资源简介

6.2.2　排列数
【考点梳理】
知识点一　排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
知识点二　排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
【题型归纳】
题型一、排列数的计算
1．可以表示为( )．
A． B． C． D．
2．下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
3．（1）已知，那么______；
（2）已知，那么______；
（3）已知，那么______．
4．解不等式：．
5．求证：．
题型二、全排列问题
6．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．48 B．36 C．24 D．18
7．用1，2，3，4这4个数字可写出（ ）个没有重复数字的三位数．
A．24 B．12 C．81 D．64
8．甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的情况有________种．
题型三、元素有限制的排列问题
9．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A C D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
10．甲 乙 丙 丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（ ）种不同情况.
A．6 B．8 C．10 D．12
11．某校开学“迎新”活动中要把3名男生，2名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排女生，则安排方法的种数为（ ）
A．72 B．56 C．48 D．36
12．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A，，三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者.若甲不能参加A，项目，乙不能参加，项目，那么共有__种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）
题型四、相邻问题
13．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种.
A． B． C． D．
14．甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排．甲、乙要相邻．且甲不站在两端，则不同的排法种数______．
15．某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有________种.（用数字作答）
题型五、不相邻问题
16．某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．72种 D．120种
17．甲 乙 丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（ ）
A．120种 B．80种 C．64种 D．20种
18．用1，2，3，4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为___________（用数字作答）.
19．排一张有6个歌唱节目和5个舞蹈节日的演出节目单.
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
题型六、其它排列模型
20．用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
21．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为（ ）
A．4 B．8 C．28 D．64
22．从7名老师中选取4人，分别带领四组学生去鲁迅小道 大观园 历史博物馆 练塘古镇这4处景点外出考察，每组1名带队老师，则共有___________种安排方式（用数字作答）.
23．若从6名志愿者中选出4人分别负责翻译、导游、导购、保洁四种不同的工作，则选派方案共有__________种．
24．2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同选法共有______种．
25．（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【双基达标】
1．中国古代的“礼 乐 射 御 书 数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”即数学某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，上午三节，下午三节.一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ）
A．36种 B．72种 C．108种 D．144种
2．现将张连号的门票按需求分配给个家庭，甲家庭需要张连号的门票，乙家庭需要张连号的门票，剩余的张随机分给剩余的个家庭，则这张门票不同的分配方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则正整数__________．
4．某部电影要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序有__________种．
5．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有_________种.（用数字作答）
7．8人排成两排，每排4人，下列各有多少种不同的排法？
(1)甲、乙在前排两端，丙在后排左端；
(2)甲、乙在前排，丙在后排.
【高分突破】
1．一个的表格内，放有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每辆车占1格，每行每列只有1辆车，放法种数为（ ）
A．720 B．20 C．518400 D．14400
2．现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有
A．1440种 B．1400种 C．1320种 D．1200种
3．个人排队，其中甲 乙 丙人两两不相邻的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方法有_____________种．（用数字作答）
5．七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是_______（用数字作答）
6．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有_______．
7．（1）解不等式：；
（2）解方程：
8．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．
（1）某女生一定担任语文科代表；
（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
9．现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【答案详解】
【题型归纳】
1．C
【详解】＝，故选：C﹒
2．C
【详解】A，，
B，，
C，，
D，，
故选：C
3．
【详解】（1）由，
则，
即，解得.
（2）由，
则，解得.
（3）由，
则且，
解得或（舍）.
故答案为： ； ；
4．．
【详解】由，得，，化简得，解得，所以．
由，得．
5．证明见详解
【详解】左边，
右边，
所以，即证.
6．B
【详解】从中选一个数字，有种方法；
从中选两个数字，有种方法；
组成无重复数字的三位数，有个.
故选：B
7．A
【详解】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出个三位数.
故选：A
8．6
【详解】把甲、乙两人捆绑一起，与丙、丁两同学一起排列在一起符合题意，
所以有种不同的情况，
故答案为：6
9．A
【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，
如果不能最先汇报，而 C D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.
故选：A.
10．C
【详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人的排名即为，
若甲是第三名，4人的排名为，
所以4人的排名有种情况.
故选：C
11．A
【详解】第一步：安排甲岗位，由3名男生中任选1人，有3种方法;
第二步：安排余下的4个岗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有种方法
故安排方法的种数为
故选：A
12．52
【详解】根据题意，分4种情况讨论：
①甲乙都不参加志愿活动，在剩下4人中任选3人参加即可，有种选拔方法，
②甲参加乙不参加志愿活动，甲只能参加项目，在剩下4人中任选2人参加、项目即可，有种选拔方法，
③乙参加甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选2人参加、项目即可，有种选拔方法，
④甲乙都参加志愿活动，甲只能参加项目，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选1人参加项目，有种选拔方法，
则有种选拔方法.
故答案为：52.
13．D
【详解】根据题意，分3步进行分析：
①，将4名男生分成1、3的两组，有种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有种，
②，将6名女生全排列，有种情况，排好后有7个空位，
③，将分好的2组安排到7个空位中，有种情况，
则不同的排法有种，
故选：D．
14．36
【详解】由题意，甲只能从中间三个位置选一个站，乙要与甲相邻只有两个位置可选择，甲、乙站好后其他三人位置随便站，故有种不同的排法种数，
故答案为：36.
15．624
【详解】当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有；
当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有；
当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有；
因为共有．
故答案为：624．
16．A
【详解】先排列2名男生共有种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有种排法，
所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有种排法，
故选：A.
17．A
【详解】根据题意，一并排座位有10个，3人就坐，有7个空座位，将7个空座位排成一排，中间有6个空档，将3人连同座位一起安排空档上，有种安排方法，
故答案为：A.
18．
【详解】先排，形成个空位，然后将排入，
所以符合题意的四位数的个数为.
故答案为：
19．(1)
(2)
【详解】
(1)先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有7个空位，从中选5个放入舞蹈节目，共有种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有种方法.
(2)先排舞蹈节目有种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有6个空位，恰好供6个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有种方法.
20．D
【详解】将六个方格标注为，如下图所示，
①若用三种颜色涂，则同色或同色或同色，
当同色时，六个方格的涂色方法有种；
当同色时，六个方格的涂色方法有种；
当同色时，六个方格的涂色方法有种；
②若用两种颜色涂，则同色，此时六个方格的涂色方法有种；
综上所述：不同的填涂方法有种.
故选：D.
21．C
【详解】由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C＝＝＝28(条)公路．
22．
【详解】依题意从名老师中选出名老师排到四组学生，则一共有种排法，再将四组学生安排到4个景点则有，则一个有种排法；
故答案为：
23．360
【详解】依题意，可得选派方案的种数为．
故答案为：
24．
【详解】2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，
则有种.
故答案为：.
25．（1）210；（2）343.
【详解】（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有(种)不同的送法.
（2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，每一次有7种选法，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
【双基达标】
1．B
【详解】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下门课程，
所以不同的排课顺序有种.
故选：B
2．D
【详解】设张连号的门票号码分别为、、、、、、、，
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、、，共种，此时共有种分配方法.
综上所述，不同的分配方案种数为种.
故选：D.
3．.
【详解】由排列数的计算公式，可得，
因为，所以，解得.
故答案为：.
4．24
【详解】不同的放映次序即为4个不同元素的全排列，
即为（种）．
故答案为：24
5．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】(1).
(2).
(3).
(4).
6．72
【详解】当两个相邻空盒恰好在两端时，放法有种；
当两个相邻空盒不在两端时，放法有种；
所以3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有36+36=72种.
故答案为：72
7．(1)240
(2)5760
【详解】(1)先排前排，除甲乙丙外选2人排在甲乙之间，之后排甲乙两人，再排后排，丙在后排左端，
把剩下的3人全排列，故有种
(2)先排前排，除甲乙丙外选2人和甲乙全排列，再排后排，丙和剩下的3人全排列，
故有种
【高分突破】
1．D
【详解】先假设3辆红车不同，3辆黑车也不相同，
第一辆车显然可占36个方格中任意一个，有36种放法，
第二辆车由于不能与第一辆车同行，也不能与第一辆车同列，有25种放法，
同理，第三、四、五、六辆车分别有16，9，4，1种放法．
再注意到3辆红车相同，3辆黑车也相同，
故不同的放法共有（种）．
故选：D
2．D
【详解】
根据题意，分2步进行分析:
①要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、、周六周日看作6个位置，任选一个位置，排上甲乙两人，有种方法，其中甲排在周三去掉，则甲乙的安排方法有种,
②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有种情况；
由分步计数乘法原理知，则有种安排方法.
故选：D
3．B
【详解】
先排除甲 乙 丙以外的人有种排法，
将甲 乙 丙人插入个空中有种排法，
由分步乘法计数原理可得：甲 乙 丙人两两不相邻的排法有种，
故选：B.
4．51
【详解】
当选出的字号中没有“狮、梅”时，共有种展出的方法；
当选出的字号中有“狮梅”中的一种时，共有种展出的方法；
当选出的字号中“狮、梅”都有时，共有种展出的方法,
所以共有种不同的展出方法．
故答案为：51.
5．144
【详解】第一步：先安排男同事甲在星期日轮值有1种，
第二步：其余3位男同事作全排列有，
第三步：因为三位女同事任何两位的安排不能连在一起，所以后3位女同事插空安排有，
分步完成共有方法种数为：.
故答案为：144.
6．28
【详解】当《诗经》位于第5节时，《周易》和《礼记》相邻有3种情形，且《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，因此满足条件的情形有种；
当《诗经》位于第4节时，《周易》和《礼记》相邻有2种情形，《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，此时满足条件的情形有种．
所以满足条件的情形共有种．
故答案为：28
7．（1）；（2）.
【详解】（1）由题意可知，且，
因为，，，
所以原不等式可化为，整理得，
所以，，所以原不等式的解集为；
（2）易得，所以，，
由得,
整理得，即，解得或（舍去）.
所以，原方程的解为.
8．（1）840种（2）3360种（3）360种
【详解】
（1）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法（种）．
（2）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法（种）．
（3）先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有种，其余3人全排列有种，所以共有不同选法（种）．
9．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【详解】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，
则女生必须排在一起的排法有种；
(2)根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，
将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，
则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，
则甲、乙两人不相邻有种排法；
(5)根据题意，将8人全排列，有种情况，
其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，
则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，
其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；
(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，
将男生、女生整体全排列，有种情况，
则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；
(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则第3和第6个排男生，有种不同排法；
(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
甲乙不能排在前3位，有种不同排法；
(10)根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，
在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，

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