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《随机变量》专题11-1 正态分布（新课用）
（7套，6页，含答案。前4页新课用，后两页新课、复习、高考均可用）
知识点：
正态分布： 1．当样本容量无限增大时，它的频率分布直方图 无限接近于 一条总体密度曲线，在总体所在系统相对稳定的情况下，总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象： 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称图象为 正态分布密度曲线 ，简称 正态曲线． 其中：π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值,为正态分布的平均值；是正态分布的标准差．这个总体是无限容量的抽样总体，其分布叫做正态分布．正态分布由参数,唯一确定，记作~,E()=,D()=. 2．一般地，如果对于任意实数，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，如果随机变量X服从 正态分布，则记作X~N 3．正态分布图像： （1）从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ； （2）曲线在在x=μ时取最大值； （3）曲线位于X轴的上方，从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的； （4）曲线与x轴之间的面积为 1；
（5）当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x轴 平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散． 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概率P(μ－a典型例题1（新课用）：
下面[endnoteRef:0]给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．
（1），（-∞＜x＜+∞
（2），（-∞＜x＜+∞
（3），（-∞＜x＜+∞ [0: 答案：(1)0,1(2)1,2(3)-1,0.5；]
把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一个新的曲线b,下列说法不正确的是（[endnoteRef:1] ）
(A)曲线b仍然是正态曲线
(B)曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等
(C)以曲线a为概率密度曲线的总体的方差比以曲线b为概率密度曲线的总体的方差大2
(D)以曲线a为概率密度曲线的总体的期望比以曲线b为概率密度曲线的总体的期望小2 [1: 答案：C；]
如图，两个正态分布曲线图：1为，2为，
则 ， [endnoteRef:2] （填大于，小于） [2: 答案：＜，＞；
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
]
利用[endnoteRef:3]标准正态分布表(Φ(1)=0.8413、Φ(2)=0.9772、Φ(3)=0.9987)求标准正态总体在下面区间取值的概率．
（1）（0，1）；（2）（1，3）；（3）（-1，2）．
[3: 答案：(1)0.3413(2)0.1574(3)0.8185；]
隨堂练习1（新课用）：
下列关于正态曲线性质的叙述正确的是（[endnoteRef:4]　　）
(1)曲线关于直线x=μ对称,这个曲线只在x轴上方；
(2)曲线关于直线x=σ对称,这个曲线只有当x∈(-3σ，3σ)时才在x轴上方；
(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；
(4)曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；
(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；
(6)σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”．总体分布越集中．
　(A)只有(1)(4)(5)(6) (B) 只有(2)(4)(5) (C) 只有(3)(4)(5)(6) (D) 只有(1)(5)(6) [4: 答案：A；]
正态总体的概率密度函数为,则总体的平均数和标准差分别是（[endnoteRef:5] ）
(A)0和8 (B)0和4 (C)0和2 (D)0和 [5: 答案：C；]
设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的
密度函数图象如右图所示，则有(　[endnoteRef:6]　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 [6: 答案：A；
解析：正态分布函数F(x)＝e－图象关于直线x＝μ对称，而σ2＝Dξ，其大小表示变量的集中程度，值越大，数据分布越广，图象越“矮胖”；值越小，数据分布越集中，图象越“高瘦”，因此选A. 答案：A
]
利用标准正态分布表((Φ(1)=0.8413、Φ(1.84)=0.9671)，求正态总体在下面区间取值的概率．
（1）在N(1,4)下，求F(3)；（2）在下，求P(μ-1.84σ典型例题2（新课、复习、高考）：
已知随机变量X服从正态分布X～N(2，σ2), P(X<4)＝0.84, 则P(X≤0)的值为 [endnoteRef:8] ． [8: 答案：；
]
隨堂练习2（新课、复习、高考）：
已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且=0.6826，则P(X>4)=（ [endnoteRef:9] ）
A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585 [9: 答案：B； ]
已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　[endnoteRef:10])
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 [10: 答案：C；
解析：∵μ＝0，则P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C.答案：C
]
在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，
则ξ在(0,2)内取值的概率为___[endnoteRef:11]_____． [11: 答案：0.8；
解析：∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.
∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.答案：0.8
]
假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)，现有考生25万名，计划招生10万名，其中分数在475～500之间的学生共有2.5万人，试估计录取分数线．（[endnoteRef:12]） [12: 答案：525分；
解析：由题意可知，μ＝500，σ＝100.
设录取线为a＋500，那么分数超过a的概率P(ξ≥a＋500)＝＝0.4.
因为分数在475～500之间的概率为P＝＝0.1，
即P(475≤ξ<500)＝0.1.
而P(ξ≥a＋500)＝－P(500<ξ≤a＋500)
＝－P(500－a<ξ≤500)
所以a＝25.
故录取分数线应为525分．
答案：525分
]
《随机变量》专题11-2 正态分布（新课用）
正态分布的性质：
①曲线在轴上方，并且关于直线 对称；
②曲线在时处达到 ，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
③曲线的对称位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“ ”；反之，曲线越“ [endnoteRef:13] ”； [13: 答案：① ②峰值 ③矮胖 瘦高；]
下列函数是正态分布密度函数的是（ [endnoteRef:14] ）
A. B. C. D. [14: 答案：B；
解析：选项B是标准正态分布密度函数。]
若正态分布密度函数，下列判断正确的是 （ [endnoteRef:15] ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值
C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值 [15: 答案：B；]
正态总体为概率密度函数是 （ [endnoteRef:16] ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 [16: 答案：B；
解析：。
]
《随机变量》专题11-3 正态分布（新课用）
填空题（直接查知识点，然后填写，理解即可，不用记具体数值。）
①若随机变量ζ～N(1,0.25),则2ζ的概率密度函数为[endnoteRef:17] .
②期望为2,方差为的正态分布的密度函数是 .
③已知正态总体落在区间(0.2,+∞)的概率是0.5，则相应的正态曲线f(x)在x= 时,达到最高点.
④)已知ζ～N(0,1),P(ζ≤1.96)=Ф(1.96)=0.9750,则Ф(-1.96)= .
⑤某种零件的尺寸服从正态分布N(0,4),则不属于区间(-4,4)这个尺寸范围的零件约占总数的 .
⑥某次抽样调查结果表明,考生的成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%,则考生成绩在60至84分之间的概率为 . [17: 答案：(1);(2) ;(3)0.2;(4)0.025;(5)4.56%;(6)=12;P=0.6826.
]
设随机变量服从正态分布，即，则随着的增大， 的值（ [endnoteRef:18] ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 保持不变 D. 增减不定 [18: 答案：A；]
设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是 [endnoteRef:19] 。
(1) (2)
(3) (4)
[19: 答案：(1),(2),(4)；
解析：。
]
正态分布有两个参数与，( [endnoteRef:20] )相应的正态曲线的形状越扁平。
A．越大 B．越小 C．越大 D．越小 [20: 答案： C；
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
]
《随机变量》专题11-4 正态分布（基础）
已知随机变量X服从正态分布且，则（[endnoteRef:21] ）
A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.12 [21: 答案：B；]
设随机变量ζ～Ｎ(μ,σ２),且P(ζ≤C)=P(ζ＞C),则C等于（[endnoteRef:22] ） (A)0 (B)μ (C)-μ (D)σ [22: 答案：B；]
已知,，点在直线AB上，函数的最小正周期为，若变量X服从正态分布，则落在区间内的概率为__[endnoteRef:23]__.
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，） [23: 答案：0.1359；
]
已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，
则 ， 。）（ [endnoteRef:24] ）
A．4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
[24: 答案：B；]
《随机变量》专题11-5 正态分布（基础）
在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从N（80，2）(>0)，若在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ [endnoteRef:25] ）
A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 [25: 答案：B；
[解析]由题意可得.
[考点]正态分布.
]
在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.4，
则X在(－∞，4)内取值的概率为([endnoteRef:26]　　) A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9 [26: 答案：D；
解析：由对称性知P(X<4)＝P(X≤2)＋P(2]
某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ [endnoteRef:27] ）
A．5份 B．10份 C．15份 D．20份 [27: 答案：B；
【解析】，∴应从120分以上的试卷中抽取．
]
《随机变量》专题11-6 正态分布（基础）
按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布, 根据检测结果可知,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该公司有2000名职工, 则分发到的大米质量在kg以下的职工数大约为[endnoteRef:28] . [28: 答案：40；]
已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X≤0)等于[endnoteRef:29]________． [29: 答案：0.16；
解析：μ＝2，∴p(X≤0)＝p(X≥4)＝1－p(X≤4)＝0.16.答案：0.16
]
已知随机变量X服从正态分布, 且, 则（[endnoteRef:30] ）
(A) (B) (C) (D) [30: 答案：B； ]
设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为（参考数据：若，有，，） （ [endnoteRef:31] ） A． 0.9772 B．0.6826 C. 0.9974 D．0.9544 [31: 答案：A；]
随机变量X服从正态分布，，则的最小值为（[endnoteRef:32] ） A． B． C． D．
[32: 答案：D；]

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