资源简介

平面向量数量积之极化恒等式
1.极化恒等式
设,为两个平面向量，则.
【证明】：因为；，
两式相减得：)),
所以.结论得证.
2.极化恒等式的几何意义
平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即.
3.极化恒等式的三角形模式
在△ABC中，若M是BC的中点，则
简证：
如图，由
语言叙述：
同起点的数量积等于第三边中线的平方减去第三边一半的平方.
矩形中的两个性质
如图，P为矩形ABCD所在平面内的一点，则有如下性质：
性质1：；
证明：由极化恒等式，有，，
从而.
性质2：
证明：
平方得，
由性质(1)知，.
所以
例题
类型一：利用极化恒等式求值
【例1】平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3,OC=5,若，则___.
【解析】:因为，得；
所以.
【例2】在△ABC中，AB=2，点D,E在AB上，且AD=DE=EB，若，则的值是( )
A． B． C． D．
【解析】:如图，设AB的中点为O.
因为AB=2,AD=DE=EB，所以AO=1，DO=；
因为，所以.
所以.故选:A.
【例3】(2016江苏) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，若，，则_______.
【分析】：依题意，
；
解得，，
故.
类型二：利用极化恒等式求最值
【例4】 在半径为1的扇形AOB中，，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，的最小值
是______.
【解析】：如图取OB的中点D，连接PD，
=，由图可知，当时，，
则的最小值是.
【例5】 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M，N分别为边BC，CD上的动点，且MN=2，则
的最小值为_______.
【分析】：如图，设K为MN的中点，由极化恒等式，1，
显然，K的轨迹是以点C为圆心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，
所以，
所以.
【例6】(2017年新课标2)已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
的最小值为( )
﹣3 B．﹣6 C．﹣2 D．
【解答】：设BC中点为D，AD的中点为E，则，
所以由极化恒等式得，
，
显然，，
所以的最小值为-6.选B.
类型三：利用极化恒等式求范围
【例7】如图，△ABC是边长为的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则
的取值范围是　 　．
【解答】：因为2，△ABC是等边三角形，所以取AB的中点D，连接PD，CD,
则CD⊥AB，CD=3，
所以,
显然，当P位于C,D之间时，此时PD=3-1=2,所以；
当P位于C点之外时，此时PD=3+1=4,所以.
即的取值范围是[1，13]
故答案为：[1，13]
【例8】如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已知AC=3,BC=4,∠C=90°，过圆心O的直线l交圆O
于P,Q两点，则的取值范围是_______.
【解析】：由题意可求AB=5,所以,考虑到P,Q都是动点，不妨将=,
则()
=，
若，则，若点Q在CB的投影为BC中点时，
，
因此的取值范围是.
【例9】在锐角△ABC中，已知，，则的取值范围是_______.
【分析】:如图所示，取BC的中点M，可得1，
向量长度变化的极限位置是△ABC为直角三角形的状态，而成为直角的可能有两种情况，即∠C为直角
和∠A为直角.
下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为A1，此时∠BA1C=90°，|A1M|=1；
过点C作，垂足为C，此时∠BCA2=90°，
|A2M|=.
因此，故.
三、【练习】
1.在△ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则( )
A．-7 B．7 C．-28 D．28
2.已知点A,B分别在直线x=1,x=3上，，当取得最小值时，的值为( )
0 B. 2 C. 3 D.6
3.若点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是________.
4.已知F1,F2分别是椭圆C：的左、右焦点，若C上存在一点P，使得，则椭圆的离心率的范围是________.
5.已知正方形ABCD的边长为2，以C为圆心的圆与直线BD相切．若点M是圆C上的动点，则的
最小值为 ．
6.已知点M为单位圆上的动点，点A在直线x=2上，则的最小值为_______.
7.在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则的最小值是_______.
8.如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1,3，点B，C分别在m,n上，，则的最大值是_______.
9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，若点A,B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，的最大值是_______.
10.(2018天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD
上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．3
如图放置的边长为1的正方形ABCD，顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴(含原点)上滑动，则的
最大值为_______.
在三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直且SA=SB=SC=2，点M为S-ABC的外接球上任意一点，则
的最大值为_________.
13.已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则的范围是______.
14.已知A，B为椭圆的一条动弦，且经过原点，M为直线3x-4y-15=0上的一个动点，则的最值为( )
B. C. 5 D. 8
15.设正方形的边长为4，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，如图所示，则的取值范围是_______.
16.(2013浙江)设△ABC中，P0是边AB上一定点，且满足，且对边AB上任一点P，恒有
，则有( )
A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AAC D.AC=BC
17.已知Rt△ABC的斜边AB=4,设P是以C为圆心，1为半径的圆上任意一点，则的取值范围是_______.
B. C. D.
如图，在四边形ABCD中，，，E 为AC的中点.
若，求△ABC的面积；
若，求的值.
四、答案与解析
1.【解析】:在△ABC中，设BC的中点为M，则
.
故选A.
2.【分析】:如图，，点A,B分别在直线x=1,x=3上，若取得最小值时，AB的中点M在x轴上，.选A.
3.【分析】:设AC的中点为M，由极化恒等式，，
又，所以.
4.【分析】:设C的中心为O，由极化恒等式，,
易知，，所以.
5.【解析】:取AD中点E，由极化恒等式，
得，
故当ME最大时，有最小值，MEmax＝CE＋，
所以()min＝．
6.【分析】：如图，由极化恒等式得，，
而OM的中点E的轨迹为圆，当A在x轴时，，
所以()min＝2.
7.【解析】：取BC边的中点M，连接PM，设点P到BC边的 距离为h，
则，
所以,
当且仅当时，等号成立.
8.【解析】：连接BC，取BC的中点D，则由极化恒等式得，，
又，故,
又,
所以的最大值等于.
9.【分析】：如图，不妨取AC的中点M，AB的中点N，
由极化恒等式得，结合三角形边长关系(两边之和大于第三边)，
10.【解析】：取AB的中点F，连接EF，则，
显然，当FE⊥CD时， 最小，即 最小，此时FE//AD，延长BA，CD交于点G，
因为∠BAD=120°，所以∠DAG=60°，所以∠G=30°，解三角形得AG=2,GF=，所以,
所以= .
11.【分析】:如图，取BC，AD的中点E，F，，
因为(当OE⊥BC时取等号)，所以，
即的最大值为2.
【分析】:因为SA，SB，SC两两垂直且SA=SB=SC=2，故可以补成正方体，连接AB，
取AB的中点O1，连接MO1，则如图所示，
则=2，
当M,A,B在同一个大圆上且，点M与线段AB在球心的异侧时，最大，此时线段
长为,所以2=.
所以的最大值为.
13.【解析】：如图，由极化恒等式得，16，
因为,
所以
14.【解析】：如图，连接MO，根据极化恒等式有，
这样考虑||取最小值且取最大值时，曲线动点问题得以化解.
设d为原点O到直线3x-4y-15=0的距离,则||min=d=,max=2,
因此，()min=9-4=5.
15.【分析】：取CD的中点E，连接PE，在△PDC内由极化恒等式得，
4，
由图可知，,故
16.【分析】：如图，，，
因为，所以，
从而，过C作CH//P0M交AB于H，则CH⊥AB，
考虑，所以AH=BH，故AC=BC，选D.
17.【分析】:如图所示，在Rt△ABC上，不妨取AB的中点M，则4.
设圆的半径为r=1,而,则，
,则，
因此的取值范围是.选C.
18.【解析】：
因为，，所以，
因为,
所以；
，由，
所以

展开更多......

收起↑