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《随机变量》专题4-1 概率相乘算分布列
（4套4页，含答案）
知识点：
事件的独立性： 定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立． 如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立。 3．如果A与B相互独立，那么 ，P(AB)＝ P(A)P(B)． 4．互斥事件是不可能 同时发生 的两个事件，而相互独立事件是指一个事件的是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响，二者不能混淆．
典型例题：
三人独立地破译一个密码，它们能译出的概率分别为、、，记X为三人中破解密码的人数，求X的分布列，则能够将此密码译出的概率为 [endnoteRef:0] ． [0: 答案：； ]
为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：
现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.
（Ⅰ）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；
（Ⅱ）记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列及数学期望.([endnoteRef:1]) [1: 19.解：(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，
则P(A)＝P(Y＝3)＋P(Y＝2)＋P(Y＝1且Z＝0)
＝
＝ ………6分
(2)由题意可知，故所求分布列为
………10分
E(X)＝ ………12分
]
随堂练习：
甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲、乙命中的概率分别为和，若命中目标的人数为，
则 [endnoteRef:2] . [2: 答案: ；]
有甲乙两个箱子，甲箱中有6个小球，其中1个标记0号，2个小球标记1号，3个小球标记2号；乙箱装有7个小球，其中4个小球标记0号，一个标记1号，2个标记2号。从甲箱中取一个小球，从乙箱中取2个小球，一共取出3个小球。求：
（1）取出的3个小球都是0号的概率；
（2）取出的3个小球号码之积是4的概率；[endnoteRef:3] [3: 答案：解：（1）欲使取出3个小球都为0号，则必是在甲箱中取出0号球并且在乙箱中从4个0号球中取出另外2个0号小球
记A表示取出3个0号球则有：
（2）取出3个小球号码之积是4的情况有：
情况1：甲箱：1号，乙箱：2号，2号； 情况2：甲箱：2号，乙箱：1号，2号
记B表示取出3个小球号码之积为4，则有：
取出3个小球号码之积的可能结果有0，2，4，8
设表示取出小球的号码之积，则有：
所以分布列为：
]
（中下）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为1/2，乙、丙面试合格的概率都是 1/3，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有1人面试合格的概率；
（2）签约人数的分布列和数学期望．（[endnoteRef:4]） [4: 解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且.－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分
（1）至少有1人面试合格的概率是
－－－－－－－－－4分
（2）的可能取值为0，1，2，3.－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
∵
＝
＝－－－－－－－－－－－－－－6分
＝
＝－－－－－－－－－－－－－－－－－7分
－－－－－－－－－－8分
－－－－－－－－－－9分
∴的分布列是，
－－－－10分
的期望－－－－－－－－－－－－－－－12分]
《随机变量》专题4-2 概率相乘算分布列
甲、乙两人都独立地破译某个密码，甲破译出该密码的概率是，乙破译出该密码的概率是，
设破译该密码的人数为X，求其数学期望
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员
是B1、B2、B3 按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场， 每场胜队得1分， 负队得0分设A队、B队最后总分分别为 、
(Ⅰ) 求 、 的概率分布；
(Ⅱ) 求E、E([endnoteRef:5]) [5: 答案：（1），，，，
　，，，，
（2）， ；
分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力
解：(Ⅰ) 、 的可能取值分别为3， 2， 1， 0
P( ＝ 3) ＝ （即A队连胜3场）
P( ＝ 2) ＝ （即A队共胜2场）
P( ＝ 1) ＝ （即A队恰胜1场）
P( ＝ 0) ＝ （即A队连负3场）
根据题意知 ＋ ＝ 3，所以
P( ＝ 0) ＝ P( ＝ 3) ＝ ， P( ＝ 1) ＝ P( ＝ 2) ＝ ，
P( ＝ 2) ＝ P( ＝ 1) ＝ ， P( ＝ 3) ＝ P( ＝ 0) ＝
(Ⅱ) E ＝ ；
因为 ＋ ＝ 3，所以E ＝ 3 – E ＝；
]
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列，数学期望及方差．
（答案：[endnoteRef:6]（Ⅰ）；（Ⅱ）E(X）＝，D(X）＝） [6: 15．解：（Ⅰ）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，
｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，
∵，，
∴，，
故所求概率为；
（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以．
于是P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝
故X的分布列为
X的数学期望为E(X）＝3＝，X的方差为D(X）＝3
]
《随机变量》专题4-3 概率相乘算分布列
已知从地去地有①或②两条公路可走，并且汽车走公路①堵车的概率为，汽车走公路②堵车的概率为，若现在有两辆汽车走公路①，有一辆汽车走公路②，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响，
（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望([endnoteRef:7])． [7: 18．（1）由已知条件得，即，
∴，即走公路②堵车的概率为．
（2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，
，
∴随机变量的分布列为
所以．
]
某市拟定2016年城市建设A，B，C三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对A，B，C三项重点工程竞标成功的概率分别为，，，已知三项工程都竞标成功的概率为，至少有一项工程竞标成功的概率为．
（1）求与的值；
（2）公司准备对该公司参加A，B，C三个项目的竞标团队进行奖励，A项目竞标成功奖励2万元，B项目竞标成功奖励4万元，C项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．（[endnoteRef:8]）
答案：
． ；
[8: 答案：解：（1）由题意得，因为，解得．…4分[
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量，则的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………………………………5分
而；；
； ；
； ；
．…………………9分
所以的分布列为：
于是＝……12分]
《随机变量》专题4-4 概率相乘算分布列
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立.
（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列和期望.（[endnoteRef:9]）
答案：，； [9: 答案：
]
近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件商品抢购成功的概率分别为，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为.
（1）求的值；
（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4百元，C商品抢购成功减免6百元.求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分布列和数学期望.（[endnoteRef:10]）
答案：，；
[10: 答案：解：（Ⅰ）由题意，得，　
因为，解得． …………………4分
（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量（单位：百元），
则的值可以为0，2，4，6，8，10，12． …………………5分
而；；
；；
；；
． …………………9分
所以的分布列为：
于是有
…12分]

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