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第十一章 小结
一、教材内容分析
本节课主要复习平面的基本事实与推论、直线与平面、平面与平面的平行及垂直关系的判定、性质定理及其简单应用。线、面的垂直关系是空间位置关系中的核心内容之一，是线面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。同时，线、面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。同时，线、面垂直关系的转化，能较好的培养和提高学生的转化意识和能力，对学生的空间想象能力的提高有举足轻重的作用。
二、教学目标
通过实例进一步掌握平面的基本事实与推论，用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题 通过实例进一步掌握空间中线线、线面、面面平行关系的相互转化和综合应用，掌握空间问题和平面问题的转化 通过实例进一步掌握空间中线线、线面、面面垂直关系的相互转化和综合应用，掌握空间问题和平面问题的转化
三、教学重点、难点
重点：空间中线线、线面、面面平行关系的相互转化和综合应用、线线、线面、面面垂直关系的相互转化和综合应用 难点：空间问题和平面问题的转化
四、教学方法
讲练结合
考点1：截面、共点、共线、共面问题
如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且.
（1）求证：四点共面；
（2）设与交于点，求证：三点共线.
【变式练习】
如图所示的几何体中，，，，且，，，.求证:直线，，相交于同一点.
例2．如图，在正方体中，是的中点，画出过点，的平面与平面的交线，并说明理由.
【变式练习】
在棱长为4的正方体中，点分别为的中点，则过三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法】
1.平面的基本性质的应用
公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据.
2.证明点共线问题的常用方法
（1）公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；
（2）同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
3.证明线共点问题的方法,先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.
4.证明点、直线共面问题的常用方法
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
考点2：空间中的位置关系
例3. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，与所成的角相等，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式练习】
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
考点3：空间中的平行关系
例4.如图，在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
例5. 如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
例6. 如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.
【解题方法】
1．线线、线面、面面平行间的转化
其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
2．直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质．
3．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β α∥β.
考点4：空间中的垂直关系
例7.如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
例8.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
例9. 如图，在三棱锥A BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【解题方法】
1．证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直 a⊥α；
(2)判定定理1： l⊥α；
(3)判定定理2：a∥b，a⊥α b⊥α；
(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α a⊥β；
(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
2．证明线线垂直的方法
(1)定义：两条直线所成的角为90°；
(2)平面几何中证明线线垂直的方法；
(3)线面垂直的性质：a⊥α，b α a⊥b；
(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α a⊥b.
3．证明面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a α，a⊥β α⊥β.
4．转化思想：垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
考点5：空间角的计算
例10.如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
例11. 已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )
A． B．
C． D．
例12.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为，则（ ）
B．
C． D．
【解题方法】
1.求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
2. 求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
3. 方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
方法二(垂线法):过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.
如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
第十一章测试题
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列说法不正确的是 (　　)
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
3.已知圆锥的底面半径为1,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为 (　　)
A.π B.π C.π D.π
4.如图所示,有一个圆柱,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面的点B处的食物.当圆柱的高等于12 cm,底面半径为3 cm时,蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是(π=3) (　　)
A.12 cm B.13 cm C.15 cm D.18 cm
5.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 (　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
6.如图,在矩形ABCD中,EF∥AD,GH∥BC,BC=2,AF=FG=BG=1,现分别沿EF,GH将矩形折叠,使得AD与BC重合,则折叠后的几何体的外接球的表面积为 (　　)
A. B. C.6π D.24π
7.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 (　　)
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成角为α,直线PB与平面ABC所成角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则 (　　)
A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ
C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中错误的是 (　　)
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
10.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论正确的有 (　　)
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
11.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点P在面对角线AC上运动,则下列结论正确的为 (　　)
A.D1P∥平面A1BC1
B.D1P⊥BD
C.平面PDB1⊥平面A1BC1
D.三棱锥A1 -BPC1的体积不变
12.如图,在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为正方形,且SA=SB=SC=SD ,其中E,M ,N分别是 BC,CD,SC 的中点,动点P在线段MN上运动时,下列结论正确的是 (　　)
A.EP⊥AC B.EP∥BD
C.EP∥平面SBD D.EP⊥平面SAC
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下一个直径为12 cm、深2 cm的空穴,则该球的半径是　　　cm,表面积是　　　　cm2.
14.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于点E,交CC′于点F,则:①四边形BFD′E一定是平行四边形;②四边形BFD′E有可能是正方形;③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为　　　　　.(写出所有正确结论的编号)
15.如图所示,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕.使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面,则:
(1)BD与CD的关系为　　　　　;
(2)∠BAC=　　　　　.
16.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)如图,已知点E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.
1
8.(12分)如图,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE.
(2)求点C到平面C1DE的距离.
19.(12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1.
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.
20.(12分)如图,已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=.
(1)求证:MN∥平面BB1C1C.
(2)求MN的长.
21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.
22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.
(1)求证:BD⊥平面PAC.
(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE.
(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE 说明理由.

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