资源简介

9.1.2余弦定理
一、教材内容分析
本节内容是《解三角形》一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据.
二、教学目标
了解余弦定理的证明过程、掌握余弦定理在解三角形中的简单应用
三、教学重点、难点
【教学重点】 余弦定理的证明、余弦定理在解三角形中的简单应用 【教学难点】 余弦定理在解三角形中的应用
四、教学方法
小组合作学习
探究案
利用如图所示的现代测量工具，可以方便地测出3点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离和角。
例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及的大小，你能根据这三个量求出AB吗？
情境中的问题可以转化为：已知和角，如何求
如图所示，注意到：
所以：，
而且，因此
又因为，因此：
类似地，可得：
这是余弦定理，三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.
例1.在中，已知，求
解：由余弦定理可知
因此
注：当已知三角形的两边及夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS一致.
例2.在中，已知，求
解：由可得：
可解得：
又因为
注：已知三角形的3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致。
事实上，余弦定理可以改写成如下形式：
注：（1）熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
（2）余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
（3）当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
（4）变形：
【变式练习】
在△ABC中：
(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；
(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；
(3)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b；
(4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A.
(5)已知在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，求角C.
例3. 边长为的三角形中，求最大角与最小角的和
解：不妨设5，7，8所对的角分别为A，B，C
由于5>7>8,
故C为最大角，A为最小角
由于，故
【变式练习】
已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
例4.已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacosB ∴72＝c2＋82－2×8×ccos60°
整理得：c2－8c＋15＝0 解之得：c1＝3，c2＝5，
∴S△ABC＝ac1sinB＝6，或S△ABC＝ac2sinB＝10.
【变式练习】
a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b-c＝2，求a．
例5.在中，已知用两种方法判断该三角形的形状.
【解】方法1o（余弦定理）得a=b
c=
是等腰三角形或直角三角形.
方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB, sin2A=sin2B, 2A=2B,或2A+2B=180
A=B或A+B=90 是等腰三角形或直角三角形.
注：判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路，利用余弦或者正弦定理进行边角互化.
【变式练习】
1.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.
例6.如图所示平行四边形ABCD中，已知，求四边形ABCD的面积.
【解】连接A，C如图所示。
再中分别使用余弦定理可得：
又因为，所以，因此
解得：，因此
从而可知四边形的面积为：
注：与平面多边形有关的问题，可以转化为三角形中的边或角问题，借助余弦定理或正弦定理来解决。
【变式练习】
1.在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：
AB的长
四边形ABCD的面积
例7.在中，求证：.
【证明】如图所示，
因此：
又由图可知
所以：
即：
注：（1）上述结果也可以用向量数量积的几何意义来解释，事实上，是在上的投影的数量之和。
（2）同理可得：
（3）结合三个等式也可以证明余弦定理，同学们可自行尝试.
【变式练习】
在ABC中，求证：
当堂检测:
9.1.2余弦定理
1．在中，角的对边分别为，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，已知，，，那么a等于（ ）．
A． B．41 C．49 D．51
3．在中，角的对边分别是.则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
4．的内角的对边分别为，已知，，，则（ ）
A．3 B．1 C．1或3 D．无解
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac,则角B的值为
A． B． C．或 D．或
6.若的内角满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知钝角三角形的三边长分别为，则的取值范围是（ ）
A．(-2,6) B．(0,2) C．(0,6) D．(2,6)
8．已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，，（ ）
A． B． C． D．
9．在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10. 在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
11. 在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
(1)求角C； (2)求的长； (3)求△ABC的面积。

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