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《圆与方程》专题7-1 求圆方程——涉交线、切线、圆圆
（4套，5页，含答案）
知识点：
线圆相交、相切，圆圆关系综合分析： 操作步骤： （1）设圆方程，求出a，b，r即可； （2）根据题目条件，列出三条式子，联立成方程组；
已知直线过某点，直接把该点代入，得； 已知圆心（a，b）过某直线Ax＋By＋C=0，直接把圆心坐标代入直线方程，得Aa＋Bb＋C=0； 已知圆直线相交，马上构造钻石三角形，利用勾股定理计算三边长度，然后然后令圆心到直线距离等于钻石三角形的一直角边，列出式子； 已知圆与直线相切，马上令圆心到直线的距离等于半径，列出式子； 已知圆圆内切，令圆心距离等于半径之差，已知圆圆外切，令圆心距离等于半径之和；
（3）解出a，b，r；
典型例题：
经过两点P(－2，4)，Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程。（[endnoteRef:0]） [0: 答案：；]
一个圆经过点P(2，－1)和直线x－y＝1相切且圆心在直线y＝－2x上，求它的方程。（[endnoteRef:1]） [1: 答案：；
设所求圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2由题将②③代入①得：
解得所求圆的方程为：]
求过点A(0，6)且与圆C：x ＋y ＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．[endnoteRef:2] [2: 答案：(x－3)2＋(y－3)2＝18；
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则由①②③得．∴(x－3)2＋(y－3)2＝18．
]
台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，
城市B在A的正东40 km外，B城市处于危险区内的时间为(　[endnoteRef:3]　)
A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h [3: [答案]　B；
[解析]　建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为＝1(h)．]
随堂练习1：
已知圆心在x轴上，半径是5，且以点A(5，4)为中点的弦长为，则这个圆的方程是___[endnoteRef:4] _
[4: 答案：； ；]
求过点A(1，2)和B(1，10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程。（[endnoteRef:5]） [5: 答案：；； ]
已知圆A：x ＋y ＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线L：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．[endnoteRef:6] [6: 答案：；
解　设圆B的半径为r，因为圆B的圆心在直线l：y＝2x上，所以圆B的圆心可设为(t,2t)，
则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.①
因为圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，②
所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③
因为圆B平分圆A的周长，所以圆A的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x＝－1，y＝－1代入方程③并整理得r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，所以当t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是2＋2＝.]
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[endnoteRef:7] [7: 答案：不会；
解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0．圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离
d＝＝，而半径r＝3，∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．]
随堂练习2：
已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为，求圆的方程。（[endnoteRef:8]） [8: 答案：；；]
由直线y＝x＋2，y＝－x＋4及x轴围成的三角形的内切圆的圆心是（　[endnoteRef:9]　）
(A) (B) (C) (D)
[9: 答案：A；]
若过点（1，2）总可以作两条直线和圆x ＋y ＋kx＋2y＋k －15＝0相切，
则实数k的取值范围是____________[endnoteRef:10]___
（配方： ；） [10: 答案：或；]
若⊙O：x ＋y ＝5与⊙O1：(x－m) ＋y ＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为____[endnoteRef:11]____．
[11: 答案：4；
解析　如图所示， 在Rt△OO1A中，OA＝，O1A＝2，∴OO1＝5，∴AC＝＝2，∴AB＝4．]
《圆与方程》专题7-2 求圆方程——涉交线、切线、圆圆
已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线L：y＝x－1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为（　[endnoteRef:12]　）
A．（x＋1） ＋y ＝4 B．（x－3） ＋y ＝4 C．（x－1） ＋y ＝4 D．（x＋3） ＋y ＝4
[12: 答案：B；
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．
【分析】设圆心C的坐标为（a，0），a＞0，求得圆心到直线l：y=x－1的距离d的值，再根据半径r=|a－1|=，解得 a的值，可得圆心
坐标和半径，从而求得圆C的标准方程．
【解答】解：设圆心C的坐标为（a，0），a＞0，则圆心到直线l：y=x－1的距离为 d==．
由于半径r=|a－1|=，解得 a=3，或 a=－1（舍去），
故圆C的圆心为（3，0），半径为3－1=2，故圆C的标准方程为（x－3）2+y2=4，
故选B．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．
]
有一圆C与直线L：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的标准方程．[endnoteRef:13] [13: 答案：(x－5)2＋2＝；
解　设所求圆的圆心为O，则OA⊥l，又设直线OA与圆的另一交点为P．所以直线OA的斜率为－．故直线OA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0．又因为kAB＝＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝，则直线PB的方程为x－2y－1＝0．
解方程组得
即点P的坐标为(7,3)．因为圆心为AP的中点，
半径为OA＝，
故所求圆的标准方程为(x－5)2＋2＝．]
已知圆A的圆心在曲线y ＝－18x上，圆A与y轴相切，又与另一圆 (x＋2) ＋(y－3) ＝1相外切，求圆A的方程.（[endnoteRef:14]）
[14: 答案：或；
解：设圆A圆心坐标为，半径为r，依题有
解之得：或
∴ 所求圆A的方程为：或]
有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B相距10 km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？
(仅从运费的多少来考虑)[endnoteRef:15] [15: 答案：(x＋)2＋y2＝()2；
在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买；
解　以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．
|AB|＝10，所以A(－5，0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则A地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，即3＝，
整理得(x＋)2＋y2＝()2.①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买．
]
《圆与方程》专题7-3 求圆方程——涉交线、切线、圆圆
已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．（[endnoteRef:16]） [16: 答案：x2＋y2－2x＋4y－20＝0；
[解析]　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，
代入圆的一般方程，得
设圆在x轴上的截距为x1、x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1、y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.　③
由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
规律总结：在涉及圆的方程中，若已知圆心和半径之一，设标准方程较方便；若已知圆过定点，则设一般方程较方便．
]
已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6，1)，求这个圆的方程．[endnoteRef:17] [17: 答案：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112；
解　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)．
由题意得．
解得a＝3，b＝1，r＝3或a＝111，b＝37，r＝111．
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112．
]
动圆与定圆x ＋y －6x＝0相外切，又与y轴相切，则动圆圆心的轨迹方程是 [endnoteRef:18] .
[18: 答案：或； ]
如图所示，已知直线L的解析式是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点．一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线L相切时，求该圆运动的时间．[endnoteRef:19]
[19: 答案：6 秒或16 秒；
[解析]　设运动的时间为t s，则t s后圆心的坐标为(0,1.5－0.5t)．
∵圆C与直线l：y＝x－4，即4x－3y－12＝0相切，∴＝1.5.
解得t＝6或16.
即该圆运动的时间为6 s或16 s.]
《圆与方程》专题7-4 求圆方程——涉交线、切线、圆圆
已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线L：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，
则圆C的标准方程为_____[endnoteRef:20]_______． [20: 答案：(x－3)2＋y2＝4；]
已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．（[endnoteRef:21]） [21: 答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338；
[解析]　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
∵圆心在直线2x＋y＝0上，
∴b＝－2a，即圆心为C(a，－2a)．
又∵圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2[(2－a)2＋(－1＋2a)2]，解得a＝1或a＝9，∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝13.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.]
求与已知圆x ＋y －7y＋10＝0相交，其公共弦平行于直线2x－3y－1＝0，
且过点A(－2，3)，B（1，4）的圆的方程.（[endnoteRef:22]） [22: 答案：； ]
设有一个半径为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东，而乙向北前进，甲出村后不久，改变前进方向．沿着相切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇，设甲、乙两人的速度都一定，其比为3:1，此二人在何处相遇？（[endnoteRef:23]） [23: 答案：乙向北走3.75 km时两人相遇；
[解析]　如图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇．设D，C两点的坐标分别为(a,0)，(0，b)，其中a＞3，b＞3，则CD方程为＋＝1.设乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，得解得∴乙向北走3.75 km时两人相遇．]

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