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7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
【知识梳理】
知识点一　离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望．
2．离散型随机变量的均值的意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
3．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为
Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
知识点二　两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
【题型归纳】
题型一、利用定义求离散型随机变量的均值
1．一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，白色卡片张，从盒子中任取张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
(1)求取出的张卡片中，至少有张红色卡片的概率；
(2)在取出的张卡片中，白色卡片数设为，求随机变量的分布列和数学期望．
2．某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．
题型二、离散型随机变量均值的性质
3．已知随机变量的分布列如下：
若随机变量，则为（ ）
A． B． C． D．随变化而变化
4．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
题型三、均值的实际应用
5．随机抽取某电子厂的某种电子元件400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6元、2元、1元，而1件次品亏损2元.设1件产品的利润（单位：元）为.
(1)求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
(2)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75元，则三等品率最多是多少？
6．大会原定于2020年10月15~28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11~24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》 《遗传资源议定书》缔约方会议.为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采.会议期间有两家外卖公司帮部分志愿者送餐，送餐员的工资方案如下：公司的底薪40，每单抽成4元；公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成6元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其80天的送餐单数，得到如下频数表：
公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 37 38 39 42 43
天数 20 25 10 15 10
公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 37 38 39 42 43
天数 10 20 20 25 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
(1)记公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；
(2)小李打算到，两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？请说明你的理由.
【双基达标】
1．已知随机变量的分布列为：
X 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
则等于（ ）A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
2．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上两个数的积的均值是（ ）
A． B． C． D．
3．随机变量的分布列如图所示，则其数学期望（ ）
1 2 3
A． B． C． D．不能确定
4．某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下：
第一班车：在8:00，8:20，8:40发车的概率分别为，，；
第二班车：在9:00，9:20，9:40发车的概率分别为，，.
假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8:10到达车站乘车，则该旅客候车的分钟数的数学期望为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．25
5．学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为，，则产生故障的电脑台数的数学期望为（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是（ ）
A．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件
B．“第一次取到白球”和“第二次取到黑球”是相互独立事件
C．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为
D．设随机变量和分别表示取到白球和黑球的个数，则
8．（多选）以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励.已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关.下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率是；
B．只有甲小组受到奖励的概率是；
C．已知该技术难题一定能被攻克，只有丙小组受到奖励的概率是
D．受到奖励的小组数的期望值是
9．一袋中装有分别标记着，，数字的个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取次球，若每次取出一个球后放回袋中，记次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为，，设，则______ .
10．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果.
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是________元.
11．“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：
周末体育锻炼时间
频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1
(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在内的人数为X，求X的分布列以及数学期望.
12．小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单.若将频率视为概率，回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.
【高分突破】
1．在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，若活动规定随机从箱子中不放回地抽取奖券，若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券则停止，则抽奖次数Z的均值是（ ）
A． B． C． D．
2．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（ ）
A． B． C． D．
3．已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点的个数，则下列判断不正确的是（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率是 B．
C． D．
5．某公司参加两个项目的招标，项目招标成功的概率为，项目招标成功的概率为，每个项目招标成功可获利万元，招标不成功将损失万元，则该公司在这两个项目的招标中获利的期望为（ ）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
6．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采取，单独采取甲 乙预防措施所需费用分别为45万元和30万元，采取相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防措施允许单独采取 联合采取或不采取，那么总费用（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望）最少的是（ ）
A．不采取任何预防措施 B．单独采取甲预防措施
C．单独采取乙预防措施 D．联合采取甲 乙两种预防措施
7．在一次社团活动中， 甲乙两人进行象棋比赛， 规定每局比赛获胜的一方得分， 负的一方得分 (假设没有平局)． 已知甲胜乙的概率为， 若甲乙两人比赛两局， 且两局比赛结果互不影响． 设两局比赛结束后甲的得分为， 则 ________．
8．在2021件产品中有10件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是______.
9．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业 礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：
(1)甲 乙两人至多一人测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
10．为庆祝中国共产党建党100周年，某单位举办了以“听党召唤，使命在肩”为主题的知识竞赛活动，经过初赛 复赛，小张和小李进入决赛，决赛试题由3道小题组成，每道小题选手答对得1分，答错得0分，假设小张答对第一 第二 第三道小题的概率依次是，，，小李答对每道小题的概率都是.且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响，用X表示小张在决赛中的得分，用Y表示小李在决赛中的得分.
(1)求随机变量X的分布列和数学期望E（X），并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些；
(2)求在事件“”发生的条件下，事件“”的概率.
【答案详解】
【题型归纳】
1．(1)；
(2)分布列见解析，.
【详解】(1)设“取出的张卡片中，至少有张红色卡片”为事件，则 .
(2)随机变量的所有可能取值为，，.
，，.
所以的分布列为
0 1 2
P
随机变量的数学期望：.
2．(1)；
(2)分布列见解析，.
【详解】(1)从这6人中随机选出2人，共有种选法，
其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有种．，
故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为．
(2)由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，
，，
，．
故X的分布列为：
X 5 6 7 8
P
∴．
3．C
【详解】因为，
所以，所以.
又，所以.故选：C
4．A
【详解】因为，
所以，
所以，
又①，
且②，
由①②，得.
故选：A
5．(1)；
(2)1%.
【详解】(1)的所有可能取值有6，2，1，.
，，
，，
故的分布列为
6 2 1
0.63 0.25 0.1 0.02
.
(2)设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
.
依题意，，即，解得，
∴三等品率最多为1%.
6．(1)的分布列见解析，数学期望：；
(2)应该选择去公司，理由见解析.
【详解】
(1)由题意得的取值为185 190 195 212 218，故的分布列为
185 190 195 212 218
数学期望为.
(2)公司的平均送餐单数为:，
所以公司日平均工资为.
因为，故这个人应该选择去公司.
【双基达标】
1．A
【详解】由随机变量的分布列，可得期望，
所以.
故选：A.
2．A
【详解】设抛掷1次向上的数字为，抛掷2次向上的数字之积为，
则由题意可知，，，
所以，，
，，
所以．
故选：A.
3．B
【详解】由题意可知，即，
而，
故选：B.
4．A
【详解】设该旅客候车的分钟数为，
则的取值范围为{10，30，50，70，90}，
，，
，，
，
所以的分布列为
10 30 50 70 90
P
故，
即该旅客候车的分钟数的数学期望为30．
故选：A.
5．D
【详解】的可能取值有0，1，2，
且，，，
．
故选：D.
6．B
【详解】设产生故障的电脑台数为，则的可能取值为，
，，，
所以分布列为
0 1 2
所以.
故选：B.
7．CD
【详解】“取到2个白球”和“取到2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，故A不正确；
“第一次取到白球”发生会影响“第二次取到黑球”的概率，不是相互独立事件，故B不正确；
在第一次取到白球的条件下，第二次取一个球共有4个基本事件，其中取到的是黑球的事件有3个，其概率为，故C正确；
由题设，可能值为，且，，所以；可能值为，且，，所以；所以，故D正确．
故选：CD
8．ACD
【详解】设甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题分别为事件，即，相互独立，
，A正确；
，B错；
该技术难题一定能被攻克的概率是，
只有丙小组受到奖励的概率是，
因此在该技术难题一定能被攻克的条件下只有丙小组受到奖励的概率是，C正确；
设受到奖励的小组数为，则的值为，
，
，
，
．
所以．D正确．
故选：ACD．
9．
【详解】的可能取值为0,1,2，连续取3次球，它的取法共有种，其中的取法共有3种，为111,222,333，其中有12种，为112,121,211,122,212,221,223,232,323,332,233,322，其中有12种，为113,123,311,321,312,213,231,131,133,311,331,313，因此它们的概率分别为，故．
故答案为：
10．4760
【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%，
一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，
所以一年后公司收益的平均数＝（元）.
故答案为：4760
11．(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【详解】(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数
.
(2)依题意，周末体育锻炼时间在内的学生抽6人，在内的学生抽9人，
则，，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则.
12．(1)，
(2)①，②答案见解析
【详解】(1)甲：，乙：，
故为 ，；
(2)①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，
故平均数；
②甲方案：X的分布列为：
X（日薪） 152 154 156 158 160
P(概率) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
，
乙方案：X的分布列为：
X（日薪） 140 140 180 220 260
P（概率） 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
，
乙的期望更高，故选择乙方案.
【高分突破】
1．C
【详解】，表示第一次就抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为；
，表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为，
，
表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“谢谢参与”的奖券，…,第n次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，
其概率为，
所以的均值为．
故选：C
2．B
【详解】依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，，
为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮
，
故．
故选：B
3．C
【详解】交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，,
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
.
即.
则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：C
4．A
【详解】记该游客游览个景点为事件，，
则，
，
所以游客至多游览一个景点的概率为，故A错误；
随机变量的可能取值为
，
，
，故B正确；
，
，故C正确；
数学期望为：，故D正确，
故选：A
5．B
【详解】该公司在这两个项目的招标中获利万元为随机变量，其可能值为：40，18，-4，
则，，，
于是得，
所以该公司在这两个项目的招标中获利的期望为18万元.
故选：B
6．D
【详解】①不采取预防措施时，总费用即损失的期望为（万元）；
②若单独采取甲预防措施，则采取预防措施所需费用为45万元，发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）；③若单独采取乙预防措施，则采取预防措施所需费用为30万元，发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）；
④若联合采取甲 乙两种预防措施，则采取预防措施所需费用为（万元），发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）.
综合①②③④，比较其总费用，可知选择联合采取甲 乙两种预防措施，可使总费用最少.
故选：D
7．
【详解】由题意可得：可能取值为，
，，
，
所以，
故答案为：.
8．
【详解】设抽到的次品的个数为，则，
所以
所以抽到次品个数的数学期望的值是
故答案为：
9．(1)；
(2)分布列见解析，.
【详解】(1)根据题意，甲测试合格的概率为；
乙测试合格的概率为；
故甲 乙两人都测试合格的概率为，
则甲 乙两人至多一人测试合格的概率为.
(2)由题可知，甲答对的试题数X可以取，
又，，
，，
故的分布列如下：
则.
10．(1)分布列答案见解析，数学期望：，小李的得分能力更强一些
(2)
【详解】(1)由题设知X的可能取值为0，1，2，3
所以；
，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望
而，所以，
所以，小李的得分能力更强一些.
(2)设“”为事件A，“”为事件B，
因为；；
，
，
，
所以，所以在的条件下，的概率是.

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