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第四节 函数的奇偶性
知识清单
一．偶函数
1．偶函数的定义
一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，
那么函数就叫做偶函数.
2．偶函数的性质
（1）定义域关于原点对称； （2）图象关于轴对称，在轴两侧的单调性相反.
3．常见的偶函数
（1） （2） （3）
（4）一些分段函数，如，
二．奇函数
1．奇函数的定义
一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，
那么函数就叫做奇函数.
2．奇函数的性质
（1）定义域关于原点对称；
（2）图象关于原点对称，在原点两侧的单调性相同（是否能取决定了单调性是否连续）；
（3）若有意义，则（检验函数是否为奇函数或已知函数为奇函数时求参数）.
3．常见的奇函数
（1） （2）
（3）一些分段函数，如，
三．奇偶函数的和、差、积、商（在相同的定义域内）
（1）
（2）
题型训练
题型一 判断函数的奇偶性
1．下列函数中，为偶函数的是（　 　）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（　 　）
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
3．已知函数，，则是（　 　）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
4．已知函数是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（　 　）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
5．判断下面函数的奇偶性，并说明理由
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
6．讨论函数的奇偶性.
题型二 根据奇偶性求值、求参数
7．若函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
8．已知是定义在上的偶函数，则的值是（ 　　）
A． B．1 C．2 D．5
9．若函数为上的奇函数，且当时，，则的值为（　 　）
A．6 B． C． D．2
10．已知，且，则的值为（ 　　）
A． B．4 C． D．12
11．已知函数为上的奇函数，当时，，则　　
12．已知且，那么
13．已知函数为奇函数，，若，则
14．若函数是偶函数，且它的值域为，则
题型三 根据奇偶性求函数的解析式
15．已知函数为上的奇函数，且当时，，则当时，（　 　）
A． B． C． D．
16．已知为上的偶函数，当时，，则当时，（　 　）
A． B． C． D．
17．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，
则（　 　）
A． B． C．1 D．3
18．已知函数为奇函数，为偶函数，且，
则的解析式为 ，的解析式为
题型四 奇偶性与单调性的综合运用
19．若奇函数在区间上单调递增，且有最大值5，则它在上（ ）
A．是减函数，有最小值 B．是增函数，有最小值
C．是减函数，有最大值 D．是增函数，有最大值
20．已知函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
21．已知奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ 　）
A． B．
C． D．
22．已知为定义在上的偶函数，且对任意都有，
则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，.
（1），与的大小关系为
（2）若有，则与的大小关系为
（3）不等式的解集为
（4）不等式的解集为
（5）不等式的解集为
（6）满足的所有之和为
24．已知函数为定义在上的奇函数，满足，且在上单调递增，
则不等式的解集为
25．已知函数，则在上的最大值与最小值之和为
26．已知定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，
则实数的取值范围是
综合训练
1．已知函数为偶函数，且当时，，则当时，有（　　）
A． B． C． D．
2．函数定义在上的奇函数，且，则的值分别为（　　）
A．0，1 B．1，0 C．，1 D．，0
3．若函数定义域为的奇函数，则的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
4．若和都是奇函数，且在上有最大值8，则在上有（　　）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
5．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知且，则
7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式．
8．函数的定义域，且对于任意，有，
，且时，．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）求证在上是增函数，并求满足的的取值范围．
第四节 函数的奇偶性参考答案
题型一 判断函数的奇偶性
1-4 A，A，B，C
5．（1）奇 （2）非奇非偶 （3）偶 （4）奇 （5）奇 （6）偶
6．时，为偶函数；时，既不是奇函数，也不是偶函数
题型二 根据奇偶性求值、求参数
7-10 A，B，D，C 11．12 12． 13．5 14．
题型三 根据函数的奇偶性求解析式
15-17 A，B，C 18．
题型四 奇偶性与单调性的综合运用
19-22 B，D，D，A
23．（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
24． 25．10 26．
综合训练
1-5 B，B，A，D，D 6． 7．
8．（1）是偶函数（2）的取值范围是

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