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第二节 基本不等式
知识清单
1.基本不等式
若均为正数，则有，当且仅当时，等号成立.
其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的的几何平均数.
2.几个重要的不等式
（1）（） （2）（）
（3） （） （4）（）
注意以上不等式成立的条件，均有当且仅当时，等号成立.
3.基本不等式与最值
（1）积定：若，则，
（2）和定：若，则，
（3）平方和定：，则，
口诀：“一正二定三相等”（各项必须是正数，再看谁为定值，最后验证等号是否能取）.
4.对勾函数
（1）的取值范围：
（2）的最值情况
当时，有最小值
当时，有最大值
（3）有关式子：，，，
题型训练（一）
题型一 基本不等式的理解
1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（　 　）
A． B． C． D．
2．已知，则下列四个数中最大的数是（　 　）
A． B． C． D．
3．已知为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（　 　）
A． B． C． D．
4．设，则下列不等式中正确的是（ 　　）
A． B． C． D．
题型二 积为定值求最值（和有最小值，平方和有最小值）
5．已知，函数的最小值是（　 　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知，则函数有（ ）
A.有最大值2 B.有最小值2 C.有最大值 D.有最小值
7．若实数满足，则的最小值为　　
8．已知函数在时取得最小值，则　　
题型三 和为定值求最值（积有最大值，平方和有最小值）
9．若，则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
10．已知，，若，则（　　）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值
11．已知，，若，则的最大值是　 　
12．若，，且，则的最大值为　 　
题型四 平方和为定值求最值（积有最大值，和有最大值）
13．已知，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
14．已知非负实数满足，则最大值是（　　）
A． B． C．5 D．10
15．已知，，且，则的最大值为（　　）
A．18 B．9 C． D．
16．已知，则的最大值为
题型五 等式变不等式求最值（运用）
17．设，，，则（　 　）
A．有最大值8 B．有最小值8
C．有最大值8 D．有最小值8
18．若满足，则（ ）
A． B． C． D．
19．设为实数，若，则的最小值为 ，的最大值为
20．设为实数，若，则的最大值是　 　
21．已知正数满足，则的最小值为
22．已知，，．则的最小值为
23．已知．求证：．
24．已知．求证：
（1）；
（2）．
题型训练（二）
题型一 配凑法求最值
通过凑项或者凑系数让和、积、平方和为定值
1．已知，则函数的最小值为（ 　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知，则函数的最大值（　 　）
A． B． C． D．
3．已知为正数，，则的最大值为（　　）
A．7 B．3 C．8 D．4
4．已知，则的最小值为（　 　）
A．6 B．4 C． D．
5．若函数在处取最小值，则
6．已知，则的最大值为
题型二 消元法求最值
利用等式，代入消元，再利用基本不等式
7．已知实数满足：且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．若正数满足，则的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．
9．若正数满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
10．已知正数满足，求的最小值．
题型三 乘“1”法求最值
直接相乘型，如，则
11．已知，，，则的最小值是（　 　）
A． B．4 C． D．5
12．已知，，，则的最小值为（ 　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
13．已知已知，，，则的最小值等于（　 　）
A．1 B． C． D．
14．已知，，且，则的最小值为 　
15．若直线过点，则的最小值为　 　
16．已知，，且满足，则的最小值为　 　
凑“分母和”型，如，
17．设，则的最小值为（　 　）
A．24 B．25 C．26 D．1
18．已知且，则的最小值为（ 　　）
A．8 B．4 C． D．
19．设为正数，且，则的最小值为（ 　　）
A． B． C． D．
20．已知实数满足且，则的最小值是　 　
21．已知正数满足，则的最小值为　　
22．已，，，则的最小值为　 　
题型四 分式函数求最值
利用换元法和分离常数法将式子化为对勾函数，结合图象求最值
23．已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
24．已知，则函数的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
25．已知都是正实数，则的最大值为（　 　）
A． B． C． D．
26．已知，则函数的最小值为　
27．若对任意，恒成立，则的取值范围是　　
28．已知，则函数的最小值为　
29．已知，，则的最小值为
30．已知，则的最大值为
题型五 连用不等式求最值（注意两次等号成立的条件是否相同）
31．已知，，则的最小值是（　 　）
A．2 B． C．4 D．5
32．已知，，则的最小值为（ 　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
33．已知，则的最小值为（　 　）
A．2 B．3 C．4 D．
34．若，，则的最小值为　 　
综合训练
1．若实数满足，则的最小值为（　 　）
A． B．2 C． D．4
2．若正数满足，则的最小值是（　 　）
A． B． C．5 D．6
3．已知，，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．1
4．已知，，且，则的最小值为（　　）
A． B．3 C．1 D．
5．已知，若不等式恒成立，则实数的最大值为　　
6．已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为　　
7．已知正数满足，则当　 　时，的最小值是　 　
8．已知，，则的最小值为　 　，此时　 　
9．设为正实数，且满足，则的最小值为
10．已知正数满足，且，则的最大值为　　
11．已知，求证：
12．已知，且．
（1）求的最小值； （2）求的最大值．
第二节 基本不等式参考答案
题型训练（一）
题型一 基本不等式的理解
1-4 D，C，B，B
题型二 积为定值求最值
5-8 C，C，4，36
题型三 和为定值求最值
9-12 C，A，，
题型四 平方和为定值求最值
13-16 A，B，C，2
题型五 等式变不等式求最值
17-20 B，C ，、， 21-24 4，16 ，略，略
题型训练（二）
题型一 配凑法求最值
1-6 B，C，D，A，3，1
题型二 消元法求最值
7-10 A，B，A，1
题型三 乘“1”法求最值
11-16 C，B，C，8，8，9 17-22 B，D，D，，，8
题型四 分式函数求最值
23-26 D，B，B， 27-30 ，，2，
题型五 连用不等式求最值
31-34 C，C，C，4
综合训练
一．1-5 C，C，A，B ，9 6-10 6，、3， 8、 ，3，
11．略 12．（1）64 （2）18

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