资源简介

7.5　正态分布
【知识梳理】
知识点一　正态曲线与正态分布
1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
知识点二　正态曲线的特点
1．对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
2．曲线与x轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
4．曲线在x＝μ处达到峰值.
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
【题型归纳】
题型一、正态曲线
1．已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝__________，方差σ2=__________.
2．（多选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
题型二、利用正态分布求概率
3．已知随机变量， ，其正态分布曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．的取值比的取值更集中于平均值左右
D．两支密度曲线与轴之间的面积均为
4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
题型三、正态分布的应用
5．我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：
38，70，50，43，48，53，49，57，60，69．
经计算知上述样本质量指标平均数为53.7，标准差为9.9．生产合同中规定：所有农产品优质品的占比不得低于15%（已知质量指标在63分以上的产品为优质品）．
(1)从这10件农产品中有放回地连续取两次，记两次取出优质品的件数为X，求X的分布列和数学期望．
(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中μ近似为样本质量指标平均数，近似为方差，那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若，则，．
6．某大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样，统计结果如下：
文章学习积分
工人数 1 3 11 x 4 1
(1)若去掉内的所有数据，则样本中每人制造的电子产品的件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造申子产品的件数在内的工人数x的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）
(2)若电子厂共有工人2000人，且每位工人每天制造电子产品的件数，试估计每天制造电子产品件数小于等于48的工人数．
附：，则，．
【双基达标】
1．已知随机变量，，则的值为（ ）
A．0.24 B．0.26 C．0.68 D．0.76
2．2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．重庆某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了2021年12月考，共有1600名学生参加，其测试成绩（满分150分）服从正态分布，成绩125分及以上者为优秀.已知115分及以上的人数为40人，请你通过以上信息，推断数学成绩优秀的人数为（ ）
附：，，.
A．8 B．13 C．16 D．32
4．设随机变量，，，则下列结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
5．如图分别是甲 乙 丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲 乙 丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
6．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
7．（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为，）均服从正态分布，其中，．如图，已知，，，，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
9．经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，，且，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为_________．
10．已知随机变量服从正态分布，若，则______.
11．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
重量范围（单位：）
个数
为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
12．为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.
(1)指标数不在和之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；
(2)技术评估可以认为，这种产品的质量指标数服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算值，并计算产品指标数落在内的概率.
参考数据：，则，.
【高分突破】
1．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725
3．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
4．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则有如下结论：，高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19 B．12 C．6 D．5
6．设随机变量ξ﹣N（μ，1），若不等式≥0对任意实数x都成立，且P（ξ＞a）＝，则μ的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率. 若生产状态正常，有如下命题：
甲：；
乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；
丙：；
丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.
（参考数据：若 ，则，， ；）
其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（多选）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内 中 外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若生产状态正常，下列结论正确的是（ ）（参考数据：若，则，
A．
B．的取值在内的概率与在内的概率相等
C．
D．记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则
9．若随机变量，则服从的正态分布为______（填序号）.
①；②；③；④.
10．下列命题中，正确的命题的序号为__________.
①已知随机变量服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量服从正态分布，若，则；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.
11．某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．
(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人．
①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；
②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，）
12．学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
【答案详解】
【题型归纳】
1． 20 2
【详解】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20，＝，解得σ＝，
因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.
故答案为：20；2.
2．AC
【详解】由题图可知甲图像关于直线对称，乙图像关于直线对称.
所以，，，故A正确，C正确；
因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图像的最高点为，即，
故，故D错误.
故选：AC.
3．B
【详解】,所以A正确；
由图可得，所以B错误；
由图可得曲线在均值附近图象比曲线在均值附近图象更陡，所以的取值比的取值更集中于平均值左右，即C正确；
两支密度曲线与轴之间的面积都等于所有概率和，即均为，所以D正确；
故选：B
4．A
【详解】由，且
则有：
根据正态分布的对称性可知：
故选：A
5．(1)X的分布列如下：
0 1 2
X的数学期望.
(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求；理由见解析
【详解】(1)因为质量指标分值在63分以上的产品为优质品，故优质品有2件.
由题意可取0，1，2.
则；
；
.
所以X的分布列如下：
0 1 2
X的数学期望.
(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求；理由如下：
记这种产品的质量指标分值为，由题意可知，，
则，
因为，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求
6．(1)，
(2)46
【详解】(1)设样本中制造电子产品的件数的平均数为，
则，
设样本中去掉内的所有数据后制造电子产品的件数的平均数为，
则，
依题可得，即，，
解得，
所以样本中制造电子产品的件数在内的工人数x的取值范围为，．
(2)因为，所以，，
所以，．
因为，
所以，
所以，
所以估计2000人中每天制造电子产品件数小于等于48的工人数为．
【双基达标】
1．A
【详解】因随机变，，有，由正态分布的对称性得：
，
所以的值为0.24.
故选：A
2．D
【详解】根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，
所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率．
故选：D．
3．A
【详解】，
，
，，
，.
故选：A.
4．D
【详解】由，根据正态分布曲线的对称性可得，
所以
又，所以且
所以
故选：D
5．B
【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确；
乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积相等，所以B不正确；
由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲 乙 丙，所以C正确；
由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D正确.
故选：B.
6．A
【详解】由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.
故选：A
7．BC
【详解】由图可知，故A错误；
由图可知，故B正确；
∵，，
由图可知，∴，故C正确；
，，，，
，，
根据正态分布曲线的性质，根据原则，应该有，故D不正确.
故选：BC.
8．CD
【详解】对A：若随机变量服从两点分布，，则，故A错误；
对B：若随机变量的方差，则，故错误；
对C：若随机变量服从二项分布，则，故正确；
对D：若随机变量服从正态分布，，则，
故，故正确.
故选：CD.
9．0.35
【详解】∵学生成绩X服从正态分布，且，
∵,
∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是．
故答案为：
10．
【详解】因为随机变量服从正态分布，
所以正态密度函数图像关于对称，
因为，
所以.
故答案为：
11．(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望为.
【详解】(1)已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.
(2)由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，；，
所以，随机变量的分布列为：
所以.
12．(1)
(2)，0.9544
【详解】(1)由，解得，
样本中指标数不在和之间的频率为，
所以产品为次等品的概率估计值为.
(2)依题意.
所以，
所以.
【高分突破】
1．B
【详解】设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，
则；
故该部件能正常工作的概率为.
故选：B
2．B
【详解】因为得分（满分：100分）服从正态分布，
所以，
所以
故选：B
3．D
【详解】因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，
所以，即，即求，
由，得，
所以，
那么成绩落在的人数大约为.
故选：D.
4．B
【详解】若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
5．C
【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布N（120，102），
又
∴
根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为（1﹣0.6826）＝0.1587
∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×40≈6.
故选：C
6．A
【详解】∵不等式≥0对任意实数x都成立，
∴，
∵∈[0，+∞），，
又
结合四个选项中a只能取0，
∴
故选：A
7．B
【详解】由知，，，
对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；
对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在
内的概率，故乙是假命题；
对于丙：由知，丙正确；
对于丁：1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，
，故丁是真命题.
故选：B.
8．ACD
【详解】由题可知，，，故，，故A正确；
区间和长度都为一个，但两区间并非关于对称，故的取值在内的概率与在内的概率不相等，B错；
，故，C正确；
一只口罩过滤率小于的概率为，50只口罩全小于的概率为，故，D正确.
故选：ACD
9．④
【详解】∵，，
∴，，故.故④正确.
故答案为：④
10．②③④
【详解】①，解得，①错；
②方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，②正确；
③服从正态分布，，③正确；
④，则，
由，解得，所以．④正确．
故答案为：②③④．
11．(1)中位数为，方差为；
(2)①4；②分布列见解析，数学期望为.
【详解】(1)这10个数据依次为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97，
所以中位数为，平均数为，
所以方差.
(2)①由（1）知：，，
，
该班学生成绩在的人数为.
②随机变量，显然X服从二项分布，其分布列为，其中，
X 0 1 2 3 4
P
所以，.
12．(1)，；
(2)①；②.
【详解】(1)由频率分布直方图可知组距，第三组频数为40，总共有100人，
则第三组频率，根据频率之和为1，
可知第4组的频率为，
所以，
(2)①，，
②记“6人中至少1人获得表彰”为事件，
则，
所以

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