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第三节 二次函数与一元二次方程、不等式
知识清单
1.一元二次不等式的定义
（1）一般地，我们把只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
（2）一元二次不等式的一般形式为：或，其中为常数，.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
（）的图象
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
3.解一元二次不等式的步骤
（1）将原不等式化为的形式（利用开口向上的二次函数的图象来解不等式）；
（2）不等式若能因式分解，则求出两根，利用图象求出解集（口诀“大于取两边，小于取中间”）；
（3）不等式若不能因式分解，则判断，
4.解分式不等式的步骤
（1）移项通分；
（2）再化为整式（注意分母不能为0）
如， 注意：且
题型训练
题型一 解一元二次不等式
1．一元二次不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次不等式的解集为（　 　）
A． B． C． D．
3．不等式的解集为　 　
4．一元二次不等式的解集为　 　
题型二 解分式、绝对值和高次不等式
绝对值不等式—分类讨论与数轴法
一元高次不等式—穿轴法（奇穿偶不穿，从右上方往下穿）
5．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的解集为（　 　）
A． B． C． D．
7．不等式的解集为（　 　）
A． B．
C． D．
8．不等式的解集为　 　
9．不等式的解集为　 　
10．解下列不等式：
（1） （2）
题型三 解含参数的不等式（确定开口方向及根的大小关系）
11．关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
13．若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．当时，解关于的不等式．
15．解关于的不等式．
16．解关于的不等式．
题型四 根据不等式的解求值求参数
一元二次不等式解集的端点为方程等于0的根，结合韦达定理（）求解
如：的解集为，则为方程两根.
17．不等式的解集为，则实数的值为（　 　）
A．2 B． C．1 D．3
18．已知不等式的解集为，则（　 　）
A． B．1 C． D．2
19．关于的不等式的解集为，且，则（　 　）
A． B． C． D．
20．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（　 ）
A． B． C． D．
21．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（　 ）
A． B． C． D．
22．已知关于的不等式的解集是，则不等式的
解集是（　 　）
A． B． C． D．
23．若关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围为（ 　）
A． B． C． D．
24．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（　 　）
A． B．
C． D．
25．若关于的不等式的解集是，则实数的值为　 　
26．若关于的不等式的解集为，则实数的值为　 　
题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题
①在上恒成立或有解
主要考虑的正负问题，数形结合，有解无解问题转化为恒成立问题思考，注意对的系数讨论．
27．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
28．若不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
29．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（　 ）
A． B． C． D．
30．已知关于的不等式在上有解，则实数a的取值范围是　 　
②在某个范围内恒成立或有解
（1）若不等式在上恒成立，只需端点满足，即；
（2）若不等式在上恒成立，则需讨论对称轴与的位置关系，分对称轴在范围左中右三种情况讨论找最小值；
（3）不等式恒成立求参数也可以采用参变分离，有解问题依旧可以转换为恒成立问题．
参变分离：用变量表示参数，如：
31．若关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围（　 　）
A. B. C. D.
32．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ 　 ）
A. B. C. D.
33．若关于的不等式在内有解，则实数a的取值范围（　 　）
A． B． C． D．
34．若关于不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　
题型六 一元二次方程根的分布问题
（1）韦达定理
的情况下，两个正根，两个负根，一正一负
（2）根在某个区间，判断端点值的正负，对称轴的位置，数形结合
35．已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．已知方程至少有一个负根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．已知方程一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．已知方程的两根满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
39．已知方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
40．已知方程的两根都大于2，求实数的取值范围.
综合训练
1．若不等式的解集为，则的值分别是（ ）
A．1，1 B．1， C．，1 D．，
2．已知方程只有正根，则取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
3．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是　 　
4．已知方程的两根满足，则实数的取值范围是　 　
5．已知关于的不等式的解集为
（1）求的值； （2）求不等式的解集
6．已知关于的不等式
（1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式的解集为，求的取值范围．
7．若，解关于的不等式
8．已知关于的不等式的解集为
（1）求的值 （2）若对任意的恒成立，求的取值范围．
第三节 二次函数与一元二次方程、不等式参考答案
题型一 解一元二次不等式
1-4 B，A，，D
题型二 解分式、绝对值和高次不等式
5-9 B，C，C ， ，
10．（1） （2）
题型三 解含参数的不等式
11-13．D，D，C 14-16． 略
题型四 根据不等式的解求值求参数
17-21．D，B，A，D，C 22-26．A，A，C，4，
题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题
27-30．D，C，C， 31-34．B，D，B，
题型六 一元二次方程根的分布问题
35-40． A，C，A，A ， ，
综合训练
1-4．A，B，，
5．（1） （2）
6．（1） （2）
7．略
8．（1） （2）

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