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函数的概念与性质
3.2函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
【考点梳理】
重难点：单调性
考点一：　增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1(2)如果 x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
考点二：二函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
重难点：函数的最大(小)值
考点一　函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
最大值 ①对于 x∈I，都有f(x)≤M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ①对于 x∈I，都有f(x)≥M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
考点二　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
【题型归纳】
题型一：函数单调性的判定与证明
1．（2021·高平市第一中学校高一开学考试）已知函数，且＝3.
（1）求a的值；
（2）判断函数f(x)在[1，+∞)上的单调性，并证明．
2．（2020·金华市云富高级中学高一月考）（1）求证：y=-x +1在区间[0，+∞)上为减函数.
（2）画出函数y=-x +2|x|+3的图像，并指出函数的单调区间.
3．（2021·上海高一专题练习）已知函数．证明：函数在上严格增函数.
题型二：根据函数的单调性求参数范围
4．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）若函数，在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高一单元测试）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：复合函数的单调性
7．（2021·全国）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国）以下函数在其定义域上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·黑龙江鹤岗一中）函数的单调递增区间是（　　）
A． B．，
C． D．
题型四：根据函数的单调性解不等式
10．（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·淮北市树人高级中学高一期中）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）已知奇函数在上单调递增的，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．．
题型五：根据函数的单调性求值域
13．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．-1
14．（2021·全国高一单元测试）若“，，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
15．（2021·上海高一专题练习）已知函数，则f(x)的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
题型六：根据函数的值域求参数范围
16．（2021·浙江）若函数在区间上的最大值为，则实数（ ）
A． B． C． D．或
17．（2020·宜城市第三高级中学）函数在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数为（ ）
A．3 B．-3 C．0 D．3或-3
18．（2020·湖北）已知函数有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七：函数不等式恒成立问题
19．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·全国高一单元测试）设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
22．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）函数，，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
23．（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学）若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．（2020·杭州之江高级中学高一期中）函数中，有（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
26．（2021·全国高一专题练习）已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是（ ）
A．最大值为3，最小值为－1 B．最小值为－1，无最大值
C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值
27．（2021·全国高一专题练习）设偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则（ ）
A．C．f(2)28．（2021·全国高一专题练习）甲：函数是上的单调递减函数；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
29．（2021·全国高一课前预习）当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·全国高一专题练习）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
31．（2021·全国）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
32．（2021·全国高一单元测试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（ ）
A． B． C． D．
33．（2021·全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
34．（2021·全国高一专题练习）已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
35．（2021·全国高一专题练习）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
36．（2021·全国高一专题练习）在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．（2021·全国高一课时练习）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”的是（ ）
A．f（x）＝－ B．f（x）＝－3x＋1
C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f（x）＝x－
38．（2021·全国高一专题练习）已知函数（），，（），则下列结论正确的是（ ）
A．，恒成立，则实数的取值范围是
B．，恒成立，则实数的取值范围是
C．，，则实数的取值范围是
D．，，
39．（2021·全国高一单元测试）给出下列命题，其中错误的命题是 （ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；
B．函数的单调递减区间是；
C．已知函数是定义域上减函数，若，则；
D．两个函数，表示的是同一函数.
40．（2021·全国高一课时练习）函数的定义域为，对任意的，都满足，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上是单调递减函数 B．
C．的解为 D．
三、填空题
41．（2020·金华市云富高级中学高一月考）函数y=+的最大值为__________.
42．（2021·浙江杭州市·学军中学高一竞赛）若函数的定义域为R，则a的取值范围是_____________．
43．（2021·全国高一课时练习）函数的值域为______
44．（2021·广东潮州·高一期末）已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．
45．（2020·杭州之江高级中学高一期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是___________．
四、解答题
46．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数
（1）证明函数在区间上的单调性；
（2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值.
47．（2019·罗平县第二中学高一期中）设函数.
（1）用函数单调性定义证明：函数在区间上是单调递减函数；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
48．（2019·长沙市南雅中学高一月考）设函数.
（1）若对于一切实数x，恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求实数m的取值范围.
49．（2021·全国高一专题练习）定义在上的函数满足，且当时，．
（1）求；
（2）证明在上单调递减；
（3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案详解】
1．
【详解】
(1)函数中，因=3，则，解得，
所以a的值是；
(2)由(1)知：，f(x)在[1，+∞)上的单调递增，
，且，，
因，则，且，即有，，
所以f(x)在[1，+∞)上的单调递增.
2．
【详解】
（1）证明：设任意0x则y y=x x=(x x)(x+x)>0，
∴y>y，
∴函数y= x +1在区间[0，+∞)上是减函数.
（2）作出函数图象如图所示：
增区间为：( ∞， 1)，(0，1)，
减区间为：( 1，0)，(1，+∞).
3．
任取，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以函数在上严格增函数.
4．D
【详解】
因为的对称轴为且开口向上，且在上是减函数，
所以，所以，
故选：D.
5．C
【详解】
解：若是上的增函数，则应满足，解得，即.
故选：C
6．B
【详解】
，依题意有，即，
所以实数的取值范围是．
故选：B.
7．D
【详解】
由得或，即函数的定义域为，
又二次函数的图象的对称轴方程为，
所以函数（）在区间上单调递减，
在区间上单调递增，又函数为增函数，
所以的单调递减区间为．
故选：D
8．B
【详解】
解：对于A选项，，由于反比例函数为减函数，故为减函数，A选项错误；
对于B选项，的对称轴为，开口向上，故为增函数，B选项正确；
对于C选项，由于上是减函数，故由复合函数的单调性得为定义域上的减函数，C选项错误；
对于D选项，为减函数，故D选项错误.
故选：B.
9．B
【详解】
由，可知函数开口向上，对称轴，且．
因为函数在区间，上单调递减，
所以原函数的单调递增区间，．
故选:B．
10．C
【详解】
∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得，
故选：C．
11．A
【详解】
因为是偶函数，所以，
所以等价于，
因为在区间上单调递增，
所以，即，解得：，
所以原不等式的解集为，
故选：A.
12．D
【详解】
因为奇函数在上单调递增的，且，
所以奇函数在上单调递增的，且，所以有：
（1）当时，因为，所以当时，，当时，，
当时，由，
当时，由，所以，
（2）当时，因为，所以当时，，当时，，
因此由，
综上所述：由，
故选：D
13．A
【详解】
∵函数在上为减函数，
∴.
故选：A.
14．C
【详解】
解：若“，，使得成立”是假命题，
即“，，使得成立”是假命题，
故，，恒成立，
令，，，所以是增函数（增函数+增函数=增函数），
所以，
，
故选：C．
15．D
【详解】
因为在上单减，所以在上单减，
即在上单减，
所以f(x)的最大值为.
故选：D
16．B
【详解】
函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得．
故选：．
17．D
【详解】
解：①当时，，不符合题意；
②当时，在上递增，则，解得；
③当时，在上递减，则，解得．
综上，得，
故选：D．
18．C
【详解】
如图所示可得：或，
解得：，
故选：C.
19．A
【详解】
对任意，恒成立，即恒成立，即知．
设，，则，．
∵，∴，
∴，
∴，故的取值范围是．
故选：A.
20．D
【详解】
由题意，对于任意，都有成立，
所以即对于任意恒成立，
所以只需的最大值与最小值的差小于2即可，
当时，在上单调递减，
则，解得，不合题意；
当时，在上单调递增，
则，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
综上，.
故选：D.
21．A
【详解】
由题意，函数对任意有
（1）当时，成立；
（2）当时，函数为二次函数，若满足对任意有，则
综上：
故选：A
22．D
【详解】
因为函数，在上递增，
所以的值域为，
故选：D
23．D
【详解】
由作出图象，
如图，由图象可得要取得最小值2，则；
∵在区间上单调递减，则时，取得最小值为2，即，可得，
∴a的取值范围为
故选：D
24．B
【详解】
函数的单调递减区间是，
依题意得，于是得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
25．D
【详解】
解：函数的图象向左平移1个单位可得函数的图象，
因为函数在和上单调递减，
则函数在和上单调递减．
故选：D．
26．D
【详解】
由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；由f(x)3，所以
易得F(x)无最大值，无最小值．
故选：D
27．B
【详解】
因函数f(x)为偶函数，于是有f(-x)=f(x)，从而得f(2)=f(-2)，
又f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<<-1，
所以f(2)=f(-2)<故选：B
28．A
【详解】
函数是R上的单调递减函数，则，由减函数定义知，此命题是真命题，即命题：“若甲则乙”是真命题；
反之，，则函数是上的单调递减函数，条件与减函数定义不符，即命题：“若乙则甲”是假命题，
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
29．A
【详解】
解：不等式可化为．
当时，，可得；
当时，，；
当时，，可得．
综上，的取值范围为．
故选：A．
30．C
【详解】
因为函数是定义在上的减函数，
所以，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：C.
31．C
【详解】
解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，，，
故选：C．
32．D
【详解】
解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意，解得，即
故选：D
33．C
【详解】
因为，可知在上单调递减，
所以不等式成立，即
.
故选：C.
34．D
【详解】
因为函数在上为增函数，
则不等式对恒成立，
即对恒成立，
所以对恒成立，
令，
当，则，
所以，故的取值范围为.
故选：D
35．A
【详解】
易得函数在R上单调递增，
则由可得，解得，
故不等式的解集为.
故选：A．
36．D
【详解】
由，则即，所以恒成立，
在上的最小值为，所以，整理可得，
解得，
实数的最大值为，
故选：D
37．ACD
因为“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”
所以不妨设0< x1所以f（x）为（0，＋∞）上的增函数.
对于A：f（x）＝－在（0，＋∞）上为增函数,故A正确;
对于B：f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上为减函数,故B错误;
对于C：f（x）＝x2＋4x＋3对称轴为x=-2,开口向上,所以在（0，＋∞）上为增函数,故C正确;
对于D：f（x）＝x－,因为在（0，＋∞）上为增函数, 在（0，＋∞）上为增函数,所以f（x）＝x－在（0，＋∞）上为增函数, 故D正确;
故选:ACD
38．AC
【详解】
在A中，因为是减函数，所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此，A正确；
在B中，因为减函数，所以当时，函数取得最大值，最大值为，因此，B错误；
在C中，，所以当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域为，由有解，知，C正确；
在D中，等价于的值域是的值域的子集，而的值域是，的值域，D错误.
故选：AC
39．ABD
函数的定义域为，则函数中，，即，函数的定义域为，故A错误；
函数图象不连续，故其单调递减区间是，故B错误；
函数是定义域上减函数，由单调性知时，有，即C正确；
函数定义域为，函数定义域为，故不是同一函数，即D错误.
故选：ABD.
40．BC
【详解】
解：由，得，
所以在上单调递增，所以错，
因为为上的递增函数，所以，所以对，
因为在上为增函数，，所以对
函数上为增函数时，不一定有，如在上为增函数，但，所以不一定成立，故错．
故选：
41．
【详解】
由，解得，即函数的定义域为，，
当时，取得最大值，即.
故答案为：
42．
因为函数的定义域为R，
所以恒成立，
令，
当时，，
故当时，即可，解得，
当时，，
当时，，解得，
当时，不恒成立.
综上，或.
故答案为：
43．
【详解】
，
令，
因为在单调递减，在单调递增，
所以，当时，，当时，
所以，即值域为：.故答案为：
44．
【详解】
函数的对称轴是，开口向上，
若函数在区间是单调递增函数，
则，故答案为：．
45．
解：要使函数在上为增函数，须有在上递增，在上递增，
且，
所以有，解得，
故a的取值范围为．
故答案为：．
46．
（1）函数在区间上单调递增；
设任意的，且，
则
，
因为，，所以，，
所以，即，
所以函数在区间上的单调递增；
（2）函数对称轴为，开口向上，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增；
所以，，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以.
47．
（1）证明：设,
由题有,
∵,
∴, , ,
∴, 即,
∴函数在区间上是单调递减函数.
（2）由（1）可知在区间上单调递减,
∴的最大值为, 最小值为.
∴函数在区间上的最大值为, 最小值为.
48．
（1）， ，恒成立
综上
(2)∵
∴∴∴，
49．
解：（1），令，则（1）（1）；
证明：（2）由可得，
设，，，
，即
，所以在上单调递减；
（3）因为，
所以，由（2）得恒成立，
令，则可化为对任意恒成立，且，
，又，
∴，即，
．

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