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7.3.2　离散型随机变量的方差
【知识梳理】
知识点一　离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如表所示．
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．
我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．
知识点二　离散型随机变量方差的性质
1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c为常数)．
【题型归纳】
题型一、求离散型随机变量的方差
1．已知随机变量的分布列如下表：
－1 0 1
P
（1）求，，；
（2）设，求，．
2．设随机变量X的概率分布如下表．
X 1 2 3 4 5
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
对题中的随机变量X，分别求：
(1)，，；
(2)，，；
(3)分别考察它们与，之间的关系，你能得到随机变量的均值和方差的哪些性质？
题型二、方差的应用
3．投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示．
股票A收益的分布列
收益X/元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
股票B收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
(1)投资哪种股票的期望收益大？
(2)投资哪种股票的风险较高？
4．甲，乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
题型三、分布列、均值、方差的综合应用
5．袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3．以X表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球
(1)写出X的分布列；
(2)求X的均值与方差．
6．假定某射手每次射击命中目标的概率为．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：
(1)X的概率分布；
(2)均值；
(3)标准差．
【双基达标】
1．已知随机变量X的分布列是：
若，则（ ）A． B． C． D．
2．如果数据x1，x2，…，xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（ ）
A．和s2 B．3+2和9s2
C．3+2和3s2 D．3+2和9s2+2
3．已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为( )
A． B． C． D．
4．年月日，国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．“双减”政策指出，要全面压减作业总量和时长，某校在“双减”前学生完成作业时长为随机变量，的期望为，标准差为，在“双减”后，该校学生完成作业的时长，的期望为，标准差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．若是离散型随机变量，，，且，若，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
6．已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是，且各局的胜负相互独立，已知 甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额的方差（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
7．（多选）一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为，则（ ）
A．抛掷一次，“漂亮”的概率为
B．＝2时，“漂亮”的次数必为8
C．E()＝－10
D．
8．（多选）已知集合，分别从集合A，B中随机取一个数，用X表示两数之和，X的均值和方差分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．盒中有个球，其中个红球，个黄球，个蓝球，从盒中随机取球，每次取个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为，则的方差___________．
10．随机变量的概率分布为
0 1
且，则________.
11．某小组共人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为的人数分别为.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会．
(1)设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；
(2)设X为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望与方差．
12．已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数．
(1)求．
(2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且，求．
【高分突破】
1．已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（ ）
X 1 2 3
P a b 2b—a
A． B．3
C．6 D．5
2．随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
3．设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
4．设，，随机变量X的分布列是（ ）
a
则方差（ ）A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关
C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关
5．2020年5月，修订后的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，某校为宣传垃圾分类知识，组织高中三个年级的学生进行垃圾分类知识测试，下表记录了各年级同学参与测试的优秀率(即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例).
年级 高一 高二 高三
垃圾分类知识测试优秀率 52% 71% 68%
假设从高年级中各随机选取一名同学分别进行考查，用“”表示该同学的测试成绩达到优秀，“”表示该同学的测试成绩没有达到优秀.表示测试成绩的方差，表示则下列判断正确的是（ ）A． B．
C． D．
6．某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设为该毕业生得到面试机会的公司个数．若，则______．
8．一个袋中装有大小相同的2个红球，4个白球，下列结论正确的序号有__________.
①从中任取3个球，恰有一个白球的概率为；
②从中有放回地取球6次，每次任取一个球，则取到红球次数的方差为；
③从中有放回地取球3次，每次任取一个球，则至少有一次取到红球的概率为；
④从中不放回地取球2次，每次任取一个球，则在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为；
⑤从中不放回地取球3次，每次任取一个球，表示取到白球的个数，则.
9．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，，分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个的稳定性较好）．
10．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；
（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.
【答案详解】
【题型归纳】
1．（1），，；（2），.
【详解】（1）由期望的公式，可得，
又由方差的公式，可得，
所以.
（2）因为，所以，
.
2．(1)，，
(2)，，
(3)答案见解析
【详解】(1)由题意得，
的分布列为：
X+2 3 4 5 6 7
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
所以
的分布列为：
3X 3 6 9 12 15
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
所以，
的分布列为：
1 4 9 16 25
P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
所以.
(2)由（1）可得，
，
(3)由（1）（2）可得，，
，，
可得性质：若X和Y都是随机变量，且，
则，，
3．(1)股票A的期望收益大
(2)投资股票A的风险较高
【详解】(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为
，
．
因为，所以投资股票A的期望收益较大．
(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为
，
．
因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高．
4．乙保护区的管理更好一些．
【详解】甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些．
5．(1)答案见解析；
(2)， .
【详解】(1)由题意知的可能取值为1，2，3，
当时，有（1，1）一种情况；
当时，有（1，2），（2，1），（2，2）三种情况；
当时，有（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3）五种情况；
则，，，
所以的分布列：
1 2 3
(2)X的均值为：，
方差为.
6．(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】(1)X的可能取值为1，2，3，
因为，，．
所以的分布列为：
1 2 3
(2)；
(3)因为方差，
所以．
【双基达标】
1．C
【详解】由已知可得，解得，
因此，.
故选：C.
2．B
【详解】由题设，，，
故选：B
3．C
【详解】设，则，
由，解得，
则由公式，得，
则标准差．
故选：C﹒
4．A
【详解】由期望和方差的性质可得，
，.
故选：A.
5．C
【详解】，，
又，，
，，
．
故选：C.
6．A
【详解】设甲获胜的局数为，则
所以
故选：A
7．BCD
【详解】由题可知一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子有36种等可能的结果，其中出现的点数是2倍关系的有6种等可能的结果，所以抛掷一次，“漂亮”的概率为，故A错误；
记抛掷30次抛掷“漂亮”的次数为，则，，
当时，，即，故B正确；
∴，
∴，故CD正确.
故选：BCD.
8．BCD
【详解】由题意可知X的取值范围为，分别从集合A，B中任取一个数，共有9种情况，
所以，，，，.对于A，，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：BCD.
9．
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，，
因此，.
故答案为：.
10．
【详解】由，得，
∵，
∴，得，
∴.
故答案为：.
11．(1)
(2)分布列见解析；期望为，方差为
【详解】(1)由已知得.
(2)的可能取值为，
，.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
.
.
12．(1)0.98 (2)98
【详解】(1)由题可知X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即，
因此．
(2)由可知．
【高分突破】
1．C
【详解】因为分布列中概率和为，故可得，解得，
又，
则，
又，故可得，
则当时，的最大值为，
又，故的最大值为.
故选：C.
2．C
【详解】若，则，故A,B均错误；
若，则，，其对称轴为：，则时，有最小值，即C正确，D错误.
故选：C.
3．D
【详解】因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
4．B
【详解】由分布列可得，
故.
故选：B
5．A
【详解】当时，在高一年级中随机选取一名同学进行考查，
则，则，
当时，在高二年级中随机选取一名同学进行考查，
则，则，
当时，在高三年级中随机选取一名同学进行考查，
则，则，
所以，
故选：A．
6．C
【详解】赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量的可能值为2或3，
，A错；
，B错；
，
因为，所以，C正确；
记，，
，
，
因为，所以，D错．
故选：C．
7．
【详解】由，知，得，
由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，
，
，
，
所以，
所以．
故答案为：
8．②⑤
【详解】对①，恰有一个白球的概率为，错误；
对②，每次取到红球概率为，则方差为，正确；
对③，根据②，3次中至少有一次取到红球概率为，错误；
对④，第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为，错误；
对⑤，=1,2,3
，，
∴，正确.
故答案为：②⑤.
9．甲的稳定性较好．
【详解】E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．
10．（1）；（2）分布列见解析，。
【详解】（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A.
易知第一次取到偶数球的概率为，
第二次取球时袋中有三个奇数，
所以第二次取到奇数球的概率为，
而这两次取球相互独立，
所以P(A)＝；
（2）若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球；
若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个数，
所以X的可能取值为3,5,6,7.
所以P(X＝3)＝，
P(X＝5)＝，
P(X＝6)＝，
P(X＝7)＝，
所以X的分布列为：
X 3 5 6 7
P
均值E(X)＝，
方差D(X)＝＋＋＋.

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