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《解三角形》专题1-1 正弦余弦定理、面积公式
（9套，共8页，含答案）
知识点：
三角性质回顾： 三角形内角和等于180度。 三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 反向识记重要三角函数值： 知道三角函数值，要很快知道原来的角是多少。知道正弦数值，反求角度，要考虑两种情况，具体如下： ；则； ；则；；则； ；则2A=2B，或2A+2B=
典型例题：
已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( [endnoteRef:0]　)
A．0＜C≤ B．0＜C＜ 　　C．＜C＜ D．＜C≤ [0: 答案：A；]
已知，，则 [endnoteRef:1] ；已知，，则 [endnoteRef:2] 。 [1: 答案： 或；] [2: 答案：；]
知识点：
正弦定理： 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形． 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是 三角形外接圆的直径2R . 正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； （化边为角的公式）
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝. （化角为边的公式） 注意：用正弦定理解三角形的时候，有时会出现两个结果，要根据实际情况进行取舍。
典型例题：
已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于（[endnoteRef:3] ） [3: 答案：45°； ]
在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．[endnoteRef:4] [4: 答案：解　a＝2，b＝6，a又因为bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
]
在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝_____[endnoteRef:5]___. [5: 答案：7；
解析:∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7.]
随堂练习：
在ABC中，，则B等于（ [endnoteRef:6] ） [6: 答案：； ]
在中，已知，则等于（ [endnoteRef:7] ）
A. B. C. D. [7: 答案：B；
解析：由正弦定理可得，带入可得，由于，所以，，又由正弦定理带入可得 ]
在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于(　[endnoteRef:8]　)
A．45°或135° B．60° C．45° D．135° [8: 答案：C；
解析　由＝得sin B＝＝＝. ∵a>b，∴A>B，B<60°, ∴B＝45°.]
在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是 (　[endnoteRef:9]　)．
A. B. C. D. [9: 答案：A
解析　在△ABC中，C＝120°，故A，B都是锐角．据正弦定理＝＝.]
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，
则角A的大小为__[endnoteRef:10]___． [10: 答案：；
解析　由sin B＋cos B＝sin＝得sin＝1，∴B＝.
由正弦定理＝得sin A＝＝＝，∴A＝或π. ∵a＜b，∴A＜B，A＝.]
知识点：
余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：
a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. 余弦定理的推论： cos A＝；cos B＝；cos C＝.（建议记推论，用起来比较方便） 解题技巧： 已知三边，两边一角的情况，多用余弦定理，其他情况用正弦定理。
典型例题：
在△ABC中， a=2，B=，c=4,则b= [endnoteRef:11] . [11: 答案：；]
已知△ABC中，a＝3，b＝5 ，，求c边的大小。（[endnoteRef:12]） [12: 答案：4或； ]
在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（ [endnoteRef:13] ） [13: 答案：-19； ]
随堂练习：
△ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝2，b＝10，则c＝（ [endnoteRef:14] ）
A.2 或8 　　B. 2 　　C.8 　　D. 21
[14: 答案：A；]
在△ABC中，a=3，b=4，，求角C的大小。（[endnoteRef:15]）
[15: 答案：； ]
在△ABC中，已知a=7，b=8，，则最大角的余弦值是_[endnoteRef:16]________ [16: 答案：；]
在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝_____[endnoteRef:17]___. [17: 答案：；
解析　由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C ＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝.]
知识点：
面积公式： 三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B
典型例题：
△ABC中，a=2，A=，C=，则△ABC的面积为（ [endnoteRef:18] ） [18: 答案：； ]
已知△ABC中，，则其面积等于（ [endnoteRef:19] ） [19: 答案：或； ]
在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为 (　[endnoteRef:20]　)．
A. B．3 C. D．7 [20: 答案：A；
解析　∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.即BC＝.
]
温馨提示：
涉15度计算： 涉及到以下数值，可以用和差公式展开，也有的学生直接记结果，提高做题效率。 ； ； ； ； ； ；
随堂练习3（面积，非特殊角）：
在△ABC中，则BC =（ [endnoteRef:21] ）
A. B. C.2 D. [21: 答案：A；]
在△ABC中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知，且，则△ABC的面积为[endnoteRef:22]______.
[22: 答案：；
由正弦定理，又，且，所以，所以，所以]
在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝____[endnoteRef:23]____. [23: 答案：2；
解析　∵cos C＝，∴sin C＝，∴absin C＝4，∴b＝2.
]
在 ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则 ABCD的对角线AC长为_______，面积为____[endnoteRef:24]____． [24: 答案：3　9
解析　在 ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，
∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.根据余弦定理得，
AC＝ ＝ ＝3.
S ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD ＝6×3sin 60°＝9.]
已知△ABC中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若且，则 ( [endnoteRef:25] )
A.2 B．4＋ C．4— D． [25: 答案：A；]
《解三角形》专题1-2 正弦余弦定理、面积公式
（限时10分钟）
在△ABC中， A=，B=，c=6,则a= [endnoteRef:26] . [26: 答案：；]
在△ABC中，若，，，则__[endnoteRef:27]___． [27: 答案：；]
在△ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于（　[endnoteRef:28]　） [28: 答案： ； ]
设△ABC的内角 的对边分别为,且,则_[endnoteRef:29]___ [29: 答案：； ]
已知在△ABC中，，则△ABC的面积=_____[endnoteRef:30]_________. [30: 答案：或；]
ABC中，a=2，A=，C=，则△ABC的面积为（ [endnoteRef:31] ）
A. B. C. D. [31: 答案：C；]
《解三角形》专题1-3 正弦余弦定理、面积公式
在△ABC中，若_[endnoteRef:32]________。 [32: 答案：；]
在（[endnoteRef:33]） [33: 答案：C=60，B=75，b=；或C=120，B=15，b=；]
在△ABC中，，求c边的长（[endnoteRef:34]） [34: 答案：； ]
在△ABC中，若，则等于（ [endnoteRef:35] ） [35: 答案：； ]
在△ABC中，已知，求△ABC的面积。([endnoteRef:36]） [36: 答案：；]
已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 (　[endnoteRef:37]　)．
A．75° B．60° C．45° D．30° [37: 答案：B；]
《解三角形》专题1-4 正弦余弦定理、面积公式
在△ABC中，则BC =（ [endnoteRef:38] ） [38: 答案：； ]
在△ABC中，已知，a=5,c=10,A=,则角B等于（ [endnoteRef:39] ） [39: 答案：105度或15度； ]
在△ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c,，已知A=，则c等于[endnoteRef:40]______ [40: 答案：2； ]
在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝_[endnoteRef:41]_______． [41: 答案：4，5； ]
在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是__[endnoteRef:42]______． [42: 答案：；]
在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为___[endnoteRef:43]_____． [43: 答案：；]
《解三角形》专题1-5 正弦余弦定理、面积公式
在△ABC中，若，，，则AB=__[endnoteRef:44]___． [44: 答案：； ]
在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．[endnoteRef:45] [45: 答案：B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2；]
△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝___[endnoteRef:46]_____. [46: 答案：30°；]
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝____[endnoteRef:47]____. [47: 答案：2；]
在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 (　[endnoteRef:48]　)．
A.或 B.或 C.或 D. [48: 答案：B；]
在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于 (　[endnoteRef:49]　)．
A. B. C. D．3 [49: 答案：A；]
《解三角形》专题1-6 正弦余弦定理、面积公式
已知[endnoteRef:50]在 [50: 答案：，，； ]
在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于(　[endnoteRef:51]　)
A．45°或135° B．60° C．45° D．135° [51: 答案：C；]
在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 (　[endnoteRef:52]　)．
A. B. C. D.
[52: 答案：B；]
在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　[endnoteRef:53]　)
A. B．3 C. D．5 [53: 答案：A；
]
已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积( [endnoteRef:54]　)
A.9 B.18 C.9 D.18 [54: 答案：C；]
已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是___[endnoteRef:55]_____． [55: 答案：12；]
《解三角形》专题1-7 正弦余弦定理、面积公式
在△ABC中，若AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝____[endnoteRef:56]____. [56: 答案：75°；]
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且角A＝75°，则b＝(　[endnoteRef:57]　)．
A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－ [57: 答案：A；]
在△ABC中，已知，，则最大角的余弦值是_[endnoteRef:58]________
[58: 答案：；]
在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于 (　[endnoteRef:59]　)．
A. B．8 C．10 D．7 [59: 答案：D；]
已知△ABC中，，则其面积等于（ [endnoteRef:60] ） [60: 答案：或； ]
在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为 (　[endnoteRef:61]　)．
A. B．3 C. D．7 [61: 答案：A；]
《解三角形》专题1-8 正弦余弦定理、面积公式
已知△ABC中，a＝4，b＝4 ，∠A＝30°，则∠B等于 (　[endnoteRef:62] ) [62: 答案：30°； ]
在△ABC中，已知,解此三角形。[endnoteRef:63] [63: 答案：当时，，为直角三角形，此时；
当时，，。因为，所以或，
]
△ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝2，b＝10，则c＝（ [endnoteRef:64] ）
A.2 或8 　　B. 2 　　C.8 　　D. 21
[64: 答案：A；]
在△ABC中，a=3，b=4，，求角C的大小。（[endnoteRef:65]）
[65: 答案：； ]
在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝____[endnoteRef:66]____. [66: 答案：2；]
在 ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则 ABCD的对角线AC长为_______，面积为____[endnoteRef:67]____． [67: 答案：3　9； ]
《解三角形》专题1-9 正弦余弦定理、面积公式
在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝_____[endnoteRef:68]___. [68: 答案：1；]
在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_____[endnoteRef:69]____. [69: 答案：75°；]
在△ABC中， a=2，B=，c=4,则b= [endnoteRef:70] . [70: 答案：；]
已知△ABC中，a＝3，b＝5 ，，求c边的大小。（[endnoteRef:71]） [71: 答案：4或； ]
已知a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．（[endnoteRef:72]） [72: 答案：b=7，S△=； ]
在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝_[endnoteRef:73]_______. [73: 答案：－2；]

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