资源简介

一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
【考点梳理】
考点一　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
考点二　一元二次函数的零点
二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
考点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　
【题型归纳】
题型一：一元二次不等式的解法
1．已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－22．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．
题型二：含参数的一元二次不等式的解法
4．已知不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．{或} C． D．或
6．已知，关于x的不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
题型三：由一元二次不等式来确定参数的范围
7．已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的不等式的解集为或，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：一元二次不等式恒成立问题
10．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－2，2） B．（－2，2] C．（－∞，－2）∪[2，＋∞） D．（－∞，2）
11．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：一元二次不等式的应用
13．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为
A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
14．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是
A． B． C． D．
15．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【双基达标】
一、单选题
16．不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
17．不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
18．设，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
19．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
20．不等式的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
21．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，， C． D．
23．要使函数的值恒为负值，的取值范围为（ ）
A． B．或 C．或 D．
24．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【高分突破】
一：单选题
26．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
27．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
29．若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
30．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．
31．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
33．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．，或
C．，或 D．，或，或
二、多选题
34．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（ ）
A． B．
C．的解集为 D．的解集为或
35．已知a为实数，下列选项中可能为关于x的不等式解集的有（ ）
A． B．
C． D．
36．已知，不等式恒成立，则实数的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
37．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集为
C．不等式的解集恰好为，那么
D．不等式的解集恰好为，那么
38．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
39．关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（ ）
A．
B．关于x的不等式的解集为
C．
D．关于x的不等式的解集为
三、填空题
40．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________．
41．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
42．已知函数对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为________．
43．已知关于的不等式的解集是，则的解集为_____.
44．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______．
四、解答题
45．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
46．已知，．
若，解不等式；
若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
若，解不等式．
47．已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
48．已知关于的不等式恒成立
(1)当时成立，求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
49．设函数
（1）若对一切实数x，恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求m的取值范围：
50．已知函数.
（1）若不等式 的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围.
【答案详解】
1．C
解析　∵N＝{x|－2∴M∩N＝{x|－22．C
【详解】
因为，，所以．
故选：C.
3．C
【详解】
解不等式得：且，即且，
解得或，
所以不等式的解集是或.
故选：C
4．A
∵不等式的解集为，
∴，即，
∴不等式变形得：x2x+1＞0，
即，
整理得：，即，
解得：，
则的解集为．
故选：A．
5．A
不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A
6．A
不等式化为，
，，故不等式的解集为或.
故选：A.
7．D
根据题意需分两种情况：
①当a=0时，即符合题意；
②当a≠0时，不等式的解集为空集，
故
综上可得：.
故选:D.
8．C
【详解】
关于的不等式的解集为或，
、是关于的方程的两个实根，且，
所以，，解得.
故选：C.
9．C
由于代数式有意义，则，
因为关于的不等式的解集为，则、为方程的两根，
由韦达定理可得，所以，、均为正数，
所以，.
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：C.
10．B
【详解】
∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x， ∴（2－m）x2＋（4－2m）x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，＝（4－2m）2－16（2－m）<0，解得－2综上所述，－2故选：B
11．B
解：关于的不等式在内有解，等价于在内，
令，
因为抛物线的对称轴为，
所以当时，取最大值，
所以，
故选：B
12．C
若不等式对一切恒成立，
则，即
，在单调递增，，
所以.
故选：C
13．C
【详解】
设销售价定为每件元,利润为
则
依题意,得
即,解得
所以每件销售价应定为12元到16元之间
故选:C
14．B
【详解】
设该厂每天获得的利润为元，
则，，
根据题意知，，解得：，
所以当时，每天获得的利润不少于元，故选．
点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．
15．A
依题意，，画出的图像如下图所示，由图可知，解得.
16．D
不等式等价于，即，且，解得，
故不等式的解集为，
故选：D．
17．C
【详解】
∵不等式的解集为，
∴，∴，
，图象开口向下，两个零点为.
故选：C.
18．B
【详解】
原不等式可化为，
因为，所以，
所以原不等式的解为.
故选:B
19．D
【详解】
解：一元二次不等式的解集为，
所以不等式对应方程的两个实数根是和2，且；
所以，即
所以不等式，即为，即，即，解得，即不等式的解集为．
故选：D．
20．B
【详解】
因为不等式的解集为，
∴不等式恒成立
①当m+1=0，即m=时，不等式化为≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；②当m+1≠0，即m≠时，对任意x∈R要使，只需m+1>0且，解得.
综上，实数m的取值范围是.
故选：B.
21．C
结合题意易知，，
即，解得，
因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是，
故选：C.
22．C
解： 对一切恒成立，等价于，对一切实数恒成立，
当时不合题意，所以，
则，解得：.
所以实数的取值范围是.
故选：.
23．D
【详解】
解：由题设知：
①当时，适合题意；
②当时，由题意得：，解得：，
综合①②得：，
故选：.
24．B
【详解】
由题意得和是关于的方程的两个实数根，则，解得，
则，由得，当时，
，故.
故选：B.
25．B
【详解】
∵不等式，即恰有2个整数解，
∴，解得或.
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得；
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是-或.
故选：B.
26．A
【详解】
因为关于的不等式在上有解，
即在上有解，
只需的图象与轴有公共点，
所以，
即，所以，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：A.
27．B
【详解】
当时，恒成立；
当时，由不等式对恒成立得，
，
解得.
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B.
28．C
【详解】
关于的不等式的解集是，则，
不等式为，即，所以．
故选：C．
29．A
【详解】
由题得不等式对任意成立，
所以，
即，
解之得或.
故选：A
30．D
【详解】
不等式的解集为，
和2是方程的两个根，且，
，可得，
则不等式化为，
由，则可整理得，解得，
故不等式的解集为.
故选：D.
31．A
【详解】
解：关于的不等式在区间，上有解，
在，上有解，
即在，上成立；
设函数，，，
在，上是单调减函数，又，
所以的值域为，，
要在，上有解，则，
即实数的取值范围为．
故选：．
32．A
【详解】
由题知，只需在上恒成立即可.
因为，
所以
令
因为函数在上为增函数，
所以，
所以.
故选：A
33．D
不等式的解集为，即的二根是1和2，利用根和系数的关系可知，故不等式即转化成，即，等价于或者，解得或，或者.故解集为，或，或.
故选：D.
34．AC
【详解】
解：因为不等式的解集为，其中，
所以，是方程的两个根，所以A正确；
所以，解得，
因为，，所以，
又由于，所以，所以B错误；
所以可化为，
即，即，
因为，所以，
所以不等式的解集为，
所以C正确，D错误，
故选：AC
35．ABD
（1）当时，原不等式即，解得，故A正确；
（2）当时，原不等式即，
① 当时，，解得，故B正确；
② 当时，，解得或，故D正确；
③ 当时，，解得，且；
④ 当时，，解得或.
故选：ABD.
36．CD
因为，不等式恒成立，
所以当时，若不等式恒成立，若无意义；
当时，即或，则 ，
解得 ，
综上： 实数的可能取值有或，
故选：CD
37．ABD
【详解】
解：由得，又，所以，从而不等式的解集为，所以A正确；
当时，不等式就是，解集为，当时，就是，解集为，所以B正确；
当的解集为，，即，因此时函数值都是，由当时，函数值为，得，解得或，
当时，由，解得或，不满足，不符合题意，所以C错误；
当时，由，解得或，满足，所以，此时，所以D正确，
故选：ABD
38．ABC
设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.
若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
因为对称轴为，则
解得，.
又，故可以为6，7，8.
故选：ABC
39．ACD
A．由已知可得且是方程的两根，A正确，
B．由根与系数的关系可得：，解得，
则不等式可化为：，即，所以，B错误，
C．因为，C正确，
D．不等式可化为：，即，解得或，D正确，
故选：ACD．
40．
若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题
，解得：
的取值范围为
故答案为：
41．
函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；
当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：
42．4
∵函数对任意的，不等式恒成立,
∴化简可得,
∵，当且仅当时取等号,
∴
∴则实数的最大值为
故答案为：4
43．
由题意，关于的不等式的解集是，
则，解得，
所以不等式，即为，
即，即，解得
即不等式的解集为．
44．
由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，
由韦达定理知，，
所以当且仅当取等号．
45．
解：（1）不等式可化为：，
①当时，不等无解；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
（2）由可化为：，
必有：，化为，
解得：.
46．（1）解集为，或；（2）a的范围为；（3）见解析.
【详解】
分析: （1）当a=1，不等式即（x+2）（x﹣1）≥0，解此一元二次不等式求得它的解集;（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0恒成立，当a=﹣2 时，显然不满足条件，故有 ，由此求得a的范围;（3）若a＜0，不等式为 ax2+x﹣a﹣1＞0，即再根据1和﹣的大小关系，求得此不等式的解集．
详解：
当，不等式即，即，解得，或，
故不等式的解集为，或．
由题意可得恒成立，
当时，显然不满足条件，．
解得，故a的范围为．
若，不等式为，即．
，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式即，它的解集为；
当时，，不等式的解集为．
47．
（Ⅰ） 即，
，（ⅰ）当时，不等式解集为；
（ⅱ）当时，不等式解集为；
（ⅲ）当时，不等式解集为，
综上所述，（ⅰ）当时，不等式解集为；
（ⅱ）当时，不等式解集为；
（ⅲ）当时，不等式解集为 .
（Ⅱ）对任意的恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立.
①时，不等式为恒成立，此时；
②当时，，
， ， ，
当且仅当时，即，时取“”, .
综上 .
48．
（1）由题可知实数m的取值范围是
（2），设，
p是q的充分不必要条件，A是B的真子集
① 由（1）知，时，B=R，符合题意；
② 时，，符合题意
③时，，符合题意
④时，设,的对称轴为直线，由A是B的真子集得，
综上所述：
49．
（1）对恒成立，
若，显然成立，
若，则，解得.
所以，.
（2）对于，恒成立，即
对恒成立
对恒成立
∴对恒成立，
即求在的最小值，
的对称轴为，
，，，
可得即.
50．
【详解】
（1）①当时，即时，，不合题意；
②当时，即时，满足，
即，解得，即实数的取值范围是.
（2）因为不等式，即，即，
①当时，即时，不等式的解集为；
②当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为；
③当时，即时，不等式可化为
因为，可得，所以，
所以不等式的解集为.
（3）不等式的解集为，若，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设 则，
所以，
因为，当且仅当时，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，的最大值为，
所以的取值范围是.
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