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斜率型定值问题
【考点梳理】
定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．
【题型归纳】
一、斜率问题
1．如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点、、均在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)若的平分线垂直于轴，证明直线的斜率为定值.
2．已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
(1)求的方程.
(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
3．已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.
(1)求p的值；
(2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值．
4．设，为曲线的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有（ ）
A．A，B两点的横坐标之和为定值 B．A，B两点的横坐标之积为定值
C．直线AB的斜率为定值 D．P点横坐标的取值范围为（0，1）
5．已知，平面内一动点满足．
(1)求点运动轨迹的轨迹方程；
(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．
6．过原点O的直线与抛物线交于点A，线段OA的中点为M，又点，．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答下列问题：
①，②；③的面积为．
(1)已知_________，求抛物线C的方程；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(2)已知点，设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于D，E两点，线段DE的垂直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．
二、斜率之和问题
7．已知抛物线的焦点为F，，过F作直线l交抛物线C于，两点.
(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：是定值.
8．已知椭圆C：的离心率为，左顶点坐标为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．
9．设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由.
10．在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线、的斜率分别为、.求证：为定值.
11．已知椭圆C：经过点，且椭圆C的离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，椭圆C的右顶点为P，设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：恒为定值．
12．已知椭圆的焦点在轴上，且以短轴端点和焦点为顶点的四边形是边长为2的正方形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若是椭圆上的动点，求的取值范围；
(3)已知不过原点且斜率存在的直线与椭圆交异于椭圆顶点的两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为点，直线和直线的斜率之积为1，直线与轴交于点．若直线的斜率分别为，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
13．已知抛物线，点在抛物线上.
(1)求抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
14．设、为椭圆：的左、右焦点，焦距为.双曲线：与椭圆有相同的焦点，与椭圆在第一、三象限的交点分别记为、两点，若有.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的上顶点为，过点的直线与交于、两点（均异于点），试证明：直线和的斜率之和为定值.
15．已知椭圆的离心率，且经过点.
(1)求C的方程；
(2)直线交椭圆C于P，Q两点，点P，E关于原点对称，若直线ME与MQ的斜率分别为，，求证：为定值.
16．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)不过点的直线：与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值．若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
17．已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于、两点．
(1)若直线，试求的面积；
(2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)如果，原点到直线的距离为，求的取值范围．
18．设椭圆，过点A的直线AP，AQ分别交C于相异的两点P，Q，直线PQ恒过点B.
(1)证明：直线AP，AQ的斜率之和为；
(2).直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.
19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点（1，）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积；
(3)过椭圆C内一点T（t，0）作两条直线分别交椭圆C于点A，C，和B，D，设直线AC与BD的斜率分别是k1，k2，若|AT|·|TC|=|BT|·|TD|，试问k1+k2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．
20．已知点是离心率为的椭圆上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线、的斜率之和是否为定值：若是求出定值，不是则说明理由.
21．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值；
(3)的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由？
三、斜率之积问题
22．已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
23．已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线PM，PN的斜率之积为．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若一动圆的圆心Q在曲线C上运动，半径为．过原点O作动圆Q的两条切线，分别交椭圆于E、F两点，当直线OE，OF的斜率存在时，是否为定值？请证明你的结论．
24．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
25．已知椭圆的离心率为，点A B分别是其右顶点和上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设斜率为的直线l与椭圆的两个交点（自上至下）分别为C D，问：直线BC与AD的斜率之积是否为定值？若是，求出其大小；若不是，说明理由.
26．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
27．已知与外切，与内切.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若是点的轨迹上的两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，直线的斜率存在，的面积为，证明：为定值.
28．已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值．
29．已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线交椭圆于两点（不同于点），记直线的斜率分别为，证明：为定值．
30．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B．已知APF2的周长为，F1PF2面积最大值为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
31．一束光线从点出发，经直线：上一点反射后，恰好穿过点．
(1)求点的坐标；
(2)求以为焦点且过点的椭圆的方程；
(3)设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点的坐标；若不存在，请说明理由．
32．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，左、右焦点分别为，，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，是否在x轴正半轴存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
33．已知椭圆的C的方程：．
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．
(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．
(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．
34．如图，已知离心率为的椭圆的左右顶点分别为 ，是椭圆上异于 的一点，直线 分别交直线于 两点.直线与轴交于点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段的中点为，问在轴上是否存在定点，使得当直线 的斜率 存在时，为定值？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
35．已知、分别是椭圆的右顶点和上顶点，、在椭圆上，且，设直线、的斜率分别为、，证明：为定值．
36．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为
C．为定值 D．的取值范围为
37．如图，椭圆经过点，且离心率为
(1)求椭圆的方程：
(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点、（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值，并求出此值.
38．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为和8，椭圆的短轴长大于焦距．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P与点M关于原点对称，过M作直线垂直于x轴，垂足为E．连接PE并延长交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
39．已知椭圆，上顶点和右顶点分别是、，椭圆上有两个动点、，且，如图所示，已知，且焦距为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)若点在第二象限，求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求直线与直线的交点的轨迹方程．
40．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点T（b，）在椭圆C上，O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，设R（x0，y0）是椭圆C上一动点，由原点O向圆R：(x－x0)2+(y－y0)2＝6引两条切线，分别交椭圆于点P、Q，若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k1、k2，求证：k1k2为定值；
(3)在（2）条件下，OP2＋OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
41．已知拋物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4.
(1)求的值；
(2)如图，经过点（三象限）且不过原点的直线与拋物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问：是否存在定点，使得为定值2若存在，请求出点的坐标.
四、斜率之商问题
42．已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，P是直线上的一动点(P的纵坐标不为零且P不在椭圆E上)，直线AP与椭圆E的另一交点为M，直线BP与椭圆E的另一交点为N，直线MN与x轴的交点为Q，且△AMB面积的最大值为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PQ的斜率为，直线BP的斜率为，证明为定值.
43．已知椭圆的右焦点为F，离心率，点F到左顶点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知四边形为椭圆的内接四边形，若边过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设的斜率分别为，试分析是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
44．如图，在平面直角坐标系中，分别为等轴双曲线的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于B点，点D为线段的中点，延长AD，BD，分别与双曲线交于P，Q两点．
(1)若，求证：；
(2)若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理出．
45．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上．
(3)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
46．在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，．相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E．过点作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方．记直线，的斜率分别为，．
(1)证明：为定值：
(2)设点Q关于x轴的对称点为，求面积的最大值．
47．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为线段的中点，过的直线与的右支交于两点，延长分别与交于点两点，若的离心率为为上一点.
(1)求证：；
(2)已知直线和直线的斜率都存在，分别记为，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
五、斜率综合问题
48．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．
49．如图.矩形ABCD的长，宽，以A B为左右焦点的椭圆恰好过C D两点，点P为椭圆M上的动点.
(1)求椭圆M的方程，并求的取值范围；
(2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M N两点（点C与M N两点不重合），且直线CM CN的斜率分别为，试证明为定值.
50．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线的方程为，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，利用斜率公式求出、的值，由已知可得，求出的值，再利用斜率公式可求得的值.
(1)
解：根据题意设抛物线的方程为，将点的坐标代入抛物线方程可得，
所以，抛物线的方程为.
(2)
证明：由题意可知直线、的倾斜角互补，
若轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，若直线轴，则、重合，不合乎题意，
所以，直线的斜率不为零，，同理，
由已知，可得，
因此，.
故直线的斜率为定值.
2．(1)
(2)是定值，斜率为0
【解析】
【分析】
（1）利用点到直线的距离求出，再根据通径求出，即可得解；
（2）设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到，即可得到，从而得解；
(1)
解：根据对称性，不妨设到直线的距离为，
则，
令，则，解得，
所以当轴时，，则.
故的方程为.
(2)
解：设.
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立方程组，化简得，
由，得，则
设，因为三点共线，所以，整理得.
因为，
所以，即直线AN的斜率为定值0.
当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上， 则直线AN的斜率为定值.
综上所述，直线AN的斜率为定值0.
3．(1)2
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，求出圆心M到点F距离的最小值即可计算作答.
（2）由（1）求出点M的坐标，由已知可得直线MA，MB倾斜角互补，设出点A，B的坐标，探求点A，B的纵坐标关系即可计算作答，
(1)
设，有，而点，则，
因，因此，而圆M面积最小值为，即，则有，
所以p的值是2.
(2)
由（1）知，抛物线，则有，而，即有轴，
因过M作抛物线的两条弦MA，MB，有，则直线MA，MB倾斜角互补，即直线MA，MB斜率和为0，
设点，直线的斜率，直线的斜率，
因此有，整理得：，
所以直线的斜率是定值.
【点睛】
思路点睛：求定值问题常见方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
或直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
4．BCD
【解析】
【分析】
设A、B坐标，求导可得，由得可判断B；由斜率公式可得AB的斜率可判断C；由方程解得P点横坐标，结合基本不等式可判断D；由C可知A错误.
【详解】
记，，
由函数图象可知，不妨设与相切于点，与相切于点，则.
因为，，所以，
因为，所以，即，B正确；
的方程为，的方程为
联立方程组可求得点P横坐标
因为，所以，所以，D正确；
，C正确；
由C易知，A错误.
故选：BCD
5．(1)
(2)是定值；
【解析】
【分析】
对于小问1，设点，代入，整理化简得点轨迹方程；
对于小问2，设出直线：，联立曲线的方程，结合韦达定理，代入，整理得到和的关系，进而判断直线是否过定点．
(1)
设，则，所以点轨迹方程为：．
(2)
显然直线不垂直于轴，
故设：，，
代入并整理得： ，
∴
，
整理得：，
若，此时过，不合题意；
若，即符合题意，
故直线的斜率为．
6．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设其方程为，与抛物线方程联立可得坐标及线段OA的中点坐标，再利用两直线垂直可得及点坐标．若选①，不妨令，由，得从而得到抛物线C的方程；
若选②，利用点N到直线OA的距离可得，可得抛物线C的方程；
若选③，令，由和点N到直线OA的距离求得，得可得抛物线C的方程；
（2）分别设直线PA、PB的斜率为，可得直线PA、PB的方程，令得、点坐标，线段DE的垂直平分线经过点P，可得．由，由韦达定理可得、点坐标，再由斜率公式可得答案．
(1)
由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设其方程为，
由得即即
所以线段OA的中点．因为，所以直线MN的斜率存在，
，所以，解得，所以直线OA的方程为，．若选①，不妨令，由，得，解得（舍去），所以抛物线C的方程为．
若选②，因为，所以点N到直线OA的距离为，即，
解得（舍去），所以抛物线C的方程为．
若选③，不妨令，因为，
点N到直线OA的距离，所以，解得（舍去），所以抛物线C的方程为．
(2)
，曲线C的方程为点在曲线C上．
是C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA、PB与y轴分别交于点M、N，
∴直线PA、PB的斜率都存在，且都不为0，分别设为，则，
直线PA的方程为，即，
当时，，即．同理可得，
线段DE的垂直平分线经过点P，
，即．由，得．
设，则是的解，由韦达定理得：
，同理可得
，
所以直线AB的斜率为定值．
7．(1)
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线和直线的位置关系，联立方程结合韦达定理来求交点坐标的中点坐标即可；
（2根据题意假设直线方程，再联立方程，结合韦达定理，对所需证明的式子化简即可.
（1）根据题意点，而直线的斜率为1，所以的方程为，联立抛物线方程，根据韦达定理有，点均在直线上，所以，所以中点坐标为即.
（2）根据题意直线与抛物线有两个交点，所以直线的斜率不可能为0，设直线方程为，联立抛物线方程有，据韦达定理有，所以为定值0.
8．(1)
(2)为定值，定值为-2
【解析】
【分析】
（1）由题意，先求得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系，可得的值，即可得答案.
（2）当直线l斜率存在时，设直线l：，与椭圆联立，根据韦达定理，可得的表达式，根据斜率公式，求得的表达式，化简整理，即可得答案；当直线l的斜率不存在时，直线l：，所以，化简计算，可得为定值，即可得答案.
(1)
由题意得
又，所以
所以，
所以椭圆C：．
(2)
当直线l斜率存在时，设直线l：，（其中），，，
联立，消y可得，
则，解得或，
，
所以
（定值）
当直线l的斜率不存在时，直线l：，则M，N关于x轴对称，所以，
所以，
综上可得（定值）
9．(1)
(2)是定值，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据焦距，求得c值，根据离心率，求得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案.
（2）当直线l斜率为0，即为x轴时，分析可得；当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，，将直线与椭圆联立，可得关于y的一元二次方程，利用韦达定理，可得、表达式，根据斜率公式，化简整理，即可得证.
(1)
因为焦距，所以，
因为离心率，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
(2)
当直线l斜率为0，即为x轴时，
则，所以；
当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，，
将直线l与椭圆联立，消x整理得，
所以，，
所以，，
所以.
综上所述：为定值0.
10．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆长轴长算出，根据再算出，进而求出椭圆方程；
（2）分别表示出直线、的斜率分别为、，然后计算即可.
(1)
因为，所以，又，
所以，所以，，所以椭圆的标准方程为.
(2)
当的斜率为0时，显然，.
当的斜率不为0时，设，由得，
设，，故有，，
所以.
因为，所以.
综上所述，恒有为定值.
11．(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由离心率、点在椭圆上及椭圆参数关系列方程组求参数值，即可得椭圆方程.
（2）设直线方程并联立椭圆，应用韦达定理、斜率两点式得到关于参数的表达式，进而化简即可证结论.
(1)
由题意知：，解得，
∴所求C的方程为：．
(2)
由题意，直线的斜率必存在，设：，即，
代入椭圆整理得：，
∴，又，
而，，
∴
为定值，得证.
12．(1)
(2)
(3)为定值；
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，解得，，即可求出椭圆的方程；
（2）利用椭圆的参数方程，由三角函数知识求得取值范围即可；
（3）设，，，，，，则，，根据韦达定理和斜率公式，即可求出．
(1)
解：因为椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是边长为2的正方形，
所以，解得，，
所以椭圆方程为．
(2)
解：由（1）得椭圆的参数方程为：，是参数，且，
因为是椭圆上的动点，
所以，（其中，，
，
．
(3)
解：设，，，，，，
则，，
所以，所以，
联立，消可得，
，，
，
直线的方程为：，
令，由，可得，
，所以，
，
．
13．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将代入可得答案；
（2）设，直线，由三点共线、三点共线可得，，直线与抛物线联立，利用韦达定理代入可得答案.
(1)
将代入，解得，
的准线方程为.
(2)
设，直线，
联立，整理得，
由题意，，即或，
且，
因为三点共线，由，整理得，
同理得，
14．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得为矩形，再结合椭圆和双曲线的定义根据勾股定理列式求解即可；
（2）分析可得若直线的斜率不存在时，不合乎题意，再设直线的方程为，联立椭圆的方程，再将韦达定理代入直线和的斜率之和的表达式化简即可
(1)
由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，得，由双曲线与椭圆的对称性知四边形为矩形，则，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，
由勾股定理可得，即，
解得，则，
因此，椭圆的方程为
(2)
（i）若直线的斜率不存在时，则该直线的方程为，直线与椭圆相切，不合乎题意
（ii）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，设点、，联立，
可得，
，可得，
由韦达定理可得，
为定值
15．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆离心率得到，再根据椭圆经过点，得到，解方程组可得,即可得答案;
（2）联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，写出的表达式，将根与系数的关系式代入化简，可得定值.
(1)
椭圆离心率为，故，即，
将坐标代入得：，、
解得 ，
故C的方程为：；
(2)
证明：联立直线和椭圆方程： ，
可得，需满足 ，
设,则,
则，
故
，
即为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中定值问题，综合性较强，计算较复杂，解答的关键是联立方程得到根与系数的关系式，然后结合的表达式代入化简，进而得到定值.
16．(1)
(2)是，定值为：
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于，，的方程求解即可；（2）根据题意联立直线和椭圆方程得：，所以，，所以，再代入韦达定理求解即可.
(1)
根据题意得：，
故椭圆的标准方程为．
(2)
因为直线不过点，且直线，的斜率存在，所以．
设，，联立方程组，得，
则，.由，得且．
因为，
所以.
即为定值，且.
【点睛】
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
17．(1)
(2)是，且定值为
(3)
【解析】
【分析】
（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，求出、的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得结果；
（3）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，求得，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
(1)
解：设点、，联立可得，
解得或，即点、，
直线过椭圆的左焦点，所以，.
(2)
解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
设点、，联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
.
(3)
解：不妨设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，，
由题意可得
，
整理可得，则，
所以，，
则.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
18．(1)证明见解析
(2)存在，定点
【解析】
【分析】
（1）设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，直线的斜率分别为，结合根与系数的关系表示出，化简即可证明结论；
（2）由题意求得M,N的坐标，假设存在定点G，设出坐标，表示出，化简即可得结论.
(1)
证明：由题意知，直线PQ的斜率存在，设直线为，
联立，得
且，可得；，
设，
由韦达定理可得，
设直线的斜率分别为，所以
，
所以直线，的斜率之和为
(2)
设，因为直线为，令，得，
即，同理，即
设轴上存在定点，
，
要使为定值，即，
故x轴上存在定点使为定值，该定值为1.
19．(1)
(2)
(3)是；
【解析】
【分析】
（1）由题列出关系即可求出；
（2）将直线代入椭圆方程，利用求出，即可求出四边形F1MNF2的相关长度，得出面积；
（3）得出直线的方程，与椭圆联立，可以表示出，同理得出，即可根据已知求出.
(1)
由题意可得，
将点代入椭圆方程得，
解得，
即有椭圆方程为；
(2)
将直线代入椭圆方程可得，，
由直线和椭圆相切的条件可得，解得，
焦点，由对称性可取直线，
则，，
即有四边形的面积为；
(3)
可得直线的方程为，
联立方程，得．
设，则．
∵
．
同理，直线的方程为，则．
∵，
∴．
又T为椭圆内任意一点，∴，即，
所以，∴．
又直线与不重合，∴为定值．
20．(1)
(2)是定值，且定值为
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式与韦达定理可求得直线、的斜率之和.
(1)
解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.
(2)
解：设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
，可得且，
由韦达定理可得，，
.
因此，直线、的斜率之和为.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．(1)
(2)证明见解析
(3)的面积存在最大值为．
【解析】
【分析】
（1）由已知解方程组即可；
（2）设出直线BD的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决；
（3）将△ABD面积表示成，再利用基本不等式求得最值.
(1)
∵点是离心率为的椭圆：上的一点，
∴，解得，，，∴椭圆的方程为．
(2)
设，，直线、的斜率分别为、，
设直线的方程为，联立，得，
∴，得，①，②，
则
，（*）
将①、②式代入*式整理得，
∴直线，的斜率之和为定值0．
(3)
，
又点到直线：的距离，
∴，当且仅当时取等号，
又∵，∴当时，的面积最大，最大值为．
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将点代入抛物线方程，求解的值即可；
（2）设直线方程，与抛物线C的方程联立，由韦达定理得的值，计算的值即可.
（1）∵点在抛物线C上，∴，解得，∴抛物线C的方程为.
（2）证明：设直线，，，联立，消去y可得，，由韦达定理有，，∴，即得证.
23．(1)
(2)是，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设，表示出PM，PN斜率，相乘化简即可求解；
（2）设Q，设出直线OE方程，由点到直线距离得到关于的方程，由韦达定理求解即可.
(1)
由题意，不妨令，，设，则PM，PN斜率之积为，
化简得，∴曲线C的轨迹方程为．
(2)
设Q点坐标为，则．∵圆Q与直线OE、OF相切，设直线OE：，则，
整理可得，，
设关于k的方程的两根为、，易得、即为直线OE，OF的斜率，所以．
24．(1)
(2)是定值，
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程，
（2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可
（1）由题意得，，渐近线方程为，则到渐近线的距离为，又因为，所以，，，故双曲线的标准方程为.
（2）设直线：，，，，联立方程组得，所以，.因为直线的方程为，所以的坐标为，同理可得的坐标为.因为，，所以，即为定值.
25．(1)；
(2)是定值，定值为.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的离心率的公式，结合点到直线距离公式进行求解即可；
（2）把直线l的方程与椭圆的标准方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率的公式进行求解即可.
(1)
由题意知，，所以，
而，所以①，
直线AB的方程为，即，
所以②，
由①②解得：，
所以椭圆的标准方程为：；
(2)
由（1）得椭圆的标准方程为，.
直线BC的方程为，与椭圆的方程联立：'
化简得
解得，即
同理，直线AD的方程为.联立
化为，
∴，解得﹐∴，
∴，
化为
∴
∴，为定值.
【点睛】
关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
26．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由求出b，再结合离心率列式计算a即可作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，再求出点P，Q的坐标，利用斜率坐标公式计算作答.
(1)
设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)
由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
【点睛】
思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
27．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用相切关系建立等量关系，结合椭圆的定义可求结果；
（2）联立方程，结合韦达定理及面积公式可求答案.
(1)
设的半径为，则，
，故点的轨迹与椭圆有关，，
又由椭圆定义可知，点的轨迹方程为；
(2)
证明：设，直线的方程为，
将代入整理得，
有，
，
原点到直线的距离为，
，即，.
将代入得.
28．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将用表示，得出的值，进而得抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果.
(1)
由题意可得，得，
∴抛物线.
(2)
证明：，联立，得．
由，得或，
设，，则，，
∴
.
29．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知椭圆离心率和点A坐标列方程求解即可.
（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理进行计算即可得到定值.
(1)
由题意知解得
所以椭圆的方程是．
(2)
证明：由（1）知，
设，直线的方程为，
将其代入，得，
所以，
且，解得．
又因为存在，所以，即或．
所以为定值，定值为．
30．(1)
(2)是定值；
【解析】
【分析】
（1）根据APF2的周长为和F1PF2面积最大值为4，得到4a=，bc=4求解；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点A的坐标，同理得到点B的坐标，再利用斜率公式求解.
(1)
解：如图所示：
由题意得，
解得，
所以椭圆的方程为
(2)
设直线的方程为，
由
得，
，
即，
，
，
，同理可得，
，
为定值
31．(1)
(2)
(3)，定值．
【解析】
【分析】
（1）设关于的对称点为，根据的中点在直线上，结合直线与直线垂直求解可得，再求与的交点坐标即可；
（2）根据椭圆的定义结合椭圆基本量的关系求解即可；
（3）方法一：假设存在两定点为，再化简为，再根据定值列式求解即可；
方法二：设为定值），再化简结合得到恒成立，再根据定值列式求解即可
(1)
设关于的对称点为，
（由反射的性质，可知点三点共线）
则且解得即，
易得直线方程为，
由解得．
(2)
因为，根据椭圆定义，
得
所以．又，
所以．所以椭圆的方程为．
(3)
方法一：假设存在两定点为，
则 （斜率常用斜率公式处理）
（若其是定值，则不受的影响，先想到消元）
又，
若要是定值，则要满足 ，
解得或，
所以有且只有两定点，
使得为定值．
方法二 假设存在两定点为，
使得对于椭圆上任意一点（除长轴两端点）都有为定值），
即将代入并整理得

由题意式对恒成立，
所以，解之得或．
所以有且只有两定点，
使得为定值．
【点睛】
① 方法一分式是定值（即同项系数比相等）；
方法二利用方程恒成立的方法：式子对恒成立，设是关键；
② 点处的切线平分在点处的外角.（椭圆的光学性质）
32．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，再将点代入计算即可；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出，进而求出直线与的斜率之积为定值以及的值．
(1)
由题意，，故点在椭圆上，即，解得，故，故椭圆的方程为
(2)
由已知直线过点，设的方程为，
则联立方程组消去得，
所以
设则
又直线与斜率分别为
则
要使为定值，则有因为，故
当时，；
所以存在点使得直线与的斜率之积为定值，此时
33．(1)
(2)
(3)存在点，使得为定值.
【解析】
【分析】
（1）设，则，再根据斜率公式代入即可计算的值；
（2）设弦的两个端点分别为，利用点差法可得，联立直线和椭圆，即可得的范围
（3）设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.
(1)
设，因为P为椭圆C上一点，
所以，所以，
所以，
所以.
故为定值.
(2)
设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，①
，②
①减②得：，
.
又，.
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：
(3)
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
34．(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）先由求出点坐标，再结合离心率为，即可求出椭圆的方程；
（2）设出坐标，表示出直线 的方程求得 两点坐标，进而求得坐标，表示出，由是椭圆上的一点化简得，即可求解.
(1)
由题意知：，则，又，则，故，
又离心率为，则，，故椭圆的方程为；
(2)
易得，设，，由直线 的斜率 存在知，
又直线 斜率必存在，则直线，令，得，则，
直线，令，得，则，又，则，
则，又是椭圆上的一点，则，即，
故，故当时，为定值，此时.
35．证明见解析
【解析】
【分析】
设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值.
【详解】
证明：由题意得，，则，
设直线的方程为，设点、．
由，消去得，
，可得，且有，
由韦达定理可得，，
，
，
又由得，代入上式得：
，
所以，为定值.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
36．BCD
【解析】
【分析】
求得双曲线C的渐近线方程判断选项A；求得双曲线C的离心率判断选项B；化简后再判断选项C；求得的取值范围判断选项D.
【详解】
设，则，因为，，
故，
依题意有，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为，
离心率，故选项A错误，选项B正确；
因为点P，Q关于原点对称，所以四边形为平行四边形，即有，
所以，故C正确；
设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，
则，根据对称性不妨设P在x轴上方，则，则，则，
因为P在x轴上方，则，或，
函数在和上单调递增，
所以，故D正确.
故选：BCD.
37．(1)
(2)证明见解析，定值为
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式与韦达定理可求得的值，即可得解.
(1)
解：由题设知，，解得，
所以，椭圆的方程为.
(2)
解：由题意直线的方程为，
若，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不合乎题意；
若，因为，则点在椭圆外，
联立可得，
则，可得，解得或，
设点、，由韦达定理可得，，
所以，
.
综上所述，直线与的斜率之和为定值.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
38．(1)
(2)是，
【解析】
【分析】
（1）根据四边形的面积和周长分别为和8，列出的方程组，可直接求解；
（2）设点，、用坐标表示，直线PE方程用坐标表示，联立方程，韦达定理，带入直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积化简求解．
(1)
由题意可知，，且，
解得，
所以椭圆C的方程为．
(2)
设点，，
则，，
所，
所以直线PE的方程为，
联立
所以，
所以，，
所以，
，
而代入，，
可得，
所以直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积为定值．
39．(1)
(2)16
(3)证明见解析，
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，，再由求出，从而可求出椭圆方程，
（2）由题意设直线的方程为，，，，，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系和弦长公式表示出，再表示出直线与之间的距离，从而可表示出四边形的面积，利用换元法可求出其最大值，
（3）由（2）中根与系数的关系，求解，设直线方程为，直线方程为，设，两直线方程联立可表示出交点坐标，消去参数后可得点的轨迹方程，或设，则直线与交点的轨迹方程为，将代入化简可得结果
(1)
因为，所以，
由于焦距为，所以，，
所以
所以椭圆的标准方程为
(2)
因为，所以，所以，
设直线的方程为，
，，，，由得，
由△得，，
，
直线方程为，所以，
直线与之间的距离为，
所以四边形的面积，
令，则，
令，则，
所以，所以当时，
即时，四边形最大值为16，
(3)
由第（2）问得，，
，
设直线方程为，直线方程为，
解法一：设，由，得，
所以，所以，
又因为点在第二象限，
所以，即所以交点的轨迹方程为；
解法二：设，则直线与交点的轨迹方程为，
即，所以，
所以或，
因为直线方程为，所以，
又因为点在第二象限，所以，
即所以交点的轨迹方程为．
40．(1)=1
(2)证明见解析
(3)是，27
【解析】
【分析】
（1）根据离心率为可得a2=2b2，再将点T(b，)代入椭圆方程化简求解即可；
（2）根据直线OP：y=k1x， OQ：y=k2x与圆R相切可得k1，k2为方程(x02-6)k2-2x0y0k+y02-6=0的两个不等的实根，再根据韦达定理可得k1k2=，进而根据R（x0，y0）满足椭圆C的方程化简即可；
（3）设P(x1，x1)，Q(x2，y2)，并代入椭圆方程，代换可得OP2＋OQ2为定值
(1)
∵椭圆：=1(a＞b＞0)的离心率为
∴e2===，得a2=2b2①
又点T(b，)在椭圆C上，故+=1②
联立①②得a2=18，b2=9.
∴椭圆C的方程为=1.
(2)
证明：由直线OP：y=k1x与圆R相切，可得，
即有(x02-6)k12-2x0y0k1+y02-6=0
同理由直线OQ：y=k2x与圆R相切，
可得(x02-6)k22-2x0y0k2+y02-6=0，
即k1，k2为方程(x02-6)k2-2x0y0k+y02-6=0的两个不等的实根，
可得k1k2=
由R(x0，y0)在椭圆上，可得=1，即为y02=9-x02，
即有k1k2==-
(3)
OP2+OQ2为定值27.
理由如下：设P(x1，x1)，Q(x2，y2)，
由k1k2=-，即y12y22=x12x22，
由P(x1，x1)，Q(x2，y2)在椭圆上，可得
=1，=1，
即y12=9-x12，y22=9-x22，
则(9-x12)(9-x22)=x12x22，
即有x12+x22=18，y12+y22=9-x12+9-x22=9，
即OP2+OQ2=27，
所以，OP2+OQ2为定值27.
41．(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）设出过点的直线方程，与抛物线联立，表示出弦长即可根据最小值求出；
（2）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理表示，根据其为定值即可求出.
(1)
设过点的直线方程为，设交抛物线于，
将直线代入抛物线可得，则，，
所以，
当时，取得最小值为，所以；
(2)
假设存在定点，设直线的方程为，，
将直线方程代入抛物线得，则，
所以，
因为点为定点，所以，，即，
因为直线不过原点，所以，
所以
，
因为为定值，所以，解得，
因为在第三象限，所以存在定点，其坐标为.
42．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，由此建立方程求得a，可得椭圆的标准方程；
（2）设P(－1，t)(且)，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，设点M(，)，N(，)，联立方程组，可解得，.同理可得.再求得点Q的坐标，表示，可求得其定值.
(1)
解：当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，
则，解得，
所以椭圆E的方程为..
(2)
证明：设P(－1，t)(且)，，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，
设点M(，)，N(，)，
联立方程组消去y，整理得.
则，因为，所以，.
同理可得.
因为且，所以，
则直线MN的方程为，
令，得.
则.
43．(1)
(2)是定值，定值为
【解析】
【分析】
（1）由题意列出a,b,c的等量关系可得解；
（2）设A,B坐标，写出AF方程与椭圆方程联立，可得点C坐标，同理得点D坐标，然后写出斜率公式进行化简可得定值.
(1)
由题意知
，，
所以椭圆方程为.
(2)
设，则
可得：代入椭圆方程
整理得
由代入上式得
，是方程的一个解
∴点C的横坐标，
又因为在直线上
∴，同理：∵，
∴，即
∴为定值，定值.
44．(1)证明见解析；
(2)定值，7.
【解析】
【分析】
（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；
（2）设直线的方程为，与双曲线联立得，同理得，由斜率公式及（1）中的结论可得结论.
(1)
由等轴双曲线知离心率，，及，
可得，所以双曲线方程为，.
当直线的斜率不存在时，，，
直线的斜率存在时，，，整理得，
综上所述，成立；
(2)
依题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
代入双曲线并化简得：，①
由于，则代入①并化简得：，
设，则，解得，
代入，得，即，同理可得，
所以，
所以是定值.
45．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，求出椭圆上顶点坐标，再结合即可求解作答.
（2）设点，联立直线l与椭圆C的方程，求出直线AM，AN的方程，再联立求出交点Q的横坐标即可作答.
（3）利用（2）中信息，直接计算即可作答.
(1)
当时，直线：，令，得，即椭圆的上顶点为，则，
又的周长为，即，，又，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)
由（1）知，，设，依题意，点A，B不在x轴上，
由消去并整理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程得，
由得代入上式，得
，于是得，
所以直线交点在定直线上．
(3)
由（2）知，，由得：，
所以为定值．
【点睛】
思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.
46．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求曲线方程，设直线方程联立曲线方程消元，根据韦达定理对化简可证；
（2）数形结合，将所求面积转化为，由（1）根据韦达定理和基本不等式可得.
(1)
设，由题可知，所以（）．
设直线l的方程为，，，
联立，得，
所以，，所以，，
所以
，
所以为定值．
(2)
设，由椭圆的对称性，不妨设，
∴，，
而
，当，即时，等号成立，
此时的面积最大值为．
47．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出，即可求得双曲线的方程，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时，有，代入左边即可验证得到右边，斜率存在时结合化简整理即可得证；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立求得点的坐标，同理可求得点的坐标，进而表示出，结合（1）的结论即可得出结论.
(1)
证明：由题意得：，解得，
所以双曲线的 方程为，
则，
当直线的斜率不存在时，则，
此时，
当直线的斜率存在时，
因为，即，
整理得，
综上所述，；
(2)
解：因为点为线段的中点，所以，
显然直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，
联立，消整理得，
又，所以，
所以，
设，则，所以，
代入，得，即，
同理，
所以，
又因，
所以，即是定值.
48．(1)
(2)①证明见解析 ；②存在；
【解析】
【分析】
（1）利用几何知识可得，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求，，，利用韦达定理证明；②根据①结合题意求的坐标，代入双曲线方程运算求解．
(1)
∵，
∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC，则，
∴，
由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外），
，，则，
∴E的方程是．
(2)
①证明：由已知得，，满足，
设直线l方程为，，，
联立，得，
，，
，
同理，
∴
对，令，得，
∴，，
∴，
∴是定值．
②假设存在m的值，使
由①知，，
则，
∴，
直线QK的方程为，
令，
得；
直线l的斜率为1，直线l的方程为，
令，得；
∴，
∴，
代入，得，
整理得，，
解得，或（∵，舍去）
∴，存在m的值为，使．
49．(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由，把点的坐标代入椭圆方程，结合可求得得椭圆方程，设点，求出，根据椭圆的范围得数量积的范围；
（2）设两点M N，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，再代入化简可得．
(1)
由题意得.
又点在椭圆上，所以，
且，所以，，故椭圆的方程为.
设点，由，得.
又，所以.
(2)
设过点且斜率为的直线方程为，
联立椭圆方程得.
设两点M N，故，.
因为，
其中，，
故
所以为定值．
50．(1)
(2)为定值
【解析】
【分析】
（1）根据离心率与椭圆过的点，列出方程组，待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，求出两根之和，两根之积，表达出，计算，得到定值.
(1)
设椭圆的焦距为，
则，解得
故椭圆的方程为.
(2)
由题意可知直线的斜率存在，设直线.
联立整理得，
则.
因为，所以，
则
故为定值.
试卷第1页，共3页

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