资源简介

3．3　幂函数
【考点梳理】
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减
知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
【题型归纳】
题型一：幂函数的定义
1．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）如果幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．无解
2．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·江苏镇江市·）已知幂函数在区间上是单调递增函数，则实数的值是（ ）
A．-1或4 B．4 C．-1 D．1或4
题型二：幂函数的值域问题
4．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·湖南衡阳市·高一月考）函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．
6．（2018·南京市第三高级中学高一期中）以下函数，，，中，值域为的函数共（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三：幂函数的定点和图像问题
7．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　）
A． B． C．2 D．
8．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
9．（2019·宁都县宁师中学高一月考）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）
10．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（ ）
A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2
12．（2020·江西鹰潭一中）已知幂函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：幂函数的奇偶性问题
13．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
14．（2021·吴县中学）有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
15．（2020·乌苏市第一中学高一月考）已知，若幂函数为偶函数，且在上递减，则（ ）
A．， B．1，3 C． D．，2
【双基达标】
一、单选题
16．（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知幂函数，则实数等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．任意实数
17．（2020·南京市第十三中学高一月考）函数 的图象是（ ）
A．B．C．D．
18．（2021·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
19．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数的图象过点，则（4）的值是（ ）
A．64 B． C． D．
20．（2021·全国高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·全国高一课前预习）已知幂函数(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．3
22．（2021·全国）幂函数满足：对任意，当且仅当时，有，则（ ）.
A． B． C． D．
23．（2021·全国）下列比较大小中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
24．（2019·云南昭通市第一中学高一月考）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·全国）幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： （如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
26．（2021·全国高一课前预习）幂函数在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
27．（2021·浙江）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．，且
28．（2021·全国高一课时练习）点在幂函数的图象上，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·全国高一课时练习）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
32．（2021·浙江高一期末）已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中，可能成立的关系式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
33．（2021·全国高一单元测试）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．（2021·全国高一课时练习）下列关于幂函数的性质，描述正确的有（ ）
A．当时函数在其定义域上是减函数 B．当时函数图象是一条直线
C．当时函数是偶函数 D．当时函数在其定义域上是增函数
35．（2021·全国高一课时练习）已知函数为幂函数，则该函数为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．区间上的增函数 D．区间上的减函数
36．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
37．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的定义域是
C．是偶函数 D．不等式的解集是
38．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
39．（2021·湖南邵阳市·高一期末）已知幂函数的图象过点，则______.
40．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
41．（2021·全国高一课时练习）不等式的解集为______
42．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．
43．（2021·全国高一单元测试）已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则______．
四、解答题
44．（2021·全国高一课时练习）已知函数是幂函数，求的值．
45．（2021·全国高一课时练习）已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
46．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数在上单调递减．
（1）求实数的值．
（2）若实数满足条件，求的取值范围．
47．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
【答案详解】
1．C
【详解】
由幂函数的定义得m23m+3=1，解得m=1或m=2；
当m=1时，m2m2=2，函数为y=x-2，其图象不过原点，满足条件；
当m=2时，m2m2=0，函数为y=x0，其图象不过原点，满足条件.
综上所述，m=1或m=2.
故选：C.
2．D
【详解】
设，
依题意，
所以.
故选：D
3．B
【详解】
幂函数在上是增函数
则 ，解得
故选：B
4．D
【详解】
幂函数的图像过点，，解得，， 的值域是.
故选：D.
5．A
【详解】
∵函数在区间上是减函数，
∴，
故选：A.
6．C
【详解】
函数，其定义域为，值域为；
函数的定义域为，值域为；
函数，，函数值域为；
函数，值域为．
值域为的函数共3个．
故选：C.
7．B
【详解】
由于为幂函数，则，解得：，则；
函数，当 时，，
故的图像所经过的定点为，
所以，即，解得：,
故选：B.
8．C
【详解】
首先由分数指数幂运算公式可知，则，
，且函数的定义域为，所以函数是偶函数，关于轴对称，故排除AD，
因为，所以在第一象限的增加比较缓慢，故排除B，
故选：C
9．A
试题：由幂函数图像特征知，，，，所以选A．
10．A
【详解】
由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，
可知两个函数在单调递增；
由于；由于；综上：
故选：A
11．B
【详解】
由于幂函数是奇函数，且在是减函数，
故，且是奇数，且是整数，
，，
当时，，是奇数，；
当时，，不是奇数；
当时，，是奇数；
故或2．
故答选：B
12．B
【详解】
因为幂函数是增函数，且定义域为，由得，解得.
所以实数a的取值范围是
故选：B
13．D
【详解】
设幂函数的解析式为，
将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选：D.
14．A
【详解】
对于①，函数为偶函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，该函数在上为增函数，①满足条件；
对于②，函数为奇函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，②不满足条件；
对于③，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，
当时，；当时，，则函数的值域为，
函数在上为增函数，该函数在上也为增函数，③不满足条件；
对于④，函数为奇函数，且函数的值域为，该函数在上为增函数，④不满足条件.
故选：A.
15．C
【详解】
若幂函数为偶函数，且在上递减，
则且，
所以.
故选：C
16．A
【详解】
因为函数为幂函数，所以m-1=1，则m=2.
故选：A.
17．A
【详解】
由幂函数可知: 是定义域为R的偶函数，在(0,+∞)上单调递增，且当x>1时,函数值增长的比较快.
故选：A
18．C
【详解】
当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；
当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．
故选：C.
19．D
【详解】
幂函数的图象过点，
，解得，
，
（4），
故选：.
20．B
【详解】
因为，
则有，解得且，因此的定义域是．
故选：B.
21．B
【详解】
因为在(0，＋∞)上是减函数，
所以m－3<0,所以m<3.
又因为m∈N*，所以或.
又因为是奇函数，
所以m－3是奇数，
所以m＝2.
故选：B.
22．B
【详解】
设，由已知，函数的定义域为，∴，
又∵对任意，当且仅当时，有，即与一一对应，
必定不是偶函数，∴必定为奇函数，∴答案为，
故选：B.
23．C
【详解】
A选项，在上是递增函数，，错，
B选项，在上是递减函数，，错，
C选项，在上是递增函数，
，，，对，
D选项，在上是递增函数，
，，，错，
故选：C．
24．C
【详解】
的定义域为，且在单调递增，
所以可化为：
，解得：.
故a的取值范围是.
故选：C
25．B
【详解】
对于幂函数，因为 ，所以在第一象限单调递减，
根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴 ，
因为，所以的图象比的图象更接近轴 ，所以进过第卦限，
在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，
所以的图象位于和之间，所以经过卦限，
所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，
故选：B
26．A
【详解】
解：幂函数在上单调递增，
，且，解得或，
当时符合题意；
当时不符合题意；
故选：．
27．B
【详解】
解：对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
28．B
【详解】
解：因为点在幂函数的图象上，
所以，即，
，所以，
故，，
，
因为，所以，
所以，
所以函数的值域为.
故选：B.
29．C
【详解】
解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.
故选：C.
30．D
【详解】
由题意得：，得或
当时，图象关于y轴对称，不成立；
当时，是奇函数，成立；
所以不等式转化为，即，解得.
故选：D
31．C
【详解】
由，
由的图像经过，则的值为，此时为奇函数.
又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过.
所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件
故选：C
32．C
【详解】
在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示：
数形结合可知，在（1）处；在（2）处；在（3）处；
在（4）处；在或也满足，故①②⑤对
故选：C.
33．D
【详解】
由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.
故选：D.
34．CD
【详解】
对于A选项，，在和上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误．
对于B选项，，，图像是：直线并且除掉点，故B选项错误．
对于C选项，，定义域为，是偶函数，所以C选项正确．
对于D选项，，函数在其定义域上是增函数，所以D选项正确．
故选：CD
35．BC
【详解】
由为幂函数，得，即m=2，
则该函数为，故该函数为偶函数，且在区间上是增函数，
故选：BC.
36．BC
【详解】
因为为幂函数，
所以，解得：m=2或m=-1.
因为任意，且，都满足，
不妨设，则有，所以为增函数，
所以m=2，此时
因为，所以为奇函数.
因为且，
所以.
因为为增函数，
所以，所以.
故BC正确.
故选：BC
37．ACD
【详解】
因为函数是幂函数，所以，得，即，
，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；
，所以函数是偶函数，故C正确；
函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.
故选：ACD
38．BCD
【详解】
对于①对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；
对于②对于定义域内的任意，，当时，恒有，
在定义域内是减函数；
对于A：，，，故不是奇函数，所以不是“理想函数”；
对于 B：是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；
对于C：是奇函数，并且在R上是减函数，所以是“理想函数”；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，在，都是减函数，
且在处连续，所以在上是减函数，
所以是“理想函数”.
故选：BCD.
39．
【详解】
设，则，
所以.
故答案为：
40．
【详解】
设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，
所以的范围为，
故答案为：．
41．
【详解】
解：因为幂函数在上为增函数，，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
42．
【详解】
由幂函数与轴及轴均无交点，
得，
解得，
又，即，
的图像关于轴对称，
即函数为偶函数，故为偶数，
所以，
故答案为：.
43．
【详解】
由题意知，
幂函数在上单调递减，
则k为负数，则k=-2，-1，，
又由函数为奇函数，则k=-1，
故答案为：-1
44．-6
【详解】
因为是幂函数，
所以，解得，
所以．
45．（1）；（2）存在，.
解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
46．（1）；（2）．
【详解】
解：（1）是幂函数，，解得：或，
时，在上单调递增，
时，在递减，
故；
（2）若实数满足条件，
则或或，
解得：或，
故的取值范围是．
47．（1）；（2）；（3）2．
【详解】
（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，
在上单调递增，则，，所以或2．
所以；
（2）由（1）偶函数在上递增，
．
所以的范围是．
（3）由（1），，，
，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是2．
试卷第1页，总3页

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