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《圆与方程》专题3-1 圆交线、圆切线
（4套，6页，含答案）
知识点：
直线与圆相交： 求弦长及弦长的应用问题，常用垂径定理及勾股定理，即一出现
线圆相交，马上构造钻石三角形，如右图，知道其中两个量，求第三个量。
知道交线长度求直线方程：构造直角三角形，计算圆心到直线的距离d；
直线过定点，设点斜式方程，代入点线距离公式，令其距离等于d，解出k即可。 弦长公式：（暂作了解，无需掌握） （3）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
典型例题1：
直线x－y＋3＝0被圆（x＋2） ＋（y－2） ＝2截得的弦长等于（ [endnoteRef:0] ）
A. B. C.2 D. [0: 答案：D；]
已知直线L：kx－y－3k＝0与圆M：x ＋y －8x－2y＋9＝0.
（1）求证：直线L与圆M必相交；
（2）当圆M截直线L所得弦长最小时，求k的值.
（配方：(x－4) ＋(y－1) ＝8；[endnoteRef:1]）
[1: 答案：直线y＝k(x－3)过（3，0）；y＝－x＋3；]
随堂练习1：
圆x ＋y ＝4截直线所得的弦长是（ [endnoteRef:2] ）
A.2 B.1 C. D. [2: 答案：A；]
直线截圆(x－1) ＋y ＝4得的劣弧所对的圆心角是（ [endnoteRef:3] ）
A. B. C. D. [3: 答案：C；]
已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2) ＋(y＋3) ＝9相交于E，F两点，圆心为点C，
则△CEF的面积等于____[endnoteRef:4]____．
[4: 答案：2；
[解析]　∵圆心C(2，－3)到直线的距离为d＝＝，又R＝3，∴|EF|＝2＝4.
∴S△CEF＝|EF|·d＝2.
]
直线y＝kx＋1与圆x ＋y －2y＝0的位置关系是（　[endnoteRef:5]　）
A.相交 B．相切 C．相离 D．取决于k的值 （配方得：x ＋(y－1) ＝1；） [5: 答案：A；]
典型例题2：
若点P(1，1)为圆(x－3) ＋y ＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为(　[endnoteRef:6]　)
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 [6: 答案：D；
[解析]　圆心C(3,0)，kPC＝－，又点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴kMNkPC＝－1，
∴kMN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
]
求过点P（6，－4）且被圆x ＋y ＝20截得长为的弦所在的直线方程．（[endnoteRef:7]） [7: 答案：； ；]
过点M(0，4)，且被圆(x－1) ＋y ＝4截得的线段长为2的直线方程为______[endnoteRef:8]______． [8: 答案：x＝0或15x＋8y－32＝0；
解析　设直线方程为x＝0或kx－y＋4＝0．当直线方程为x＝0时，弦长为2符合题意；当直线方程为kx－y＋4＝0时，d＝＝＝1，解得k＝－，因此直线方程为15x＋8y－32＝0．]
随堂练习2：
设直线L截圆x ＋y －2y＝0所得弦AB的中点为(－，)，则直线L的方程为_____；|AB|＝__[endnoteRef:9]___. [9: 答案：x－y＋2＝0　；
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋y－2y1＝0，x＋y－2y2＝0，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)－2(y1－y2)＝0，kAB＝＝1.故L的方程为y－＝1·(x＋)，即x－y＋2＝0.又圆心为(0,1)，半径r＝1，故|AB|＝.
]
过点且被圆x ＋y ＝25截得弦长为8的直线的方程为 [endnoteRef:10] . [10: 答案：x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0； ]
已知直线L：x＋2y＋k＋1＝0被圆C：x ＋y ＝4所截得的弦长为4，则k是（ [endnoteRef:11] ）
A．－1 B．－2 C． 0 D．2 [11: 答案：A；]
知识点3：
圆切线： ①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点 如定点，圆：，[点P在圆外] 第一步：设切线L方程 第二步：通过d＝r 得到k，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点P（1，1）作圆x ＋y －4x－6y＋12＝0的切线，求切线方程.
答案：3x－4y＋1＝0和x＝1 ③求切线长：利用基本图形， 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程
典型例题3：
圆(x－a) ＋(y－b) ＝r (r＞0)与两坐标轴都相切的条件是（ [endnoteRef:12] ）
A、a ＋b ＝r B、a＝b＝r C、a ＝b ＝r D、|a|＝r或 |b|＝r [12: 答案：C；]
过点P(－1，6)且与圆(x＋3) ＋(y－2) ＝4相切的切线长为 ；切线方程是 [endnoteRef:13] ； [13: 答案：4；x＝－1，3x－4y＋27＝0； ]
随堂练习3：
若直线3x＋4y＋k＝0与圆x ＋y －6x＋5＝0相切，则k的值等于（[endnoteRef:14] ）
A、1 B、±10 C、1或－19 D –1或19（配方：(x－3) ＋y ＝2 ）
[14: 答案：C；]
已知圆方程是(x－a) ＋(y－b) ＝r ，分别根据下列条件，写出a、b、r满足的条件：
(1)若圆与y轴相切，则 .(2)若圆与两坐标轴都相切，则 [endnoteRef:15] . [15: 答案：(1) .(2)； ]
自点A(－1，4)作圆(x－2) ＋(y－3) ＝1的切线，则切线长为（ ），切线方程为： [endnoteRef:16] 。
[16: 答案：3；；； ]
过点P(2，3)引圆x ＋y －2x＋4y＋4＝0的切线，其方程是(　[endnoteRef:17]　)
A．x＝2 B．12x－5y＋9＝0 C．5x－12y＋26＝0 D．x＝2和12x－5y－9＝0
[17: 答案：D；
[解析]　点P在圆外，故过P必有两条切线，∴选D.]
典型例题4：
由动点P向圆x ＋y ＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，
则动点P的轨迹方程为________[endnoteRef:18]__________． [18: 答案：x2＋y2＝4；]
随堂练习4：
过直线x＋y－2＝0上点P作圆x ＋y ＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是___[endnoteRef:19]_____． [19: 答案：(，)；
[解析]　本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，由|PO|＝2，由可得.
]
过原点O作圆x ＋y －6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为____[endnoteRef:20]____． [20: 答案：4；]
《圆与方程》专题3-2 圆交线、圆切线
直线3x－4y－4＝0被圆(x－3) ＋y ＝9截得的弦长为（[endnoteRef:21] ）
(A) (B)4 (C) (D)2
[21: 答案：C；]
若P（2，－1）为(x－1) ＋y ＝25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（[endnoteRef:22] ）
A. x－y－3＝0 B. 2x＋y－3＝0 C. x＋y－1＝0 D. 2x－y－5＝0 [22: 答案：A；]
设直线y＝x＋2a与圆C：x ＋y －2ay－2＝0相交于A，B两点，若，
则圆C的面积为 [endnoteRef:23] [23: 答案：；
解析：此题考察直线与圆的位置关系，点到直线的距离等公式；直线方程的一般式可以写作：，圆的标准方程为：，则圆心到直线的距离为：，利用勾股定理有：，解得，所以半径为，所以面积为
]
某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)[endnoteRef:24]
[24: 答案：12－24；
[分析]　建系→求点的坐标→求圆的方程→求A2P2的长
[解析]　如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为A，B，P在此圆上，故有
解得
故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.
将点P2的横坐标x＝6代入上式，解得
y＝－24＋12.
答：支柱A2P2的长约为12－24.
[点评]　在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．]
过点(－1，－2)的直线L被圆x ＋y －2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线L的斜率为____[endnoteRef:25]____．
[25: 答案：1或 ；
【解析】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k，则直线L的方程为y＋2＝k.又圆的方程为2＋2＝1，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝＝＝，解得k＝1或.
]
已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x ＋y ＝2}，那么P∩Q为_____[endnoteRef:26]___． [26: 答案：{(1,1)}；
解析　解方程组得x＝y＝1．
]
求过点P(－1，5)的圆(x－1) ＋(y－2) ＝4的切线方程．[endnoteRef:27]
[27: 答案：x＝－1或5x＋12y－55＝0；
解　①当斜率k存在时，
设切线方程为y－5＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋5＝0．
由圆心到切线的距离等于半径得＝2，
解得k＝－，∴切线方程为5x＋12y－55＝0．
②当斜率k不存在时，切线方程为x＝－1，此时与圆正好相切．
综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－55＝0．]
过原点的直线与圆x ＋y ＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ [endnoteRef:28]）
A. B. C. D.（配方：(x＋2) ＋y ＝1；） [28: 答案：C；]
直线L与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x ＋y －18x＋45＝0相切，则直线L的方程是(　[endnoteRef:29]　)
A．4x－3y－6＝0 B．4x－3y－66＝0
C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0 D．4x－3y－15＝0 [29: 答案：C；
　[设直线方程为4x－3y＋m＝0，由直线与圆相切得m＝－6或－66．]]
《圆与方程》专题3-3 圆交线、圆切线
圆x ＋y －4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于(　[endnoteRef:30]　)
A． B． C．1 D．5 [30: 答案：A；
　[分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得．]]
设圆x ＋y －4x－5＝0的弦AB的中点P(3，1)，则直线AB的方程为[endnoteRef:31] ；
[31: 答案：；]
已知圆x ＋y ＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，
求实数m的值．[endnoteRef:32] [32: 答案：m＝3；
[解析]　设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．
由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0.①
又(x1，y1)、(x2，y2)是方程组
的实数解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0②的两个根，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.③
∵P、Q是在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝(3－x1)·(3－x2)
＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．
将③代入，得y1y2＝.④
将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ>0成立，
∴m＝3.
]
一辆卡车宽2．7米，要经过一个半径为4．5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过(　[endnoteRef:33]　) A.1．4米 B.3．0米 C.3．6米 D.4．5米 [33: 答案：C；
　[可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：OD＝＝3．6(米)．]
]
直线L经过点P(5，5)，且和圆C：x ＋y ＝25相交，截得的弦长为4，求L的方程．[endnoteRef:34] [34: 答案：x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0；
解　圆心到L的距离d＝＝，显然L存在斜率．
设L：y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5－5k＝0，d＝．
∴＝，∴k＝或2．∴L的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．
]
若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x ＋y －2x＝0相切，则a的值为（[endnoteRef:35] ）
A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1 [35: 答案：D；]
[endnoteRef:36]求过点A(2，4)向圆x ＋y ＝4所引的切线方程；切线长度。
[36: 答案：x＝2或3x－4y＋10＝0；
解：显然为所求切线之一；另设
而，或为所求。]
将圆x ＋y ＝1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的
方程是________，若过点（3，0）的直线L和圆C相切，则
直线L的斜率为_____________.（[endnoteRef:37]）
[37: 答案：；； ]
已知A（－4，0），B（2，0）以AB为直径的圆与y轴的负半轴交
于C，则过C点的圆的切线方程为[endnoteRef:38] . [38: 答案：；]
《圆与方程》专题3-4 圆交线、圆切线
设A，B为直线y＝x与圆x ＋y ＝1的两个交点，则|AB|等于(　[endnoteRef:39]　)
A．1 B. C. D．2 [39: 答案：D；]
已知圆x ＋y ＝9的弦PQ的中点为M(1，2)，则弦PQ的长为____[endnoteRef:40]____． [40: 答案：4；]
圆的方程为x ＋y －6x－8y＝0，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为[endnoteRef:41]_____ __
[41: 答案：；]
已知直线L过点P（1，1）， 并与直线L1：x－y＋3＝0和L2：2x＋y－6＝0分别交于点A、B，
若线段AB被点P平分，求：
（Ⅰ）直线L的方程；
（Ⅱ）以O为圆心且被L截得的弦长为的圆的方程．（[endnoteRef:42]） [42: 答案：，；；；]
一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　[endnoteRef:43]　) A．1.4m B．3.5m C．3.6m D．2.0m [43: 答案：B；
[解析]　圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，∴AB＝0.8，
∴弦心距OB＝≈3.5.]
将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x ＋y ＋2x－4y＝0 相切，
则实数λ的值为（ [endnoteRef:44] ）
（A）－3或7 （B）－2或8 （C）0或10 （D）1或11 [44: 答案：A；]
过点P(1，1)作圆x ＋y －4x－6y＋12＝0的切线，求切线方程.（[endnoteRef:45]）
[45: 答案：和； ]
已知圆x ＋y ＝1，则y轴上截距为的圆的切线方程是（ [endnoteRef:46] ）切线长等于_______；
A.　　 B.
C.或　　 D.或　 [46: 答案：C；]
与圆x ＋y －4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有(　[endnoteRef:47]　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 [47: 答案：C；
　[需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y＝kx或＋＝1，由d＝r求得k＝±1，a＝4．]]

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