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《平面向量》专题8-1 共线（基础）
（13套7页，含答案，1-7基础，8-13中下）
知识点：
共线： 1．两个向量共线定理，向量 (≠)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 ＝λ ． 2．两向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当a∥b时，有______________________． (2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例． 3．设，要证明三点A、B、C共线，只要证明 。
答案：(1)x1y2－x2y1＝0　(2)＝； 答案：AB＝BC
答案：（[endnoteRef:0] [endnoteRef:1] [endnoteRef:2]） [0: 答案：(1)x1y2－x2y1＝0　(2)＝；] [1: 答案：(0，＋∞)　(－∞，－1)　(－1,0)；] [2: 答案：AB＝BC； ]
典型例题：
已知向量，，若，则 [endnoteRef:3] . [3: 答案：1；
因为，所以，则]
若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ [endnoteRef:4] ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 [4: 答案：B；]
若，则（ [endnoteRef:5] ） A. 0 B. C. D. [5: 答案：D；]
随堂练习1：
设向量，且与的方向相反，则实数m的值为（ [endnoteRef:6] ）
A. -2 B. 1 C. -2或1 D.m的值不存在 [6: 答案：A；]
已知向量，且A、B、C三点共线，则k＝ [endnoteRef:7] . [7: 答案：；]
设向量，，则“x＝3”是“a//b”的（ [endnoteRef:8] ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[8: 答案：A；]
设，，且，则锐角为（ [endnoteRef:9] ）A. B. C. D. [9: 答案：D；]
已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（μ、λ为实数），则m的取值范围是（ [endnoteRef:10] ）
A． B． C． D． [10: 答案：D；]
《平面向量》专题8-2 共线（基础）
已知向量，，且，则 [endnoteRef:11] ． [11: 答案：；]
已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.（[endnoteRef:12]） [12: 答案：平行；]
已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　[endnoteRef:13]　)
A．－ B. C．－或 D．0 [13: 答案：C；
[解析]　本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－.]
已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(　[endnoteRef:14]　)
A．－6 B．6 C．2 D．－2 [14: 答案：B；
[解析]　a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.]
已知向量且∥，则＝（ [endnoteRef:15] ）
A． B． C． D． [15: 答案：A；]
《平面向量》专题8-3 共线（基础）
已知向量，．若∥，则实数的值是__[endnoteRef:16]___．
[16: 答案：
【解析】 通解，，由∥，得，解得．
优解 因为∥，则存在实数，使得，即，，故，得到，．
]
若三点共线，则a＝ [endnoteRef:17] [17: 答案：4；]
若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝(　[endnoteRef:18]　)
A．－ B. C．2 D．－2 [18: 答案：A；
[解析]　2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)
a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)
∵(2a＋b)∥(a－mb)
∴－1＝(1＋3m)×2
∴6m＝－3，解得m＝－]
已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　[endnoteRef:19]　)
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 [19: 答案：D；
　[由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，
∴k－λ＝0，且λ＋1＝0.
∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d. 故c与d反向，选D.]]
若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　[endnoteRef:20]　)
A．2 B. C．－2 D．－ [20: 答案：A；
　[∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]]
《平面向量》专题8-4 共线（基础）
已知非零向量与向量平行，则实数的值为（[endnoteRef:21] ）
A．或 B．或 C． D． [21: 答案：D；]
已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　[endnoteRef:22]　)
A．－13 B．9 C．－9 D．13 [22: 答案：C；
　[C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]]
与向量a＝(-5,4)平行的向量是（ [endnoteRef:23] ）A.（-5k,4k） B.(-,-) C.(-10,2) D.(5k,4k) [23: 答案：A；]
已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为(　[endnoteRef:24]　)
A．5 B．6 C．7 D．8 [24: 答案：C；
[解析]　＝(3，y－1)，又∥a，所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7.]
若向量＝(-1，x)与＝(-x， 2)共线且方向相同，求x（[endnoteRef:25]） [25: 答案：X＝ ；]
《平面向量》专题8-5 共线（基础）
已知向量m＝（x，1），n＝（1,2），且m∥n，则x＝＿[endnoteRef:26]＿
[26: 答案：；]
若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为_____[endnoteRef:27]___． [27: 答案：3；
解析　＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，∵P、A、B三点共线，∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.
]
已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　[endnoteRef:28]　)
A．1 B．2 C．3 D．4 [28: 5．【答案】D；
【解析】由条件知a＋b＝(3，k＋2)，
∵a＋b与a共线，∴3×k－1×(k＋2)＝0，得k＝1，∴a·b＝1×2＋1×2＝4.故选D.
]
已知向量，若为实数，，则＝（ [endnoteRef:29] ）
A． B． C． D． [29: 答案：B；]
向量，，若与平行，则等于( [endnoteRef:30] )
A. B. C. D. [30: 答案：D；]
《平面向量》专题8-6 共线（基础）
已知平面向量, , 且, 则( [endnoteRef:31] )
A． B． C． D． [31: 答案：D；
解析：，∴]
设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝_____[endnoteRef:32]___. [32: 答案：2；
解析　λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，∴＝，∴λ＝2.]
若平面向量满足，平行于轴，，则 [endnoteRef:33] ． [33: 答案：（-1，1），（-3，1）；
解：或，则或．]
已知向量，，且∥，则的值是 [endnoteRef:34] ． [34: 答案：；]
已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于___[endnoteRef:35]_____． [35: 答案：；
解析　由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝.]
《平面向量》专题8-7 共线（基础）
已知向量,,若,则实数的值等于_____[endnoteRef:36]_________. [36: 答案：；]
若三点P(1,1)、A(2，－4)、B(x，－9)共线，则x等于____[endnoteRef:37]____． [37: 答案：3；
[解析]　＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，因为与共线，所以1×(－10)－(－5)(x－1)＝0，解得x＝3.]
已知向量，，若，则实数的值等于（ [endnoteRef:38] ）．
A. B. C. D. [38: 答案：B；]
设向量，若向量与向量共线，则 [endnoteRef:39] ． [39: 答案：2；]
已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝____[endnoteRef:40]___. [40: 答案：1；
[解析]　a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，所以＝，解得k＝1.
]
《平面向量》专题8-8 共线（中下）
（6套，共3页，含答案）
已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||.求点P的坐标．[endnoteRef:41]
[41: [解析]　设点P的坐标为(x，y)，
由于点P在线段P1P2上，则有＝，
又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，
由题意得解得
∴点P的坐标为.
]
已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都
可以唯一的表示成（为实数），则m的取值范围是（ [endnoteRef:42] ）
A． B． C． D．
[42: 答案：D；]
已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　[endnoteRef:43]　)
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 [43: 答案：C；
　[∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．]]
《平面向量》专题8-8 共线（中下）
已知向量，且A、B、C三点共线，则k＝ [endnoteRef:44] . [44: 答案：；]
已知向量为非零向量，则“a//b”是“”的 （ [endnoteRef:45] ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [45: 【答案】B；
【解析】本题与平面向量相结合,考查充分必要条件.
]
设两非零向量1和2不共线，如果＝1+2，＝21+82，＝3（1-2）
①求证：A、B、D三点共线；
②试确定k，使k1+2和1+k2共线？ （答案：[endnoteRef:46]） [46: 答案：略；；]
《平面向量》专题8-10 共线（中下）
已知,若，则与的夹角的余弦值为 [endnoteRef:47] . [47: 【答案】；
]
已知 ,的夹角为60o,,,当实数为何值时，
⑴∥ ⑵ （答案：[endnoteRef:48]） [48: 答案： ， ；]
若平面向量与向量平行，且，则( [endnoteRef:49] )
A． B． C． D．或 [49: 答案：D； ]
《平面向量》专题8-11 共线（中下）
设k∈R，下列向量中，与向量一定不平行的向量是（ [endnoteRef:50]）（典型，注意理解）（中下）
A． B． C． D． [50: 答案：C；]
如果向量＝i－2j, ＝i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，
试确定实数m的值使A、B、C三点共线.m＝ [endnoteRef:51] （中下） [51: 答案：；]
已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，则点C的坐标为_____[endnoteRef:52]___.
[52: 答案：(2,3)；
解析　设＝λ，则得C点坐标为.
把C点坐标代入直线x＋y－5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C点坐标为(2,3)．
]
《平面向量》专题8-12 共线（中下）
已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内任何一个向量都可以唯一表示
成，则的取值范围是（ [endnoteRef:53] ）
（A） （B） （C） （D） [53: 答案：A；]
设向量,,则“”是“//”的（　[endnoteRef:54]　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [54: 【答案】A；
分析:当时,有,解得;
所以,但,故“”是“”的充分不必要条件]
已知点．求实数的值，使向量与共线；当向量与共线时，点是否在一条直线上？（[endnoteRef:55]） [55: 答案：；X＝2时，不在同一直线上，x＝-2时，在同一直线上。]
《平面向量》专题8-13 共线（中下）
已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，
(1)求E，F的坐标；
(2)判断EF和AB是否共线？[endnoteRef:56] [56: [解析]　(1)设E(x1，y1)、F(x2，y2)，
依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)．
由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，
即，解得，∴E(－，)．
由＝可知
(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)．
∴，解得
∴F(，0)，
即E点的坐标为(－，)，F点的坐标为(，0)．
(2)由(1)可知＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)，(O为坐标原点)，又＝(4，－1)，
∴＝(4，－1)＝，即与共线．
]
平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[endnoteRef:57] [57: [解析]　(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
∴m＝，n＝.
(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．
又∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
]
如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．[endnoteRef:58]
[58: 答案：解　方法一　由题意知P、B、O三点共线，又＝(4,4)．
故可设＝t＝(4t,4t)，
∴＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
又∵A、C、P三点共线，∴∥，
∴6(4t－4)＋8t＝0，解得t＝，
∴＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵P、B、O三点共线，∴∥，∴4x－4y＝0.
又＝－＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，
∵P、A、C三点共线，∴∥，∴6(x－4)＋2y＝0.
由　得
所以点P的坐标为(3,3)．
]

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