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简单几何体的外接球和内切球问题
正方体或长方体：
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
例1.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B．2π C．4π D．
例2.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　．
练习1：三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，长度分别为，，，则其外接球半径为 。
练习2：如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是 .
练习3：如右图所示三棱锥A-BCD,其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球的表面积为_______.
二、直三棱柱：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
例3.直三棱柱ABC-A’B’C的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．16π C．28π D．36π
练习1：在直三棱柱中，,则直三棱柱的外接球的表面积 .
练习2：直三棱柱的各顶点都在同一球面上，AB=AC=AA1=2,则此球的表面积等于 。
三、正棱柱：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
例4.各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .
练习1：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .
四、直棱锥：侧棱垂直于底面
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①；
②.
例5. 在三棱锥中，,，则三棱锥外接球的表面积 .
练习1：三棱锥S_-ABC中，SA⊥面ABC，SA=2。△ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为 .
练习2：若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球的球面上，平面， ，则球的表面积为 .
五、正棱锥：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。
例6.已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( )
B. C. D.
练习1：已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ）
A. B. C. D.
练习2：如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是　　
B． C． D．
练习3：体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .
六、若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
例7.三棱锥A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=，则此三棱锥外接球的体积为 .
练习1：在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为
内切球
（一）相似：正棱锥的内切球问题
例1．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
练习1：若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3
（二）等体积法
例2.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥M-ABCD为阳马，侧棱MA⊥面ABCD，且MA=BC=AB=2，则该阳马的内切球表面积为（ ）
A. B. C. D.
例3.已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
练习2：如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
练习3：在正方体中，三棱锥的内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．

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