；
（2）若，求展开式中的常数项；
（3）若，求的值．
【高分突破】
1．二项式的展开式的中间项为（ ）
A． B． C．和 D．和
2．设，则当n=2021时，a除以15所得余数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．若的二项展开式中有一项为，则（ ）
A． B．60 C． D．90
4．·（x2+2）的展开式中常数项是（ ）
A．332 B．－332 C．320 D．-320
5．已知（x﹣）5的展开式中，常数项为10，则a＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
6．设，下列一定不是二项式展开式中的项的是（ ）
A．6 B． C． D．
7．展开式中含的项是（ ）
A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项
8．已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．展开式中的常数项是___________.
10．二项式的展开式中，常数项是________.
11．设且，则的展开式中常数项为_______．
12．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
13．在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中x的一次项．
14．已知，．
（1）记展开式中的常数项为m，当时，求m的值；
（2）证明：当时，在的展开式中，与的系数相同．
15．在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为7：2；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式前三项的二项式系数的和等于46．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
16．在的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案详解】
1．(1)
(2)
【详解】(1)
(2)
2．A
【详解】,
故选：A.
3．x5－1
【详解】原式＝(x－1)5＋ (x－1)4＋ (x－1)3＋ (x－1)2＋ (x－1)＋－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
故答案为：x5－1.
4．
【详解】由，
∴.
5．证明见解析
【详解】证明：
.
6．(1)
(2)
【详解】(1)展开式中的第4项为
(2)展开式中的第3项
7．(1)；
(2)；
(3)，，.
【详解】(1)通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
(2)由可知，令，解得.
所以含项的系数为.
(3)由题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
8．（1）126（2）9（3）
【详解】（1）由二项式定理及展开式的通项公式可得：第6项的二项式系数为；
（2）由题意可知，，故第3项的系数为9；
（3）因为，
令，解得，
所以
即常数项为.
9．（1）；（2）
【详解】（1）二项式的展开式有项，所以，可得，
展开式的通项为，
所以展开式的第4项的系数为；
（2）展开式的通项为，
所以含的项为.
10．（Ⅰ）；（Ⅱ）不含，理由见解析.
【详解】展开式的通项为，
（Ⅰ）由题意可知：第项的二项式系数，
可得：，
所以展开式的通项为，
所以第项的系数为，
（Ⅱ）该展开式的通项式为
令可得：这与矛盾，
所以展开式中不含有常数项.
11．C
【详解】由题意，的系数为.故选：C.
12．A
【详解】的展开式第项，
当时，；当时，，
∴，
∴的系数为.
故选：A.
13．D
【详解】的展开式通项为，
则，因为，则，
，令，可得，则，得，
因为，在中，令，可得，
因此，展开式中的常数项为.
故选：D.
14．A
【详解】的展开式的通项为.
令，得，令，得，舍去；
令，得.
所以的展开式中的系数为，
故选:A.
15．
【详解】的展开式通项为，
因为，
在的展开式通项，由，可得，
在的展开式通项，由，可得.
因此，展开式中的常数项是.
故答案为：.
16．70
【详解】∵，
又的展开式的一次项为，二次项为
∴的展开式中含项的系数为，
故答案为：70．
17．
【详解】若选后项因式中的1，则前项只能取含对应项，则此时项的系数为；
若选后项因式中的，则前项因式只能取含对应项，此时项的系数为，
则的展开式中项的系数为，
故答案为：10
18．
【详解】因为，
的展开式通项为，的展开式通项为，其中，
所以，的展开式通项为，
由可得或，
因此，展开式中含项的系数为.
19．A
【详解】，
，
，
故除了最后2项外，其余的各项均能被7整除，故它除以7的余数即为除以7的余数，即为0或5，
故选：A
20．B
【详解】依题意，，
当时，，
于是得
.
故选：B
21．证明见解析
【详解】证明：当n为偶数时
①
②
①+②得
.
22．证明见解析.
【详解】左边=
=1=右边.
即证.
23．（1）81；（2）证明见解析
【详解】（1），展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵，前91项均能被100整除，后两项和为919，又余数为正，
∴可从前面的数中分离出1000，结果为，
∴被100除所得的余数为81．
（2）证明：∵
，
∴能被100整除．
【双基达标】
1．D
【详解】展开式通项为，
令可得，
所以的系数为，
故选：D.
2．C
【详解】依题意，的展开式的通项为，，
令，得，即是二项式的展开式的常数项，
所以展开式中的常数项是第5项.
故选：C
3．C
【详解】原式＝(1－2)n＝(－1)n.
4．D
【详解】，
展开式通项为，
令，得，
因此，二项式展开式中的常数项为，
故选：D.
5．C
【详解】展开式的通项为，
令可得为常数项，可得，可得，
故选：C.
6．B
【详解】因为
,
四个选项中，只有时，除以10余数是1．
故选：B．
7．B
【详解】因为，且，
所以，
，
因为能被13整除，
所以能被13整除，
所以，
故选：B
8．
【详解】
．
故答案为：
9．
【详解】展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为，
故答案为：
10．
【详解】因为的通项公式为，
若得到常数项，当取时，令，当取时，令，
解得或（舍），
所以，
因为展开式的常数项为，
所以，
解得．
故答案为：
11．（1） ；（2）6
【详解】（1）在（x2﹣）n的展开式中，第9项为常数项，
而第9项的通项公式为 T9＝ 28﹣n x2n﹣16 x﹣4＝28﹣n x2n﹣20，
故有 2n﹣20＝0，解得 n＝10．
则展开式的通项公式为 Tr+1＝ 2r﹣10 x20﹣2r （﹣1）r ＝（﹣1）r 2r﹣10 ．
令20﹣＝5，求得r＝6，故展开式中x5的系数为 ＝．
（3）由20﹣ 为整数，可得r＝0，2，4，6，8，10，故含x的整数次幂的项的个数为6．
12．（1）264（2）或.
【详解】(1)设第项为，
令解得，
故展开式中含项的系数为.
(2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
∵ ，故或，
解得或.
13．（1）（2）展开式中的有理项共有3项
【详解】（1）二项式展开式的通项为
第7项为常数项，
（2）由（1）知，
若为有理项，则为整数，
为6的倍数，
，共三个数，
展开式中的有理项共有3项.
14．
【详解】由，
可得展开式中含的项为：
.
15．（1）9；（2）T2＝－18x3，9.
【详解】（1）因为，
，
依题意得，所以，
所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9；
（2）设第k＋1项含x3项，则，
所以，k＝1，
所以含x3的项为
二项式系数为．
16．（1） ；（2） ；（3） ．
【详解】（1）的展开式中第项为，所以．
（2）当时，的展开式的第项为．
依题意，令，得，
故展开式中的常数项为．
（3）由（1）及，得，
从而，即．
【高分突破】
1．C
【详解】二项式的展开式共有10项，中间项有两项，为第五项和第六项，，
故选：C．
2．A
【详解】∵(3＋1)n＝4n，
∴a＝4n﹣1，
当时，，
而，
故此时除以15的余数为3.
故选：A.
3．B
【详解】展开式的通项为，
令，解得，所以．故选：B
4．B
【详解】展开式的通项为，
当，即时，，
当，即时，，
故·（x2+2）的展开式中常数项是.
故选：B.
5．A
【详解】的展开式中，通项公式为，
令，求得，
可得常数项为，求得.
故选：A
6．C
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
当时，可得，所以A符合题意；
当时，可得，所以B符合题意；
当时，可得，所以C不符合题意；
当时，可得，所以D符合题意，
故选：C.
7．C
【详解】展开式的通项公式为：；
令；故展开式中含的项是第6项. 故选：C.
8．B
【详解】依题意，的二项展开式通项：，，
于是有：，整理得，即，而，解得，
所以的值为8.
故选：B
9．
【详解】因为展开式的通项为
令，可得常数项是.
故答案为：.
10．7
【详解】二项式的展开式的通项，
由得，则，
所以所求常数项是7.
故答案为：7
11．
【详解】的通项公式为，
，
的常数项为：.
故答案为：
12．(1)
(2)
(3)
【详解】(1)
=
(2)
=
(3)
=
13．
【详解】的展开式通项为，
前3项的系数分别为，
因为前3项的系数成等差数列，所以，
即，解得（舍去）或，
则，令，解得，
所以展开式中x的一次项为.
14．（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）当时，，的展开式可看成4个相乘，每个中取x，，1中的一个，将其分别相乘构成展开式的每一项，
所以要得到常数项，只需取2个x，2个或1个，1个 ，2个1或4个1，所以．
（2）当时，，的展开式可看成10个相乘，每个中取x，，1中的一个，
将其分别相乘构成展开式的每一项．所以要得到，
共有种取法，
所以有个．
同理，要得到，共有种取法，
所以有个，故与的系数相同．
15．（1）；（2）.
【详解】由二项式知：展开式通项为，
①第5项与第3项的二项式系分别为、，故，
∴，整理得，又，解得.
②所有偶数项的二项式系数的和为，可得.
③前三项的二项式系数为，解得.
（1）由上知：展开式通项为，
当，有时，常数项为.
（2）由上知：的展开项通项为，
∴故展开式中系数绝对值为，由题设，解得，
∴，即第7项系数绝对值最大，.
16．（1）（2）（3），．
【详解】（1）因为的展开式的通项公式为
，所以由前三项系数的绝对值成等差数列可得，，解得或（舍去），
所以．
（2）令可得，所以常数项为．
（3）设的展开式中系数最大的项为，则
，化简得，，解得．
所以展开式中系数绝对值最大的项为，
．

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