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《圆与方程》专题8-1 圆综合中下
（3套，6页，含答案）
已知直线L过点(－2，0)，当直线L与圆x ＋y ＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（[endnoteRef:0] ）
A B C D
[0: 答案：C；]
圆在x轴上截得的弦长为（ [endnoteRef:1] ）
(A) (B) (C) (D)
[1: 答案：C]
如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，
当水面下降1 m后，水面宽为_____[endnoteRef:2]___m.
[2: [答案]　2；
[解析]　如下图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)．
设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.　①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.　②
当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝.所以，水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2.
]
已知圆x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，那么(　[endnoteRef:3]　)
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．D＝0，E≠0，F＝0
C．D≠0，E＝0，F＝0 D．D≠0，E≠0，F＝0 [3: 答案：C；
　[与y轴切于原点，则圆心，得E＝0，圆过原点得F＝0，故选C．]]
两圆交于A(1，3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为___[endnoteRef:4]_____． [4: 答案：3；
解析　A、B两点关于直线x－y＋n＝0对称，
即AB中点(，1)在直线x－y＋n＝0上，
则有－1＋n＝0，①
且AB斜率＝－1②
由①②解得：m＝5，n＝－2，m＋n＝3．]
已知点P在圆x ＋y －8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x ＋y ＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是__[endnoteRef:5]__． [5: [答案]　3－5；
[解析]　两圆的圆心和半径分别为C1(4，2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，
∴d＝|C1C2|＝>r1＋r2＝5.∴两圆外离．
∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝3－3－2＝3－5.
]
圆：x ＋y －4x＋6y＝0和圆：x ＋y －6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线方程是（[endnoteRef:6] ）
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 [6: 答案：C]
△ABC的顶点A在圆O：x ＋y ＝1上，B，C两点在直线x＋y＋3＝0上，若|，则△ABC面积的最小值为___[endnoteRef:7]__．
[7: 答案：1；]
已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取得最小值时，过点P引圆的切线，则此切线段的长度为___[endnoteRef:8]_____．
[8: 答案：；
解析：∵2x＋4y≥2＝4，且当x＝，y＝时取得最小值，∴点P为，其到圆心的距离为，已知圆的半径为，切线段的长度为.]
圆(x－2) ＋(y－1) ＝1关于A(1，2)对称的圆的方程为 （[endnoteRef:9]） [9: 答案：；]
已知点A(－1，1)和圆C：(x－5) ＋(y－7) ＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是 ([endnoteRef:10]　)
A．6－2 B．8 C．4 D．10 [10: 答案：B；]
《圆与方程》专题8-2 圆综合中下
已知圆N的标准方程为(x－5) ＋(y－6) ＝a (a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．[endnoteRef:11]
[11: [解析]　(1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又由a>0，可得a＝；
(2)由两点间距离公式可得
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<，所以3]
已知直线x＋7y＝10把圆x ＋y ＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于(　[endnoteRef:12]　)
A. B. C．π D．2π
[12: [答案]　D；
[解析]　圆x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，设直线x＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，则圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2＝2.在△MNO中，|MN|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于
＝2π.
]
已知关于x，y的方程C：x ＋y －2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线L：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．[endnoteRef:13] [13: 答案：解　(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然当5－m>0，即m<5时，方程C表示圆．
(2)圆的方程化为
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
圆心C(1，2)，半径r＝，
则圆心C(1，2)到直线L：x＋2y－4＝0的距离d＝＝.
∵|MN|＝，∴|MN|＝.
根据圆的性质有
r2＝d2＋2，
∴5－m＝2＋2，得m＝4.
]
已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x ＋y ＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是(　[endnoteRef:14]　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在
[14: 答案：B；
　[由题意＝1 |c|＝ c2＝a2＋b2，故为直角三角形．]]
点M在圆心为C1的方程x ＋y ＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x ＋y ＋2x＋4y＋1＝0上，
求|MN|的最大值．[endnoteRef:15] [15: 答案：解　把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4．
如图，C1的坐标是(－3，1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以，
|C1C2|＝＝．
因此，|MN|的最大值是＋5．
]
与直线x＋y－2＝0和圆x ＋y －12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是____[endnoteRef:16]____． [16: [答案]　(x－2)2＋(y－2)2＝2；
[解析]　已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6，6)且与直线x＋y－2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1，1)和(3，3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2，2)，半径为，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
]
已知A＝{(x，y)|x ＋y ＝1}，B＝{(x，y)|(x－5) ＋(y－5) ＝4}，则A∩B等于(　[endnoteRef:17]　)
A． B．{(0，0)} C．{(5，5)} D．{(0，0)，(5，5)} [17: [答案]　A；
[解析]　集合A是圆O：x2＋y2＝1上所有点组成的，集合B是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝4上所有点组成的．
又O(0，0)，r1＝1，C(5，5)，r2＝2，|OC|＝5，
∴|OC|>r1＋r2＝3，
∴圆O和圆C外离，无公共点，∴A∩B＝ .
]
在平面直角坐标系中，圆M的方程为x ＋(y－4) ＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则实数m的取值范围是（[endnoteRef:18]）
A． B． C． D．
[18: 【答案】C
【解析】 依题意，圆的圆心为，半径为．若直线上至少存在一点，使得以点为圆心，2为半径的圆与圆有公共点，则成立，则，解得．故选C．
]
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－4) ＋(y－3) ＝4，点A、B在圆C上，且，
则的最小值是 [endnoteRef:19] ． [19: 【答案】
【解析】设的中点为，则．延长交圆于点，则为的中点．
∵， 设，
∴
．
]
圆C与圆(x－1) ＋y ＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（[endnoteRef:20] ）
A.(x＋1) ＋y ＝1 B.x ＋y ＝1 C.x ＋(y＋1) ＝1 D.x ＋(y－1) ＝1 [20: 答案：B； ]
自点A(－3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x ＋y －4x－4y＋7＝0相切，求光线L所在直线的方程．[endnoteRef:21] [21: 答案：4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0；
解　
如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．
设L的方程为y－3＝k(x＋3)，
则＝1，即12k2＋25k＋12＝0．
∴k1＝－，k2＝－．
则L的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0．]
《圆与方程》专题8-3 圆综合中下
已知直线ax－by＋c＝0(ax≠0)与圆x ＋y ＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形(　[endnoteRef:22]　)
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
[22: [答案]　B；
[解析]　圆心O(0，0)到直线的距离d＝＝1，
则a2＋b2＝c2，即该三角形是直角三角形．
]
若直线ax＋by＝1与圆x ＋y ＝1相交，则点P(a，b)的位置是(　[endnoteRef:23]　)
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．都有可能
[23: 答案：B；
　[由题意<1 a2＋b2>1，故P在圆外．]]
已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线L1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线L与圆A相交
于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线L的方程．（[endnoteRef:24]）
[24: [解析]　(1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线L1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线L与x轴垂直时，
则直线L的方程为x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线L与x轴不垂直时，设直线L的斜率为k，
则直线L的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋(|MN|)2＝r2.
又∵|MN|＝2，r＝2，
∴|AQ|＝＝1，
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线L的方程为y－0＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.
综上所得，直线L的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
]
圆x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，则D、E、F应满足的条件是_[endnoteRef:25]____________．
[25: 答案：]
在坐标平面内，与点A(1，2)的距离为1，且与点B(3，1)的距离为2的直线共有( [endnoteRef:26] )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 [26: 答案：B；]
两圆x ＋y ＝16与(x－4) ＋(y＋3) ＝r (r>0)在交点处的切线互相垂直，则R＝(　[endnoteRef:27]　)
A．5 B．4 C．3 D．2 [27: [答案]　C；
[解析]　设一个交点P(x0，y0)，则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，
∵两切线互相垂直，
∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16.
∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.
]
若圆(x－a) ＋(y－a) ＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a的取值范围是(　[endnoteRef:28]　)
A. B. C.∪ D. [28: [答案]　C；
[解析]　圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的圆心C(a，a)，半径r＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O，半径R＝1，则这两个圆相交，圆心距d＝＝|a|，则|r－R|所以－]
圆C的方程为x ＋y ﹣8x＋15＝0．若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（　[endnoteRef:29]　） A.0 B. C. D.﹣1
[29: 答案：B；
【考点】直线与圆的位置关系．
【解析】解：∵圆C的方程为x2＋y2﹣8x＋15=0，
∴整理得：（x﹣4）2＋y2=1，可得圆心为C（4，0），半径r=1．
又∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴点C到直线y=kx﹣2的距离小于或等于2，可得，
化简得：3k2﹣4k≤0，解之得0≤k≤，可得k的最大值是．
]
已知圆C方程为(x－1) ＋y ＝r (r>0)，若p：1≤r≤3；q：圆上至多有3个点到直线的距离为1，则p是q的（ [endnoteRef:30] ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
[30: 【答案】A
【解析】圆心到直线的距离，当时，圆上恰有一个点到直线的距离为，当时，圆上有两个点到直线的距离为，当时，圆上有三个点到直线的距离为，所以；若圆上不存在点到直线的距离为时，，所以，所以是的充分不必要条件.
]
若圆C与圆(x＋2) ＋(y－1) ＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是____[endnoteRef:31]____． [31: 答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1；
[解析]　圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2，1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.]
一束光线以A(－1，1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2) ＋(y－3) ＝1上的最短路程为 [endnoteRef:32] 。 [32: 答案：4；]

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