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3.4 函数的应用（一）
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点). 2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点). 1、数学建模 2、数学抽象
【自主学习】
一.常见的函数模型
常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(4)分段函数 y＝
二．解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　　)
(2)一个长方形的周长为60 m，则其面积最大为200 m2.(　　)
(3)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　)
(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　)
2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)．则从甲到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为(　　)
A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77
【经典例题】
题型一　一次函数、二次函数模型
点拨：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意：
1.方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
2.取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
例1 商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x(元) 30 40 45 50
日销售量y(件) 60 30 15 0
(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
【跟踪训练】1 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
题型二　分段函数模型
点拨：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
例2 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个时，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
【跟踪训练】2 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：
H(x)＝
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
题型三 用幂函数模型解决实际问题
点拨：确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题．
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式（可带参数）；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式；
【当堂达标】
1.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是(　　)
2.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　)
A.y＝2t B.y＝120t C.y＝2t(t≥0) D.y＝120t(t≥0)
3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是(　　)
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
4.一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为(　　)（默认y>x）
A.y＝10－x(0C.y＝20－x(05.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
6.某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)
【参考答案】
【小试牛刀】
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.C 解析：f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
【经典例题】
解　(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图．
这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关系为一次函数关系，
设f(x)＝kx＋b(k≠0，且k，b为常数)，则
解得
∴f(x)＝－3x＋150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在此直线上．
∴y与x之间的函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
(2)由题意，得P＝(x－30)(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)．
∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大．
【跟踪训练】1 解：(1)由题意可得，即，
解得，，
该车运输3年开始盈利.；
(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万，
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
例2 解：(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
x0＝100＋＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．
(2)当0＜x≤100时，P＝60.
当100＜x<550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－.
当x≥550时，P＝51，
∴P＝f(x)＝
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝
当x＝500时，L＝6 000；当x＝1 000时，L＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个时，利润是11 000元．
【跟踪训练】2 解　(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
例3 解 (1)由题意得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，
∴k＝，
∴流量R的表达式为R＝·r4.
【当堂达标】
1.A
2. D 解析　90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).
2.B 解析 　由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
3.C 解析 　由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
4.A 解析　由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以05. 2250 解析　设彩电的原价为a元，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.
6.解： (1)由题意，当时，；
当时，；
故；
(2)当时，；
当时，(元
当时，(元
，
当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．

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