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2.2.2 直线的两点式方程
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围. 2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围(重点). 3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标(重点)． 1、直观想象 2、数学运算 3、数形结合
【自主学习】
一．直线的两点式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 斜率存在且不为0
二．直线的截距式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 斜率存在且不为0，不过原点
三．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则则x＝ ，
y＝ ．
思考1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？
思考2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示.(　 　)
（2）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.(　 　)
（3）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.(　 )
（4）直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　 )
2.如图，直线l的截距式方程是，则( )
A． B． C． D．
【经典例题】
题型一　直线的两点式方程
点拨：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.
例1 如图，已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2).
①求线段AB中点D的坐标；
②求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程.
【跟踪训练】1 (1)过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋3＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(　　)
A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6
题型二　直线的截距式方程
点拨： (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
零截距：如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况．
例2 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程。
【跟踪训练】2 (1)求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
(2)已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程.
题型三　直线方程的简单应用
例3 两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　 )
【跟踪训练】3　已知直线l过点P(－2,1)．
(1)当直线l与点B(－5,4)，C(3,2)的距离相等时，求直线l的方程；
(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程．
【当堂达标】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.不经过原点的直线都可以表示为＋＝1
B.若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4,1)则直线l的方程为＋＝1
C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1
2.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　　)
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
3.若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有______条.
4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________.
5.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________.
6.直线l经过点A(－3，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求该直线的方程．
【参考答案】
【自主学习】
＝ ＋＝1
思考1：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示．
思考2：不能，因为ab≠0，即有两个非零截距．
【小试牛刀】
1.× √ √ √
2. D 解析：根据直线的截距式以及图象可知：a>0,b<0，故选：D.
【经典例题】
例1 解：①因为A(1,2)，B(－1,4)，所以线段AB中点D的坐标为，即D(0,3).
②△ABC的边AB上的中线即线段CD，因为C(5,2)，D(0,3).所以线段CD所在的直线方程为＝，化简可得x＋5y－15＝0.
【跟踪训练】1 (1) C 解析：∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为＝，整理得2x＋y－3＝0，故选C.
(2)B 解析：由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
例2 解：(1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，又知l过(3，4)，
∴＋＝1，解得a＝7，∴直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，直线方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
【跟踪训练】2（1）解：当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意．
此时，直线的斜率为，所以直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0.
当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1.
又因为过点A，所以＋＝1.　　　①
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|. ②
由①②联立方程组，
解得或所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2，即直线l的方程为x＋y－6＝0或x－y－2＝0，
综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－6＝0或x－y－2＝0.
（2）解：设l：＋＝1(a>0，b>0)，则a2－4a＋4＝0，解得a＝2，所以b＝4.
直线l：＋＝1，所以l：2x＋y－4＝0.
例3 A 解析：可以通过选项的图象判断a，b的符号，选出符合条件的选项，由A项可知，a＜0，b＞0得l2的b＞0，A符合，其他选项不符合．
【跟踪训练】3 (1)①当直线l∥BC时，kl＝kBC＝＝－．所以直线l的方程为y－1＝－(x＋2)化为x＋4y－2＝0．
②当直线l过线段BC的中点时，由线段BC的中点为M(－1，3)，所以直线l的方程为y－1＝(x＋2)，化为2x－y＋5＝0．综上可知：直线l的方程为x＋4y－2＝0或2x－y＋5＝0．
(2)设直线l的方程为＋＝1．
则解得或
所以直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋4y－2＝0．
【当堂达标】
1.BCD解析：A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)的直线方程为＋＝1，故B对；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D对．
2. A 解析：代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3.
3. 解析：依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为，
∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
∴，解得，或，或，
所以直线的条数为条．
4.2x－y＋1＝0 解析：AB的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得＝，
即2x－y＋1＝0.
5.2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析：当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为－＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
6.解：当直线经过原点时，直线方程为：y＝－x.
当直线不经过原点时，设直线方程为：＋＝1，
把点A(－3，4)代入，得＋＝1，解得a＝.
∴直线方程为x＋2y＝5.
综上可得直线方程为：4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0.

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