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《随机变量》专题5-1 二项分布
（4套4页）
知识点：
独立重复试验与二项分布： 1．定义：一般地，在 相同条件 下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 2．在n次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的 影响，即P(A1A2…An)＝ P(A1)P(A2)…P(An) ．其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验的结果． 3．定义：一般地，在 n次独立重复试验 中，设事件A发生的 次数 是X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ ，其中k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作 X～B(n，p) ，并称 p 为成功概率． 4．是 的二项展开式中的第 k＋1项． 5．若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝ np，D(X)＝ np(1－p)．
典型例题：
某人早晨乘坐的某班公交车准时到站率为90％，他在７天乘车中，
（1）求此班公交车恰有5天准时到站的概率；
（2）求此班公交车只有后5天准时到站的概率；
（3）求至少有5天准时到站的概率
已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于([endnoteRef:0]　　)
A. B. C. D. [0: 解析：P(X＝2)＝C62()2(1－)4＝. 答案：D]
某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是 [endnoteRef:1] ． [1: 答案：1.4336；]
隨堂练习：
将一枚硬币连续抛掷6次，求正面向上的次数Ｘ的分布列。
随机变量，则　　　　[endnoteRef:2]　　 [2: 答案：；
]
某气象站天气预报的准确率为80％，计算，
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率
某学生解选择题出错的概率为，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是（ [endnoteRef:3] ）
A. B. C. D. [3: 答案：D；]
《随机变量》专题5-2 二项分布
设随机变量~B(2， )，随机变量~B(3， )，若，则 [endnoteRef:4] . [4: 答案：； ]
某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数的概率分布[endnoteRef:5] [5: 答案：解：的取值分别为0、1、2
表示抽取两件均为正品 ∴
表示抽取一件正品一件次品
表示抽取两件均为次品
∴的概率分布为：
]
某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。
（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望。
（答案：[endnoteRef:6]；；望值为；） [6:
5、解：（Ⅰ） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为，
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是， ……………… (2分)
则．……………………………………（4分）
（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3，4， ……………………………………（5分）
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，
所以 ………………………………………………………（6分）
…………………………（10分）
． ………………………………………………………（11分）
所以所求的期望值为． ……………………………………………（12分）
]
《随机变量》专题5-3 二项分布
如果，则使的最大的值是（　[endnoteRef:7]　）
A、3　　　B、4　　　C、4或5　　　　D、3或4 [7: 答案：D；　]
设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则等于( [endnoteRef:8] ) A. B. C. D. [8: 答案：C；]
某制药厂对A、B两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取10 次，记录如下表（ 数值越大表示产品质量越好）：
（Ⅰ）画出A、B两种产品数据的茎叶图；若要从A、 B中选一种型号产品投入生产， 从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；
（Ⅱ）若将频率视为概率，对产品A今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5 的次数为，求的分布列及期望．
（答：[endnoteRef:9]＝8.5，0.216，0.324，，生产A合适；；期望3/2；） [9: 12、解：（Ⅰ）A、B两种产品数据的茎叶图如图
（2分）
∵
（3分）
（4分）
∵，，∴从统计学角度考虑，生产A型号产品合适. （6分）
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3. （7分）
产品A不低于8.5 的频率为，若将频率视为概率，则. （8分）
所以，k＝0，1，2，3. （9分）
所以的分布列为：
（10分）
所以. （12分）
]
《随机变量》专题5-4 二项分布
已知随机变量服从二项分布，，则(等于( [endnoteRef:10] )
A. B. C. D. [10: 答案：D；]
10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（ [endnoteRef:11] ）
A． B． C． D． [11: 答案：C；]
空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染； 151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如下．
（Ⅰ）利用该样本估计该地今年本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)
（Ⅱ）将频率视为概率，从今年本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．（[endnoteRef:12]）
答案：18，
；
[12: 答案：（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为＝， …2分
估计该月空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝18.
…4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）估计某天空气质量优良的概率为，
ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝C＝，
P(ξ＝2)＝C＝，
P(ξ＝3)＝＝， …8分
故ξ的分布列为：
显然ξ～B，Eξ＝3×＝1.8. …12分]
《随机变量》专题5-5 二项分布
甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（ [endnoteRef:13] ）
A. B. C. D. [13: 答案：B；]
我国新发布的《环境空气质量标准》指出：空气质量指数在为优秀，人类可正常活动。某市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本
进行分析报告，样本数据分组区间为，，
，，由此得到样本的空气质量指数频率
分布直方图，如图.
（1） 求的值，并根据样本数据，试估计这一年度
的空气质量指数的平均值；
（2） 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量
为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，
其中达到“特优等级”的天数为.求的分布列和数学期望。
（答案：[endnoteRef:14]；24.6；；；） [14:
7、解： (1)由题意，得 ………2分
解得 ………3分
50个样本中空气质量指数的平均值为
………5分
可估计2015年这一年度空气质量指数的平均值约为24.6 …………6分
(2）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则 。的可能取值为0，1，2， …………7分
的分布列为：
…………………10分
.(或者)。 …………………12分
]
某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；
（2）已知每顿该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），
求X的分布列和数学期望．（[endnoteRef:15]）
答案：P＝0.3125，；
[15: 答案： 解：（1），，
依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率，
设5天中该种商品有天的销售量为1．5吨，而，
所以．
（2）的可能取值为4，5，6，7，8，
，，
，，
，
所以的分布列为：
的数学期望（千元）．]

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