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《圆与方程》专题5-1 圆交线、圆切线的最值分析
（4套，4页，含答案）
知识点：
点圆距离最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论|PB|的最值
圆内一点A，圆上一动点P，讨论|PA|的最值 直线和圆距离最值： 有圆O，半径r，直线L，M点在圆周上运动，圆心O到直线L，距离为d，则M到直线距离最大值：d＋r；距离最小值：d－r；
基础例题1：
已知点P（－3，4），点M是圆(x－4) ＋y ＝9上一动点，求M、P距离的最大值和最小值。（[endnoteRef:0]） [0: 答案：，；]
已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4和直线L：x－y＝5，求C上的点到直线L的距离的最大值与最小值．[endnoteRef:1] [1: 答案：最大值为3－＋2，最小值为3－－2；
解　由题意得圆心坐标为(，1)，半径为2，则圆心到直线l的距离为d＝＝3－，则圆C上的点到直线l距离的最大值为3－＋2，最小值为3－－2．]
随堂练习1：
已知点A（2，－3），点B是圆x ＋(y＋4) ＝10上一动点，求B、A距离的最大值和最小值。（[endnoteRef:2]） [2: 答案：，； ]
已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x ＋y －2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　[endnoteRef:3]　)
A．3－ B．3＋ C．3－ D． [3: 答案：A；
　[lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1．
∴Smin＝×(2)×＝3－．]]
若圆C：x ＋y ＝4上的点到直线L：y＝x＋a的最小距离为2，则a＝（　[endnoteRef:4]　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
[4: 答案：D；
【解析】由题意，知圆心到直线的距离为4，则，解得，故选D．]
典型例题2：
若圆(x－3) ＋(y＋5) ＝r 上有且只有两点到直线4x－3y＝2的距离为1， 则半径r的取值范围是（ [endnoteRef:5] ） A (4，6) B [4，6) C (4，6] D [4，6] [5: 答案：A；]
随堂练习2：
圆(x－3) ＋(y－3) ＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数有（[endnoteRef:6]　　）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4　 [6: 答案：C；]
能够使得圆x ＋y －2x＋4y＋1＝0上恰有两个点到直线2x＋y＋c＝0的距离等于1的c的一个
值为（ [endnoteRef:7] ） A.2 B. C.3 D.3 （配方得：(x－1) ＋(y＋2) ＝2 ；） [7: 答案：C；
令，得；]
知识点3：
圆交线最值： 设圆心为O，圆内一点A，过A点并且与AO垂直的弦最短；过A点并且过圆心的弦最长。 圆切线最值： 设圆心为O，点P在圆外的一条直线m上运动，过点P作圆的两条切线，当点OP垂直于m时，
切线最短。
典型例题3：
已知圆的方程为x ＋y －6x－8y＝0.设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　[endnoteRef:8]　) A.10 B.20 C.30 D.40 [8: 答案：B；
[解析]　圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为×AC×BD＝×10×4＝20.]
已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x ＋y －2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．[endnoteRef:9]
[9: 答案：2，不存在；
解　(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9.
所以当x＝－时，|PC|＝9.所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)假设直线上存在点P满足题意．因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则有整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．
]
随堂练习3：
M(3，0)是圆x ＋y －8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是(　[endnoteRef:10]　)
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
[10: 答案：B；
　[过M最长的弦应为过M点的直径所在直线．]]
由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3) ＋y ＝1引切线，则切线长的最小值为(　[endnoteRef:11]　)
A．1 B．2 C. D．3 [11: 答案：C；]
《圆与方程》专题5-2 圆交线、圆切线的最值分析
已知点P（3，－2），点M是圆(x＋2) ＋(y－1) ＝6上一动点，求M、P距离的最大值和最小值。（[endnoteRef:12]） [12: 答案：，；]
已知点A在直线2x＋3y－6＝0上运动，另一点B在圆(x＋1) ＋y ＝1上运动，则|AB|的最小值是（ [endnoteRef:13] ） Ａ　　 Ｂ　－１　 Ｃ　＋１　　Ｄ　－2 [13: 答案：B；]
圆x ＋y ＋2x＋4y－3＝0上到直线L：x＋y＋1＝0的距离为的点有(　[endnoteRef:14]　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [14: 答案：C；
　[通过画图可知有三个点到直线x＋y＋1＝0距离为．]]
过点(2，1)的直线中，被圆x ＋y －2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是(　[endnoteRef:15]　)
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．3x－y－1＝0 D．3x＋y－5＝0 [15: 答案：A；
[解析]　x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)
∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A.]
若点P在直线L1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线L2与曲线C：(x－5) ＋y ＝16相切于点M，
则|PM|的最小值___[endnoteRef:16]_____． [16: 答案：4；
[解析]　曲线C：(x－5)2＋y2＝16是圆心为C(5,0)，半径为4的圆，连接CP，CM，则在△MPC中，CM⊥PM，则|PM|＝＝，当|PM|取最小值时，|CP|取最小值，又点P在直线l1上，则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离，即|CP|的最小值为d＝＝4，则|PM|的最小值为＝4.]
《圆与方程》专题5-3 圆交线、圆切线的最值分析
点M在圆(x－5) ＋(y－3) ＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为(　[endnoteRef:17]　)
A．9 B．8 C．5 D．2 [17: 答案：D；
[解析]由圆心到直线的距离d＝＝5>3知直线与圆相离，故最短距离为d－r＝5－3＝2，故选D.]
圆x ＋y －2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是（[endnoteRef:18] ）
A．2 B． C． D．
[18: 答案：B；]
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x ＋y ＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是_____[endnoteRef:19]___． [19: 答案：(－13,13)；
解析　由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1．
∵d＝＝，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)．]
P(3，0)为圆C：x ＋y －8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是__ _[endnoteRef:20]__． [20: 答案：x＋y－3＝0；
解析　过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为x＋y－3＝0．]
过直线x＝2上一点M向圆(x＋5) ＋(y－1) ＝1作切线，则M到切点的最小距离为 _[endnoteRef:21]___. [21: 答案：； ]
《圆与方程》专题5-4 圆交线、圆切线的最值分析
圆O的方程为(x－3) ＋(y－4) ＝25，点(2，3)到圆上的最大距离为__[endnoteRef:22]______． [22: 答案：5＋；
解析　点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋．]
已知圆x ＋y －2x＝0上的点到直线L：y＝kx－1的最短距离为，则k＝__[endnoteRef:23]___． [23: 答案：；
【解析】的方程可整理为，由题意知圆心到直线的距离为，即，即，解得．]
若圆(x－1) ＋(y＋1) ＝R 上有且仅有两个点到直线4x＋3y＝11的距离等于1，则半径R的取值范围是 （ [endnoteRef:24] ） A R＞1 B R＜3 C 1＜R＜3 D R≠2 [24: 答案：C；]
过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x ＋y ≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　[endnoteRef:25]　)
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 [25: 答案：A；]
点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x ＋y ＝4相切于A、B两点，
则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于(　[endnoteRef:26]　)
A．24 B．16 C．8 D．4 [26: 答案：C；
[解析]　∵四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小． ]

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