资源简介

1.4充分条件与必要条件
【考点梳理】
考点一：　充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
考点二：充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
【题型归纳】
题型一：充要条件和必要条件的判断
1．已知A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，则C是A的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：根据充分不必要条件求参数问题
4．若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．设：；：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知命题p：“关于x的方程有实根”，若非p为真命题的充分不必要条件为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据必要条件不充分条件求参数问题
7．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．或
9．已知，，若p是q的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：探究充要条件问题
10．设，则“”的充要条件是（ ）
A．a，b不都为1 B．a，b都不为0
C．a，b中至多有一个是1 D．a，b都不为1
11．设，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
12．如果为非零实数，则不等式成立的充要条件是（ ）
A．且 B．且
C．或 D．
题型五：根据充要条件求参数问题
13．已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
15．“不等式在上恒成立”的充要条件是
A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
16．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
17．是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
19．的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
20．若，则“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．无法判断
21．集合的关系如图所示，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
22．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要不充分条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
24．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．已知，，且是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
26．若，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
27．下列说法正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件 B．是的充要条件
C．若，则p是q的充分条件 D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
28．已知，，是实数，则下列命题是真命题的（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的必要条件
29．设命题甲为“”，命题乙为““，那么甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
30．已知不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
31．“”是“对恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
32．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
33．已知条件或，条件，且是的充分而不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．在下列结论中，正确的有（ ）
A．是的必要不充分条件
B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C．若，则“”是“，不全为0”的充要条件
D．一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件
35．若是的必要不充分条件，且，则满足上述条件的实数的值为（ ）
A． B． C． D．
36．下列四个条件中可以作为方程有实根的充分不必要条件是（ ）
A．a=0 B． C． D．
37．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的充要条件是
D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0
38．若不等式的解集为A，不等式的解集为B，不等式的解集为C．命题p：“且”，命题q：“”，若q是p的充分不必要条件，则实数a的可能取值为（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
39．（多选题）下列各结论：①“”是“”的充要条件；②“”是“”的充要条件；③“”是“”的充分不必要条件；④“二次函数图象过点”是“”的充要条件.其中正确的结论有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题
40．设，若p是q的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.
41．设命题甲为：，命题乙为：，则甲是乙的__________（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）
42．若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的取值范围为______．
43．已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.
44．对任意实数，，，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；
③“”是“”的必要条件；④“”是“”的充分条件，
其中真命题是_______.
四、解答题
45．已知集合，.
（1）若=1，求；
（2）若>0，设命题，命题，已知命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值围.
46．已知，，其中．
（1）若，且p，q均为真，求x的取值范围
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
47．命题：实数满足；命题：实数满足或.已知是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
48．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.
（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案详解】
1．B
【详解】
因为A是B的充分不必要条件，所以且推不出，
而B是C的充要条件，所以，所以推不出，
所以C是A的必要不充分条件，
故选：B.
2．B
【详解】
因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，
故选：B.
3．A
【详解】
若，则，则成立．
而当且时，满足，但不成立；
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
4．A
【详解】
设，或，
因为“”是“或”的充分不必要条件，
所以是或的真子集，
所以，
故选：A.
5．B
【详解】
∵：；：，且是的充分不必要条件，
∴，
则，且两不等式中的等号不同时成立．
解得：．
故选：B．
6．B
【详解】
解：命题p：“关于x的方程有实根”，则，得，所以非p：，
因为非p为真命题的充分不必要条件为，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是，
故选：B
7．B
【详解】
解：由，得，∴，又是的必要不充分条件，
所以由能推出，而由推不出，，，
故选：B．
8．C
【详解】
解集为R，则，
设解集为R的必要不充分条件为P，则 P，而 ，
故选：C
9．B
【详解】
由，得，所以，
由，得，所以，
若p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以，解得.
故选：B
10．D
【详解】
由，可得，所以且，
所以“”的充要条件是“都不为”.
故选：D.
11．C
【详解】
，
又，∴，∴，
∴“”是“”成立的充要条件.
故选：C.
12．D
【详解】
由题意，或，
显然ABC都不符合题意，
对于选项D，，即D符合题意.
故选：D.
13．C
【详解】
由已知，，
由p是q充要条件得，因此解得，
故选：C.
14．B
解：一元二次方程有两个不相等的正实根，
设两根分别为：，
故，
解得：，
故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是.
故选：B.
15．A
∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，
∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m，
又∵m △＝1﹣4m＜0，
所以m是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件，
故选A．
16．A
【详解】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，
由甲是乙的充分不必要条件得，B，
由乙是丙的充要条件得，，
由丁是丙的必要不充分条件得，D，
所以D，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.
17．A
【详解】
由可得，因为或或，
而或，所以，，
因此，是的充分不必要条件，
故选：A.
18．C
【详解】
当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C
19．A
【详解】
，
或
的一个充分不必要条件为集合的真子集，
是集合的真子集，
故选：A．
20．A
【详解】
当时，成立，因此“”是“”的充分条件；但当时，，所以不一定成立，因此“”不是“”的必要条件．
∴．“”是“”的充分条件，
故选：A．
21．A
【详解】
由Venn图可知，
所以“”是“”的充分非必要条件，
故选：A．
22．B
【详解】
不等式化为：，于是得“”所对集合为，
不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
23．A
【详解】
根据充分条件的定义可知如果p是r的充分不必要条件p r,
s是r的必要不充分条件，可知, ,
同理q是s的必要条件,所以p q,
且反之不成立，
可知p是q成立的充分不必要条件，
故选：A.
24．A
【详解】
解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则，解得.
故选：A.
25．B
【详解】
由，，规定集合,
要使是的充分条件，
只需B.
所以，解得：.
故选：B
26．B
【详解】
解：，
当时，即或，
不一定成立
当时，成立，
由充分必要条件定义可判断：
“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
27．B
【详解】
A. ，所以是的必要不充分条件，故A错误；
B. 时，，反过来也成立，所以是的充要条件，故B正确；
C. ，则p是q的必要条件，故C错误；
D. 矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D错误.
故选：B
28．D
【详解】
对于A，，故“”是“”的充分条件为假命题；
对于B ，，故“”是“”的必要条件为假命题；
对于C ，当时，,故“”是“”的充分条件为假命题；
对于D ，，故“”是“”的必要条件为真命题.
故选：D
29．A
【详解】
解：因为，所以，解得，
命题乙为“”，即命题乙：
因为命题甲为“”
甲乙，乙推不出甲，
故甲是乙的充分不必要条件．
故选：．
30．B
【详解】
由解得；
因为不等式成立的充分非必要条件是，
所以是的真子集，
所以，解得.
故选:B.
31．A
【详解】
由，得，则对恒成立；由恒成立，得或则．故“”是“对恒成立”的充分不必要条件．
故选：A
32．A
【详解】
由得，则；
若，，则，但不能推出；
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
33．B
【详解】
已知条件或，条件，且是的充分而不必要条件，
所以，或，则.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
34．AC
【详解】
对于A中，由，可得，可得，所以充分性不成立，
反之：由，可得，可得，所以必要性成立，
所以是的必要不充分条件，所以A正确；
对于B中，在中，由，可得为直角三角形，
反之：由为直角三角形，不一定得到，
所以是为直角三角形的充分不必要条件，所以B不正确；
对于C中，若，由，可得不全为，
反之：当不全为，可得，所以是不全为0”的充要条件，
所以C正确；
对于D中，若一个四边形是正方形，可得它一定是菱形，所以充分性成立，
反之：菱形不一定是正方形，所以必要性不成立，
所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分不必要条件，所以D不正确.
故答案为：AC
35．BC
【详解】
解关于的方程得，所以或，所以或.
因为，所以有解.
因为若是的必要不充分条件，
所以可得或，解得或.
故选:BC
36．AC
【详解】
当时，方程有实根；
当时，方程有实根即.
所以且.
综合得.
设选项对应的集合为, 集合,
由题得集合是集合的真子集，
所以只能选AC.
故答案为：AC
37．AB
【详解】
解：对A，当时，函数的值为，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是，故A正确；
对B，若方程有两个正实数根，，
即解得：，故B正确；
对C，方程无实数根，
即，解得：，
方程无实数根的充要条件是，故C错误；
对D，当时，方程为，无实数根，故D错误.
故答案为：AB.
38．ABCD
【详解】
，解得：，即，
，解得：，即，
由题意可知若命题是真命题，则，
若q是p的充分不必要条件，则，
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
故选：ABCD
39．ACD
【详解】
“”显然正确，即“”是“”的充要条件；①正确；
，当时，满足，但不能推出；所以“”是“”的充分不必要条件；②错误；
由，即，得，不能推出；由，所以“”是“”的充分不必要条件；③正确；二次函数的图象过点，即当时，，得，反之也成立，所以“二次函数图象过点”是“”的充要条件；④正确，
故选：ACD.
40．
【详解】
解：由，解得，即，记；
由，解得，即，记，
因为是的必要不充分条件，所以，即，解得
故答案为：
41．充分不必要条件
【详解】
解：命题乙为：，即，
则由，可推出，
但不能推出，
故甲是乙的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要条件．
42．
【详解】
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
则，解得；
当时，不成立，
故，
即实数的取值范围是，
故答案为：.
43．
【详解】
解：因为是的必要不充分条件，
则，
条件，即或，
当时，条件，是的必要不充分条件，
当时，条件，是的必要不充分条件，
当时，条件或，则，且等号不能同时成绩成立，得
综合得．
故答案为：．
44．②③
【详解】
对于①，由“”可推出“”；
当时，成立，但不一定成立，所以由“”推不出“”；
所以“”是“”的充分不必要条件，故①错误；
对于②，“是无理数”可推出“是无理数”，
“是无理数”也可推出“是无理数”，
所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②正确；
对于③，由“”可推出“”，所以“”是“”的必要条件，
故③正确；
对于④，当时，满足，但不成立，
所以“”推不出“”， “”不是“”的充分条件，故④错误.
故答案为：②③.
45．（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，可得，
又由，所以.
（2）当时，可得.
因为命题是命题的充分不必要条件，则，可得，等号不能同时成立，
解得，所以实数的取值范围为.
46．（1）；（2）.
【详解】
解：由，得，所以．
由，，得，所以．
当时，，因为p，q均为真，
所以，即x的取值范围为．
由p是q的充分不必要条件，知，，
由知，，，
所以等号不同时成立，
解得，即m的取值范围为．
47．或
【详解】
由可解得，故命题对应的集合为，
由解得，由解得或，故命题对应的集合为，
因为是的充分不必要条件，，
所以或，解得实数的取值范围为或.
48．（1）；（2）.
【详解】
由，得，，则：，.
由，解得，即：.
（1）若，则：，若为真，则，同时为真，即，解得，
∴实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，
∴，即，解得.
试卷第1页，总3页

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