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《解三角形》专题8-1 中线倍长
（3套3页，含答案）
知识点：
中线倍长： 遇到三角形中线，可以把中线延长一倍，构造平行四边形。
典型例题：
在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于 (　[endnoteRef:0]　)．
A. B. C. D. [0: 答案　B
解析　设BC＝a，则BM＝MC＝.
在△ABM中，
AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，
即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB①
在△ACM中，
AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC
即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，
∴a＝.
]
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，S是该三角形的面积，
且
（1）求角A的大小；[endnoteRef:1]
（2）若角A为锐角，，求边BC上的中线AD的长.
[1: 答案：解析:（1）原式 …………………………2分

…………………………4分
因 …………………………………………………… 6分
（2）因A为锐角，则
而面积 …………………8分
解法一：又由余弦定理，………………10分
又，
即 ……………………………………………………………………12分
解法二：作CE平行于AB，并延长AD交CE地E，

在△ACE中，
又
即
这样 …………………………………………12分
]
随堂练习：
已知中，，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边BC上，AD＝l，且BD＝2DC，
∠BAD＝2∠DAC，则[endnoteRef:2]__________. [2: 答案：；
【解析】由及∠BAD=2∠DAC，可得，
由BD=2DC，令DC=x，则BD=2x，因为AD=1，在△ADC中，由正弦定理得，
所以，在△ABD中，所以.
]
在中，角所对的边分别为，且.
(Ⅰ)求角；
(Ⅱ)若，点在线段上， ， ，求的面积.[endnoteRef:3]
[3: 答案：解：（1）因为 ，由正弦定理得：
即, …………....4分
在中， ，所以 ,. …………....6分
（2）， 得
解得： ……....10分
所以的面积 ………....12分]
设△ABC 的内角 A， B，C 的对边分别是a，b， c，若△ABC 的面积为2， AB 边上的中线长为2，
且a ＝b cosC ＋c sin B，则边b ＝____[endnoteRef:4]_______.
[4: 答案：；]
《解三角形》专题8-2 中线倍长
如图，在中，是边的中点，，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若角，边上的中线的长为，求的面积．（[endnoteRef:5] ）
[5: 答案：解：（Ⅰ）由题意可知，
又 ……… 1分
所以， ……………2分
……4分
，
又， 所以．…………………6分
（Ⅱ）由（1）知，且 所以，，则 …………7分
设，则
在中由余弦定理得， …………9分
解得 ……………………10分
故． ……………………12分]
在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM．[endnoteRef:6] [6: 答案：，；
解：(1) 由，
得． ……………………………………………2分
由正弦定理，得，即， …………………………3分
所以． ………………………………………………5分
因为，所以． ……………………………………………………6分
因为，所以． ……………………………………………………7分
所以为等腰三角形，且顶角．
因为， ………………………………………………8分
所以． ………………………………………………………………9分
在中，，
所以． ………11分
解得．…………………………………………………………………………12分]
在△ABC中，内角的对边分别为，且，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设BC边的中点为，，求的面积．（[endnoteRef:7]） [7: 【解析】（Ⅰ）由，得， 又，∴ ，
由正弦定理有得，
∴ 即，
∴ ，；
（Ⅱ）由余弦定理有，
即，解得，∴ ，
∴ .
]
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，．
（1）求；
（2）若D是AC边上的中点，，求．（[endnoteRef:8]） [8: 答案：（1）；（2）；
【解析】（1）∵，，
∴，
由正弦定理得，
又∵，∴，∴．
（2）在中，由（1）知，
可设，则由，所以，
则，，
∵，，
在中，由余弦定理得，
解得，
由，得，
解得．]
在中，角的对边分别为，若，，.
（1）求边长；（[endnoteRef:9]）
（2）已知点为边的中点，求的长． [9: 答案：【解析】解：（1）由,,得,………1分
所以,…………3分
由正弦定理,可得.…………5分
（2）,…………6分
在中, …………8分
在中,由余弦定理得：…………9分
所以, …………10分
]
《解三角形》专题8-3 中线倍长
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
（1）求B的大小；
（2）若a＝3，且AC边上的中线长为，求c的值。（[endnoteRef:10]）
[10: 答案：，c=5；
]
设△ABC 的内角 A， B，C 的对边分别是a，b， c，且a ＝b cosC ＋c sin B。
(Ⅰ)求角B 的大小；
(Ⅱ)若点M 为BC的中点，且 AM ＝AC，求sin∠BAC（ [endnoteRef:11]）
[11: 答案：解：(Ⅰ)
由正弦定理 …………1分
有 …………2分
又即 …………3分
…………4分
…………5分
因为 …………6分
(Ⅱ)解法一：设则 …………7分
中， …………8分
中， …………9分
…………10分
…………11分
由平方关系得 …………12分
解法二：取中点，连接，则 …………7分
设，则 …………8分
由(Ⅰ)知， …………10分
由 …………11分
由平方关系得 …………12分
解法三：由题知，,
在与中，由余弦定理得 …………8分
即 …………11分
由正弦定理得 …………12分]
在①是边上的高，且，②平分，且，
③是边上的中线，且
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边的长．
问题：在锐角中，已知，是边上一点，________，求边的长．（[endnoteRef:12]）
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [12: 【命题意图】本题以原创开放性问题为背景，考查余弦定理、面积公式、三角恒等变换，考查数据的选择与处理能力，属于中档题.
答案：无论选择哪个条件，都有．
【解析】
方案一：选条件①：
由面积关系得： ………5分
在中，由余弦定理得， 所以．………10分
方案二：选条件②：
设，则，由面积关系得： …5分
在中，由余弦定理得， 所以．………10分
方案三：选条件③：
设，分别在与中由余弦定理得：， ………5分
，∴． ………10分
另法提示：中线加倍延长，由余弦定理可求．]
在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；（[endnoteRef:13]）
（2）设点是的中点，若，求的取值范围. [13: 18．（本小题满分12分）
【解析】（1）在中，
由正弦定理，可得，
因为，
所以，
所以，
即，即，可得，
又因为，所以.
（2）如图，延长到，满足，连接，
则为平行四边形，且，
在中，由余弦定理得，
即，可得，即，
由基本不等式得：，
即，即，可得
（当且仅当取等号号）
又由，即，
故的取值范围是]

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