资源简介

第七章 随机变量及其分布
7.1　条件概率与全概率公式
7.1.1　条件概率
【考点梳理】
知识点一　条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
知识点二　概率乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．
知识点三　条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
【题型归纳】
题型一、条件概率的定义及计算
命题角度1　利用定义求条件概率
1．在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：
(l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
2．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
命题角度2　缩小样本空间求条件概率
3．盒子里有25个形状相同的球，其中有10个白色的，5个黄色的，10个黑色的．从盒子中任意取出一个球，已知这个球不是黑球，求取出的球是黄球的概率．
4．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
题型二、概率的乘法公式
5．一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求：
(1)第1次取到黑球的概率；
(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；
(3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．
6．已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．
题型三、条件概率的性质及应用
7．在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有20张奖券，其中共有3张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率；
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率．
8．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或者1有可能被错误地接受为1或者0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的，分别求接收信号为0和1的概率.
【双基达标】
1．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为6}，则（ ）
A． B． C． D．
2．袋子中有5个大小和质地完全相同的球，其中2个红球，3个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知第一次摸到的是红球，那么第二次摸到绿球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1
4．地面上现有标号为1—10号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置开始出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知事件A，B相互独立，，则（ ）
A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16
6．某同学参加学校数学考试，数学考试分为选填题和解答题两部分，选填题及格的概率为，两部分都及格概率为，则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在各路口是否遇到红灯统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第一个路口遇到红灯的概率是，连续二次遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（ ）．A． B． C． D．
9．（多选）从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（ ）．
A．第一次摸到红球的概率为
B．第二次摸到红球的概率为
C．在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为
D．在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为
10．（多选）已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则
C．若，则 D．若，则
11．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为___________.
12．已知，那么___________.
13．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
14．从种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记件为“相邻的个格子颜色不同”，事件为“个格子的颜色均不相同”，则________.
15．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？
16．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》也称（“强基计划”）《意见》指出：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校．某考生可能报考甲大学，也可能报考乙大学，已知该考生报考甲大学的概早是0.6．报考乙大学的概率是0.4，而且报考甲大学通过的概率为0.2，报考乙大学通过的概率为0.7．
（1）求该考生通过测试的概率；
（2）如果该考生通过了测试，那么他报考的是甲大学的概率为多少？
【高分突破】
1．为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛出，两人都希望能抛出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．某校对初三毕业生成绩进行抽样调查得到下表：
样本人数 语文成绩A等的人数 英语成绩A等的人数 语文和英语成绩都是A等的人数
1000 880 836 748
用样本频率来估计概率，现随机抽取一位初三毕业生调查，若该生的语文成绩不是A等，那么他的英语成绩是A等的概率为（ ）A． B． C． D．
4．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
5．袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率
A． B． C． D．
8．已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件
10．（多选）将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有（ ）
A．至少一次正面朝上的概率是
B．恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样
C．一次正面朝上，一次反面朝上的概率是
D．在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是
11．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．
12．如图所示，三行三列的方阵有9个数（，2，3，，2，3，从中任取三个数，已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是______．
13．一袋中有个黑球，个白球.
(1)依次取出个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；
(2)有放回地依次取出球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率；
14．设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为.若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为；若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为.试求透镜落下三次而未打破的概率.
15．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是．在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，求这个灯泡是甲厂生产的概率（精确到）．
16．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求：
（1）顾客买下该箱的概率α；
（2）在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β.
【答案详解】
【题型归纳】
1．(1)(2）(3）
【详解】（1）；……….5分
（2）；………5分
（3）．……….5分
2．(1)(2)(3)
【详解】(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件，
从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为，根据分步计数原理有，
所以.
(2)由(1)知，，所以.
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
.
3．
【详解】设取出不是黑球的事件为A，取出黄球的事件为B，
则，，.
故.
4．（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，
从6名成员中挑选2名成员，有
，，，，，，，，
，，，，，，共有15种情况，，
记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A
事件M所包含的基本事件数为，，，，
共有5种，故．
（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，
不妨设女生乙为，
则，又由（1）知，
故．
（３）记“挑选的2人一男一女”为事件，则，
“女生乙被选中”为事件，，
故．
5．（1）；（2）；（3）
【详解】从袋中不放回地依次取出个球的事件数为，根据分步乘法计数原理，，于是
(2)因为.所以
(3)由可得，在第次取到黑球的条件下，第次取到黑球的概率为
.
6．【详解】设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
7．(1)(2)
【详解】（1）设表示甲中奖，表示乙中奖，则，
因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有2张写有“中奖”字样，
所以乙中奖的概率为，
所以甲中奖而且乙也中奖的概率为；
(2)，
因为抽完的奖券不放回，
所以甲没中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有3张写有“中奖”字样，
所以乙中奖的概率为，
所以甲没中奖而且乙中奖的概率为
8．接收到的信号为0的概率为，接收到的信号为1的概率为；
【详解】设A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”， C为“接收到的信号为1”
则为“发送的信号为1”，
由题意得，，，
所以
则
即接收到的信号为0的概率为，接收到的信号为1的概率为；
【双基达标】
1．B
【详解】两次点数均为奇数，可能情况有，，，，，，，，共九种，其中和为6的情况有，，三种，所以
故选：B
2．D
【详解】已知第一次摸到的是红球，则还有个球，其中1个红球，3个绿球，那么第二次摸到绿球的概率为．
故选：D
3．C
【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率，
故选：C.
4．D
【详解】设“他在8号位置停留”为事件A，“恰好已经投掷了四次硬币”为事件B，
事件A：投掷三次，一个正面两个反面，或者投掷四次全部为正面，
事件：AB：投掷四次全部为正面.
则所求为.
故选：D..
5．B
【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以
故选：B
6．C
【详解】选填题及格记为事件，，两部分都及格概率记为事件，，
则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率.
故选：C.
7．C
【详解】设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件，则由题意可得，，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为．
故选：C．
8．A
【详解】记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，
则为该集成块不能正常工作，
所以，，
所以
故选：A
9．AB
【详解】第一次摸到红球的概率为，则A正确；
第二次摸到红球的概率为，则B正确；
在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球，相当于从4个球中摸出1个红球，其概率为，则C错误；
在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球相当于从3个球中摸出1个红球，其概率为1，则D错误．
故选：AB．
10．ABC
【详解】因为随机事件A，B发生的概率分别为，
对于A，因为，所以A，B相互独立，故A正确；
对于B，若A，B相互独立，则，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：ABC
11．
【详解】设事件A：猫的寿命超过10岁，事件B：猫的寿命超过12岁.
依题意有，，
则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率.
故答案为：
12．0.3
【详解】由题意得，，
所以，
，
所以.
故答案为：0.3.
13．##0.6
【详解】设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，
则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.
故答案为：
14．
【详解】用种对个格子涂色，方法种数为，
若相邻个格子颜色不同，先在中间的格子中任选种颜色涂色，两边的格子所涂的颜色只需和中间格子所涂的颜色不同即可，
所以，“相邻的个格子颜色不同”的涂色方法种数为种，则.
事件为“个格子的颜色均不相同”，则，
由条件概率公式可得.
故答案为：.
15．
【详解】设“呈阳性反应”，“患有此种疾病”，
则．
所以．
此人确实患有此病的概率约为
16．（1）0.4；（2）0.3.
【详解】记该考生报考甲大学为事件，报考乙大学为事件，通过测试为事件，
则，，，．
（1）；
（2）．
【高分突破】
1．A
【详解】设第一人抛出虎的图案的事件为事件，第二人抛出虎的图案的事件为事件，
则，，
所以，
即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为
故选：A
2．D
【详解】男生甲被选中记作事件，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件，
则：，，
由条件概率公式可得：，
故选：D.
3．A
【详解】设为“语文等”，为“英语等”，则，，
所以.
故选：A
4．D
【详解】由题意知，因为，，所以．
故选：D．
5．C
【详解】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,，
所以
所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.
故选：C.
6．C
【详解】根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，
其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，
记事件为“有一枚正面朝上”，则，
记事件为“另外两枚也正面朝上”，
则为“三枚都正面朝上”，故，
故.
即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是.
故选：C.
7．C
【详解】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.
含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，
含4，3，2的同理也有2个.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，
含5，3，1的也有上述4个，共24个，
=.
故选C.
8．A
【详解】记事件该元件使用寿命超过年，记事件该元件使用寿命超过年，
则，，
因此，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为，故选A.
9．BD
【详解】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，所以，故B正确；
同理，
所以，故A错误；
因为，所以，故C错误.
故选：BD
10．AD
【详解】将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次共有正正，正反，反正，反反四个结果
对于A，，正确；
对于B，恰有一次正面向上概率，恰有两次正面向上概率，，错误；
对于C，一次正面朝上，一次反面朝上的概率是，错误；
对于D， 第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是，正确.
故选：AD
11．0.785
【详解】记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知，，，，
因此．
故答案为：0.785．
12．
【详解】记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，
则{三个数互不同行且不同列}，
依题意得，，
故，
则．
即已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为．
13．(1) (2)
【详解】(1)设A＝“第一次取到白球”，
B＝“第二次取到白球”，C＝“第三次取到白球”，
则在A发生的条件下，袋中只剩6个黑球和3个白球，
则
(2)∵每次取之前袋中球的情况不变，
∴n次取球的结果互不影响.
∴
14．
【详解】设（，2，3）表示事件“透镜第次落下打破”，表示事件“透镜落下三次而未打破”，则，故有.
15．
【详解】设为甲厂产品，为乙厂产品，表示合格产品，则，，，，
所以，
灯泡是甲厂生产的概率为，
所以
16．（1）0.94；（2）0.85.
【详解】设A＝‘顾客买下该箱’，
B＝‘箱中恰有i件残次品’，i＝0,1,2，
(1)α＝P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝0.8＋0.1×＋0.1×≈0.94.
(2)β＝P(B0|A)＝≈0.85.

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