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第七章 随机变量及其分布
7.2　离散型随机变量及其分布列
【考点梳理】
知识点一　随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
知识点二　离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
2．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点四　两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
【题型归纳】
题型一、随机变量的概念及分类
1．判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；
（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；
（3）某单位下个月的用水量ξ；
（4）某家庭上个月的电话费ξ.
2．给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④
题型二、求离散型随机变量的分布列
3．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、.记甲同学三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列.
4．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
题型三、分布列的性质及应用
5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．
6．若离散型随机变量的分布列为：
0 1
则的值为（ ）A．0 B． C． D．1
【双基达标】
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
2．如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（ ）
A．0.1 B．0.12 C．0.15 D．0.18
3．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ）
A． B． C． D．
4．一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．设随机变量的分布列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量，则等于（ ）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
7．下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
8．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
9．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A．a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝
10．设随机变量的分布列为，则
A． B．
C． D．
11．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分的分布列如下表，其中，且，
0 2 3
则这名运动员得3分的概率是______.
12．已知随机变量的分布列为：
P
若，则实数的最小值为________.
13．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
试求：
(1)的分布列；
(2)的分布列.
14．同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．
(1)写出X的分布列；
(2)求；
(3)求“点数和大于9”的概率．
15．某校组织冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．
（1）求的分布列；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
16．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得分，答错得分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分．
（1）求的分布列；
（2）求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．
【高分突破】
1．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A． B． C． D．4
2．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　)
A．20 B．24
C．4 D．18
3．随机变量的分布列如下表，其中，且，则（ ）
2 4 6
A． B． C． D．
4．若离散型随机变量的分布列如下
则的最大值为（ ）A． B． C． D．
5．在某校篮球队的首轮选拔测试中,参加测试的五名同学的投篮命中率分别为,每人均有10次投篮机会,至少投中6次才能晋级下一轮测试,假设每人每次投篮相互独立,则晋级下一轮的人数大约为(　　)
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
6．随机变量的分布列为，．为常数，则的值为(　　)
A． B． C． D．
7．已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．则下列结论正确的是（ ）
A．共有24对相交棱 B．
C． D．
8．某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.现推送三首歌曲，，给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示.
歌曲
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的奖金金额/元 1000 2000 3000
下列猜歌顺序中获得奖金金额的均值超过2000元的是（ ）A． B． C． D．
9．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数，则___________.
10．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．（若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”如137,359,567等)得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．已知某同学甲参加活动，求甲得分X的分布列．
11．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案详解】
【题型归纳】
1．（1）是随机变量，是离散型随机变量；
（2）是随机变量，是离散型随机变量；
（3）是随机变量，不是离散型随机变量；
（4）不是随机变量.
【详解】
（1）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0，1，2，…，是随机变量，也是离散型随机变量；
（2）ξ的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量.
（3）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能取[0，＋∞)内某一区间上的所有值，无法一一列出，是随机变量，但不是离散型随机变量.
（4）ξ的取值是一个定值，故不是随机变量.
2．A
【详解】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，
⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.
故选：A.
3．分布列见解析
【详解】随机变量的可能取值为、、、，
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
4．(1)；(2)
0 1 2 3
【详解】
(1)所选3人中恰有一名男生的概率；
(2) 的可能取值为0,1,2,3.
∴ξ的分布列为:
0 1 2 3
5．B
【详解】由分布列的性质得
故选：B
6．B
【详解】由题意知，解得或（舍去）．
故选：B
【双基达标】
1．D
【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
2．C
【详解】由题意，解得．
故选：C．
3．B
【详解】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.
故选：B.
4．A
【详解】记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，
因为，，
所以.
故选：A.
5．C
【详解】由题意知，概率分布为
由，
解得.
所以.
故选:C.
6．A
【详解】因为，
所以或.
故选：A
7．A
【详解】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.
故选A.
8．A
【详解】由于抛物线的对称轴在y轴左侧，
所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，
所以共有种不同的情况．
因为，
所以的取值范围是，
其中的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
所以．
故选：A．
9．BD
【详解】由题意得：
∵a，b，c成等差数列
∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1
∴
∴
.
故B、D正确；
因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；
故选：BD
10．ABC
【详解】随机变量的分布列为,
， 解得，
故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：A、B、C.
11．
【详解】由分布列的性质知，且，，都是非负数，
因为由题知，，
所以三个方程联立成方程组，可解得，，，
所以得3分的概率是.
故答案为：
12．4
【详解】由题意，可得，解得，
由随机变量的分布列可知，的可能取值为，
可得，
因为，所以的取值范围为，则实数的最小值为4.
故答案为：4.
13．(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
【详解】(1)由分布列的性质知，
所以.列表为
0 1 2 3 4
1 3 5 7 9
1 0 1 2 3
的分布列为
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
14．(1)答案见解析
(2)
(3)．
【详解】(1)由题意的可能值依次为，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表可得
，，
，，
，，
的分布列如下：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(2)
；
(3)
．
15．（1）分布列见解析；（2）
【详解】（1）可取
0 1 2 3
（2）设“去执行任务的同学中有男有女”为事件，则.
16．（1）分布列见解析；（2）．
【详解】（1）由题意知,的可能取值为由于乙队人答对的概率分别为,
,
,
,
,的分布列为:
（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”, 可知互斥, 又,则甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率为．
【高分突破】
1．C
【详解】根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，
由，随机变量的取值为，故对应，
∴，
故选：C.
2．B
【详解】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有(种).
故选B.
3．C
【详解】由分布列可得，又，则，
由，即，即
所以，所以
所以
故选：C
4．D
【详解】由题意，即，显然，，，
所以
，它在上是减函数，
所以时，．
故选：D．
5．B
【详解】5名同学投篮各10次，相当于做了10次独立重复事件，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的期望分别为
故晋级下一轮大约有3人，故选B．
6．B
【详解】由题意，即，，所以．故选B．
7．AC
【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有对相交棱，因此，故A正确，B错误；
若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故，于是 ，故C正确，D错误．
故选：AC．
8．AD
【详解】根据规则，该选手获得奖金总额为.
按的顺序进行，则该选手获得奖金总额为的可能取值有四种情况：
，
，
，
.
概率分布表为
0 1000 3000 6000
0.2 0.32 0.288 0.192
.故A正确.
同理，按的顺序猜获得奖金金额的均值为1872元，故B错误.
按的顺序猜获得奖金金额的均值为1904元，故C错误.
按的顺序猜获得奖金金额的均值为2112元，故D正确.
故选：AD
9．
【详解】根据题意，的可能取值为
只考虑飞出的两只苍蝇，记“笼内还剩下只果蝇”为事件，
当事件发生时，共飞走只果蝇，第只飞出的是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，
所以，
故答案为：
10．见解析.
【详解】由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，－1,1，，，
所以X的分布列为
X 0 －1 1
P
11．(1)甲进入决赛可能性最大
(2)
(3)分布列见解析
【详解】(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
∵，∴，
∴
∴甲进入决赛可能性最大．
(2)
整理得，解得或，
又∵，∴；
(3)由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数为可能取值为， ，，，
，
，
，
，
∴的分布列为
0 1 2 3
P

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