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《平面向量》专题2-1 线性运算原理
（4套，10页，含答案）
知识点（初学用）：
向量加法——平行四边形法则和三角形法则： 1．向量的加法法则 (1)三角形法则 如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则． 对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 答案：(1)　a＋b　　0　a　a　(2)OA　OB　平行四边形　； 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝______________. (2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________. 答案：(1)b＋a　(2)a＋(b＋c)； 行路法分解向量： 分解向量的时候，可以理解成自己行路，当行路方向与已知向量方向相同，则加上该向量，反之为减。
答案：（[endnoteRef:0] [endnoteRef:1]） [0: 答案：(1)　a＋b　　0　a　a　(2)OA　OB　平行四边形　；] [1: 答案：(1)b＋a　(2)a＋(b＋c)；]
典型例题1：
在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　[endnoteRef:2]　)
A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D. [2: [答案]　D；
[解析]　＋＝.
]
已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹角是60°，求力F1、F2的大小．（[endnoteRef:3]） [3: [解析]　设表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F，由题意易得||＝||cos60°＝5，||＝||sin60°＝5，
因此，力F1，F2的大小分别为5N和5N.
]
随堂练习1：
a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　[endnoteRef:4]　)
A．a∥b，且a与b方向相同 B．a、b是共线向量 C．a＝－b D．a、b无论什么关系均可 [4: [答案]　A；
[解析]　当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
]
如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　[endnoteRef:5]　)
A.＝，＝ B.＋＝ C.＋＝＋ D.＋＋＝ [5: 答案：C；]
如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则 |＋＋| 等于(　[endnoteRef:6]　)
A．1 B．2 C．3 D．2
[6: 答案：B；
　[|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.]]
已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示(　[endnoteRef:7]　)
A．向东南航行 km B．向东南航行2 km C．向东北航行 km D．向东北航行2 km [7: 答案：A；]
知识点2（初学用）：
向量的减法： (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________.如图所示． 几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝____[endnoteRef:8]____. [8: 答案：(1)相反向量　(2)　(3)始点　终点　；] 记忆方法： 终点减起点；
典型例题2：
已知下列各式：（1） （2）（3）
（4），（5） 其中结果为的个数为 [endnoteRef:9] [9: 答案：3个（1，4，5）]
边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　[endnoteRef:10]　) A．1 B．2 C. D. [10: 答案：D；
[如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则－＝＋
＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝.]
]
在如图四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　[endnoteRef:11]　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c [11: 答案：A；]
如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____[endnoteRef:12]___
(用a，b，c表示)．
[12: 答案：a－b＋c；
解析　＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
]
随堂练习2：
已知的取值范围是 [endnoteRef:13] [13: 答案：]
如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝（[endnoteRef:14] ）
A．0 B. C. D. [14: [答案]　B；
[解析]　连结CF，取CF中点O，连结OE，CE.
则＋＋＝(＋)＋＝.
]
在水流速度大小为10km/h的河中，如果要使船实际以10km/h大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．[endnoteRef:15]
[15: [解析]　如图所示，OA表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行速度的方向，由＝＋易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，
∴||＝20，∴∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．
]
化简(－)－(－)的结果是___[endnoteRef:16]_____． [16: 答案：0；
解析　方法一　(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
方法二　(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
]
如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则 －－＋＋＝__[endnoteRef:17]___.
[17: 答案：；]
如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则正确的等式是（ [endnoteRef:18]）
① ② ③ ④
[18: 答案：3，4]
知识点3：
向量数乘： 1．向量数乘运算 实数λ与向量的积是一个_______，这种运算叫做向量的________，记作_______，其长度与方向规定如下： (1)|λ|＝__________. (2)λ (≠)的方向； 特别地，当λ＝0或时，0＝________或λ＝________.
2．向量数乘的运算律 (1)λ(μ)＝________. (2)(λ＋μ)＝____________. (3)λ(＋)＝____________. 特别地，有(－λ)＝____________＝________；λ(－)＝____________. 3．向量的线性运算 向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量、，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1±μ2)＝__________________. 答案：向量　数乘　λ　(1)|λ|||　(2)λ>0　λ<0　　； 答案：(1)(λμ)　(2)λ＋μ　(3)λ＋λ　－(λ)　λ(－)　λ－λ； 答案：加　减　数乘　λμ1±λμ2； 行路法分解向量（同向量加减）： 分解向量的时候，可以理解成自己行路，当行路方向与已知向量方向相同，则加上该向量，反之为减。
答案：（[endnoteRef:19] [endnoteRef:20] [endnoteRef:21]） [19: 答案：向量　数乘　λa　(1)|λ||a|　(2)λ>0　λ<0　0　0；] [20: 答案：(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb　－(λa)　λ(－a)　λa－λb；] [21: 答案：加　减　数乘　λμ1a±λμ2b；]
典型例题3：
已知任意两个非零向量与，试作，，，则下列各式成立的是（ [endnoteRef:22] ） A.= B.=2 C.=2 D.=3 [22: 答案：B]
在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝____[endnoteRef:23]____. [23: [答案]　2；
[解析]　本题考查向量加法的几何意义．
＋＝＝2，∴λ＝2.
]
随堂练习3：
若3（）=，则等于 ( [endnoteRef:24] ) [24: 答案：]
已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝(　[endnoteRef:25]　)
A．λ(＋)　λ∈(0,1) B．λ(＋)　λ∈(0，)
C．λ(－)　λ∈(0,1) D．λ(－)　λ∈(0，) [25: [答案]　A；
[解析]　设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平分线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
]
设向量若与不共线，且，则（[endnoteRef:26] ）
A． B． C． D． [26: 答案：C；]
典型例题3:
如图所示，△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设=a，=b，
用a,b分别表示向量，，，，，. （[endnoteRef:27]）
[27: 答案：，，，，，]
如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝__[endnoteRef:28]___.(用a、b表示)．
[28: [答案]　(b－a)；
[解析]　＝＋＋
＝－＋＋
＝－－＋(＋)
＝－b－a＋(a＋b)
＝b－a＝(b－a)．
]
设D为△ABC所在平面内一点，则（ [endnoteRef:29] ）
[29: 【答案】A
【解析】由题知=，故选A.
]
随堂练习3:
如图八所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，=，=a，=b，用a、b表示
向量、、、、； （[endnoteRef:30]）
[30: 答案：，，，，]
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a、b表示、，.[endnoteRef:31]
[31: [解析]　如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则＝＝＝a，
＝－＝－＝b－a，
＝－＝－－
＝－－
＝a－b.
＝a，＝b－a，＝a－b.
]
已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、b表示为(　[endnoteRef:32]　) A.(4a＋5b) B.(9a＋7b) C.(2a＋b) D.(3a＋b)
[32: [答案]　A；
[解析]　利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定理求解．
∵＝＋，＝＋
＝＋＝＋＝.
而＝b－a，∴＝b－a，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
]
如图，已知点D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点，求证：．
知识点4（初学用）：
共线： 共线向量定理 向量 (≠)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 答案：＝λ； 简单的分析方法： 让两个基底向量的系数成比例即可。
答案：（[endnoteRef:33]） [33: 答案：b＝λa；
]
典型例题4：
两个非零向量a、b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．（[endnoteRef:34]） [34: 答案：(1)证明　∵A＝A＋B＋C＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A，∴A、B、D三点共线．
(2)解　∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．
∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，
∴ k＝±.
]
如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，
求证：M、N、C三点共线．（[endnoteRef:35]）
[35: [解析]　在△ABD中，＝－，因为＝a，＝b，所以＝b－a.
∵N点是BD的三等分点，∴＝＝(b－a)．
∵＝b，∴＝－＝(b－a)－b＝－a－b.　①
∵M为AB中点，∴＝a，
∴＝－＝－(＋)＝－＝－a－b.　②
由①②可得：＝.
由共线向量定理知：∥，又∵与有公共点C，∴C、M、N三点共线．
]
知识点5：
基底向量： 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________
实数λ1，λ2，使a＝____________________________. (2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 另一种表述： 用来表示平面内任意向量的两个已知向量叫做基底向量。只有不共线的两个向量才能组成一组基底向量。 答案：(1)不共线　任意　有且只有一对　λ1e1＋λ2e2　(2)不共线　所有；
答案：（[endnoteRef:36]） [36: 答案：(1)不共线　任意　有且只有一对　λ1e1＋λ2e2　(2)不共线　所有；]
典型例题5：
设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1.
其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是____[endnoteRef:37]____．(写出所有满足条件的序号) [37: 答案：①②；
解析　对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．]
随堂练习5（共线，基底）：
设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　[endnoteRef:38]　)
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ [38: 答案：D；
　[当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.∴n＝2m，此时，m，n共线．]]
已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　[endnoteRef:39]　)
A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D [39: 答案：C；
　[∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A、B、D三点共线．]]
已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)证明四边形ABCD为梯形．[endnoteRef:40] [40: 答案：[解析]　(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，即＝2，
所以根据数乘向量的定义，与同方向，且长度为的长度的2倍，
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．]
下面三种说法中，正确的是(　[endnoteRef:41]　)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量．
A.①② B．②③ C．①③ D．①②③ [41: 答案：B；]
若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　[endnoteRef:42]　)
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 [42: 答案：D；]
随堂练习5（共线）：
已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，
且＝x＋y，则x＋y＝____[endnoteRef:43]____.
[43: 答案：1；
解析　∵A，B，C三点共线，∴ λ∈R使＝λ.
∴－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
]
已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　[endnoteRef:44]　)
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上 [44: 答案：D；
　[＋＋＝－，∴＝－2，∴P在AC边上．]
]
《平面向量》专题2-2 线性运算原理
如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　[endnoteRef:45]　)
A. B. C. D.
[45: 答案：C；
　[＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.]]
若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　[endnoteRef:46]　)
A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ [46: 答案：B；
[解析]　由向量的减法的定义求解．]
在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．[endnoteRef:47] [47: 答案：船航行的速度大小为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°.；
解　
如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．因为||＝4 ，||＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，
即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.
所以||＝8 ，∠BAD＝120°.
即船航行的速度大小为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°.
]
一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　[endnoteRef:48]　) A．6 B．2 C．2 D．2 [48: 答案：C；
　[因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1＋F2|2＝|F1|2＋|F2|2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2.]
]
如图三，在四边形ABCD中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= [endnoteRef:49] .
[49: 答案：AC；BD；CA；0；]
如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是(　[endnoteRef:50]　)
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q C．r＝p－q D．r＝－q＋2p [50: 答案：A；
[解析]　∵＝＋，＝－3＝3，
∴＝.
∴＝＋＝＋(－)．
∴r＝q＋(r－p)．
∴r＝－p＋q.
]
在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为(　[endnoteRef:51]　) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 [51: 答案：C；
[解析]　∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，即＝2，
∴AD∥BC且AD≠BC，故选C.]
若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　[endnoteRef:52]　)
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 [52: 答案：D；]
《平面向量》专题2-3 线性运算原理
在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝___[endnoteRef:53]_____. [53: 答案：0；
解析　注意＋＝0，＋＝0.]
若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　[endnoteRef:54]　)
A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13，) [54: 答案：C；
[解析]　由于＝－，则有||－||≤||≤||＋||，即3≤||≤13.]
下列等式中不正确的是(　[endnoteRef:55]　)
A．a＋0＝a　 B．a＋b＝b＋a C．|a＋b|＝|a|＋|b| D.＝＋＋ [55: 答案：C；
[解析]　当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.]
若菱形的边长为，则_____[endnoteRef:56]_____。 [56: 答案：2；]
如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝___[endnoteRef:57]___.(填写正确的序号)
①－＋ ②－－ ③－ ④＋ [57: 答案：①；
解析　－＋＝＋＝＋＝.
]
已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足 ＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)证明四边形ABCD为梯形．[endnoteRef:58] [58: 答案： ＝－8e－2f，证明略；
[解析]　(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
即＝2，
所以根据数乘向量的定义，与同方向，且长度为的长度的2倍，
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
]
如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有(　[endnoteRef:59]　)
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．② [59: 答案：B；
　[由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]]
作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为___[endnoteRef:60]____． [60: [答案]　；
[解析]　|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，
所以|F1＋F2|＝.
]
在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，
则船实际航行的速度的大小为____[endnoteRef:61]____． [61: 答案：4 km/h
解析　如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．
则v0＋v1表示船实际航行速度，
∵|v0|＝4，|v1|＝8，
∴解直角三角形|v0＋v1|＝＝4.
]
《平面向量》专题2-4 线性运算原理
已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于____[endnoteRef:62]____． [62: 答案：2；
解析　|＋＋|＝|2|＝2||＝2.
]
化简以下各式：①＋＋； ②－＋－； ③－＋； ④＋＋－.
结果为零向量的个数是(　[endnoteRef:63]　) A．1 B．2 C．3 D．4 [63: 答案：D；
[解析]　①＋＋＝＋＝－＝0；
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；
③－＋＝(＋)－＝－＝0；
④＋＋－＝＋＋＝－＝0.]
如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝(　[endnoteRef:64]　)
A．0 B. C. D. [64: 答案：B；
[解析]　连结CF，取CF中点O，连结OE，CE.
则＋＋＝(＋)＋＝.
]
如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.[endnoteRef:65]
[65: 答案：8；
[解析]　如图，b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝＋＝，
则|a－b－c|＝||＝＝8.
]
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别
是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a、b表示、，.[endnoteRef:66]
[66: 答案：＝a，＝b－a，＝a－b；
[解析]　如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则＝＝＝a，
＝－＝－＝b－a，
＝－＝－－
＝－－
＝a－b.
]
设两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？[endnoteRef:67] [67: 答案：λ＝－2μ，就能使d与c共线；
[解析]　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，
即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2
＝2ke2－9ke2.由，
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
]
下列各组向量中：①, ②, ③,
其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ [endnoteRef:68] ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③ [68: 答案：A；]
速度|v1|＝10 m/s，|v2|＝12 m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是(　[endnoteRef:69]　)
A．2 m/s B．10 m/s C．12 m/s D．2m/s [69: [答案]　D；
[解析]　|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2
＝100＋2×10×12cos60°＋144＝364.
∴|v|＝2(m/s)．
]
一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　[endnoteRef:70]　) A．2 B．2 C．2 D．6 [70: [答案]　A；
[解析]　∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，
∴|F3|＝|－F1－F2|＝
＝
＝＝2.
]

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