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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式
【考点梳理】
考点一：　基本不等式
1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
考点二：　用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数；
(①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
【题型归纳】
题型一：基本不等式的内容及其注意
1．若、且，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
3．下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：由基本不等式证明或比较不等式的大小
4．已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知、，若，则下列不等式：
①；②；
③；④．
其中恒成立的不等式序号是
A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④
题型三：基本不等式求积的最大值
7．若，且，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则有（ ）
A．最大值为1 B．最小值为
C．最大值为4 D．最小值为4
9．已知实数若，求的最大值（ ）
A．1 B． C．4 D．
题型四：基本不等式求和的最小值
10．若，则函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：二次商式的最值问题
13．已知，则 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．7
14．若，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
15．已知，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3
题型六：基本不等式“1”的妙用
16．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
17．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
题型七：基本不等式的恒成立求参数问题
19．若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
21．已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
题型八：基本不等式的实际问题的应用
22．2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（ ）
A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元
23．新冠病毒疫情期间， 武汉物资紧缺，一批口罩、食物等救灾物资随辆汽车从某市以 km/h的速度匀速直达武汉灾区． 已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于km（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（ ）
A．70km/h B．80 km/h C．90 km/h D．100 km/h
24．禄劝晨光文具店的某种商品的月进货量为1000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费10元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为（ ）
A．20件 B．500件 C．100件 D．250件
【双基达标】
一：单选题
25．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
26．已知，，若，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
27．已知x≥，则y＝有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
28．下列各题中结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
29．建造一个容积为，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为（ ）
A．1680元 B．1760元 C．1800元 D．1820元
30．已知正实数，满足等式，若对任意满足条件的，，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
31．若，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
32．已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
33．已知，函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．设，为正实数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．已知，若的最大值为2，则实数的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
36．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【高分突破】
一、单选题
37．实数a，b满足，，，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
38．若，则（ ）
A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为
39．设，且，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
40．已知正数，满足，则的最小值（ ）
A．6 B． C．10 D．
41．函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
42．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
43．设，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
44．已知，，下面四个结论正确的是（ ）
A．； B．；
C．若，则； D．若，则的最小值为；
45．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
46．下列说法中正确的有（ ）
A．不等式恒成立 B．存在，使得不等式成立
C．若，，则 D．若正实数，满足，则
47．已知，由此可得到不等式，当且仅当时取等号，利用此不等式求解以下问题：设，且，，则的值不可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
48．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，则的最小值为5
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为1
三、填空题
49．已知，，且满足，则的最小值为___________.
50．若正实数满足，则的最小值为______．
51．若正数，满足，则的最小值___________.
52．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是___________.
53．已知，满足，则的最小值为____________
四、解答题
54．已知实数满足，且，求的取值范围．
55．（1）已知，是正常数，且，，求证：，指出等号成立的条件；
（2）求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．
56．（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
57．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.
58．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证：
【答案详解】
1．D
因为、且，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，AB均错；
，当且仅当时，等号成立，C错；
，即，
当且仅当时，等号成立，D对.
故选：D.
2．C
通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，则大正方形的边长为，
如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即，
当时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合.
故选：C.
3．B
A. 当时，，故错误；
B. ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确；
C. 当时，，故错误；
D.由重要不等式得，故错误；
故选：B
4．D
因为，则由基本不等式，即，故A错误，D正确；
取，则，故B错误；
取，则，，故C错误.
故选：D.
5．B
，可得，可得，
并且，可得，
.，
可得：.
故选：.
6．B
对于①中，因为，所以是正确的；
对于②中，由，则，所以，当且仅当时，即是等号成立，所以是正确的；
对于③中，当时，，所以不正确；
对于④中，当时，，所以不正确，
故选B.
7．D
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.
因此，的最大值为.
故选：D.
8．C
因为，根据基本不等式可得，
所以，即，
当且仅当时等号成立.
故选：C
9．B
因为，
则，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最大值为．
故选：B.
10．D
【详解】
解：若，则，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值为8.
故选：D.
11．C
【详解】
因为，，且，所以，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C.
12．C
解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
13．A
【详解】
，
，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最大值为
故选：A
14．D
【详解】
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
15．D
【详解】
因为，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即有最小值3.
故选：D.
16．D
因为，当且仅当，即时取等号，所以，
故选：D.
17．B
，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
18．D
因为,
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
19．B
【详解】
当时，由可得，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
20．B
解：∵对所有正数x，y均成立，
∴对所有正数x，y均成立，
∴
又，当且仅当时等号成立，∴
故m的最小值为
故答案为：B
21．C
若恒成立，则，
因为，
当且仅当，即时取等号．
所以
所以，即，
解得：．
22．B
设实验室总造价为元，实验室地面的长为，则宽为，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立.
故当实验室地面的长为，宽为时，实验室总造价取得最小值228000元.
故选：B.
23．C
第一辆汽车到达用，由题意，每隔到达一辆，
则最后一辆汽车到达的时间为，
要使这批物资尽快全部到达灾区，即就是最后一辆汽车到达的时间最短，
即求最小时汽车的速度，
因为，当且仅当，即时等号成立，
故选：C．
24．C
设每次进货件，费用为元.
由题意，
当且仅当时取等号，最小，
故选：C.
25．C
因为，则，
则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值.
故选：C.
26．A
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
则，即最小值为4.
故选：A.
27．D
y＝＝＝，
因为x≥，所以x－2＞0，
所以
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
故y的最小值为1，没有最大值.
故选：D
28．B
【详解】
对于A，由于，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以不能取到等号，即，所以A错误，
对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以B正确，
对于C，，当且仅当，即时取等号，而，所以不能取到等号，所以C错误，
对于D，由选项可知，当时，不成立，所以D错误，
故选：B
29．B
【详解】
解：设水池池底的一边长为x m，则另一边长为，
则总造价
（元）.
当且仅当，即时，y取最小值为1760.
所以水池的最低造价为1760元.
故选：B.
30．A
解：正实数，满足等式
（当且仅当时取等号）
令
则
或（舍弃）
故选：．
31．B
解：若，，且，
则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：B．
32．C
因为，当且仅当时取等号，所以，即，的最大值为3．
故选：C．
33．B
令，则，
所以，
当且仅当等号成立.
故选：B.
34．C
解：因为，为正实数，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为3.
故选：.
35．C
解：，
由基本不等式得：，
当且仅当时取等号，
又的最大值为2，
故，
又，
故.
故选：C.
36．B
【详解】
由题意，，，
可得，，
当且仅当时等号成立，
所以此三角形面积的最大值为12．
故选：．
37．D
令，，则，，且，，，
所以，
当且仅当时取等号.
故选：D.
38．D
【详解】
,当且仅当取“=”
所以
故选：D
39．D
解：，且，则有，即
当且仅当 即时“等号”成立.
故选：D.
40．D
【详解】
因为，所以
所以，当且仅当，时取等.
故选：D
41．C
【详解】
当且仅当即时，上式取等号
（）的最小值为
故选：C.
42．B
【详解】
解：因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为
由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，
所以（）
故选：B
43．BD
对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，由已证得，当且仅当时等号成立，因为，，所以，当且仅当时等号成立.所以，故B正确；
对于C，，当且仅当即时等号成立，故C错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选:BD
44．ACD
对于A.∵，∴，，，∴，故A成立；
对于B.当时，不成立，故B错误；
对于C.，，∴，故C成立；
对于D.∵
，
当且仅当时，即，时等号成立，
故的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
45．ACD
【详解】
易知C正确；
对A，因为，所以，则，当且仅当时取“=”，正确；
对B，若，则，错误；
对D，因为，，所以，则，当且仅当时取“=”，正确.
故选：ACD.
46．BCD
【详解】
解：不等式恒成立的条件是，，故A不正确；
当为负数时，不等式成立.故B正确；
由基本不等式可知C正确；
对于，
当且仅当，即，时取等号，故D正确.
故选：BCD.
47．AB
【详解】
由已知可得，
而，，
所以，故的值不可能为1，2，
故选：AB．
48．BC
【详解】
对于A中，由，可得函数，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以等号不成立，所以函数的最小值为不是，所以A不正确；
对于B中，由，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
所以B正确；
对于C中，由，则
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
解得，即，所以的最大值为1，所以D不正确.
故选：BC.
49．7
【详解】
因为，，所以，
因为，
所以
，
当且仅当即等号成立，
则的最小值为7.
故答案为：7.
50．4
【详解】
，，
，
正实数，，
原式，
等号成立当且仅当，的最小值为，
故答案为：.
51．6
【详解】
解：正数，满足，，且；
变形为，，，，；
，，
当且仅当，即时取“”（由于，故取，
的最小值为6；
故答案为：．
52．
设一年的总费用为，则，
当且仅当即时等号成立，
所以要使一年的总运费与总存储费之和最小，的值是，
故答案为：.
53．
【详解】
，
，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：
54．
，
，
，
，
又，
若，，则，
（当且仅当时取等号），
，
，或，又，
；
若，，，，
同理可得，(当且仅当x=y时取等号)
，
.
综上所述，或．
55．
【详解】
（1）∵，
∴，
故，当且仅当，即时等号成立．
（2）由（1）可得，
当且仅当，即时上式取最小值，即．
56．.
（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为.
（2）因为x＜3，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为-1.
（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为.
57．解：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意左右两面墙的长度均为，则屋子前面新建墙体长为，
则
因为．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，，
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
（2）由题意可得，对任意的，恒成立．
即，从而，即恒成立，
又．
当且仅当，即时等号成立．
所以．
58．
证明　∵a>0，b>0，c>0，
∴，
，
.
当且仅当a=b=c时上式等号均成立，
又a，b，c不全相等，
故上述等号至少有一个不成立.
故三个式子相加，得
∴.
试卷第1页，总3页

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