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《平面向量》专题3－1 线性运算基础
（10套，6页，含答案）
知识点：
向量运算： 1.＋＝ 2. －＝ 向量坐标运算： 1．平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则_____________叫作向量a的坐标，____________叫作向量的坐标表示． (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝_____， (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_____. 答案：(1)互相垂直　(2)单位向量　xi＋yj　有序数对(x，y)　a＝(x，y)　(3)(x，y)　(x2－x1，y2－y1)； 2．平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__________． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝__________． (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________． 答案：(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(2)(x1－x2，y1－y2)　(3)(λx，λy)；
答案：（[endnoteRef:0] [endnoteRef:1]） [0: 答案：(1)互相垂直　(2)单位向量　xi＋yj　有序数对(x，y)　a＝(x，y)　(3)(x，y)　(x2－x1，y2－y1)；] [1: 答案：(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(2)(x1－x2，y1－y2)　(3)(λx，λy)；]
典型例题1：
如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于 (　[endnoteRef:2]　)
A. B. C. D.
[2: 答案：C；
　[＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.]]
已知＝（3，1）， ＝（－2，5）则32＝ ( [endnoteRef:3] ) [3: 答案：]
已知，则　　　[endnoteRef:4]　　　　 [4: 答案：]
已知＝(1,0)，＝(1,1)，＝(－1,2)，求λ和μ，使＝λ+μ（[endnoteRef:5]） [5: 答案：，μ＝2，]
随堂练习1：
化简－＋＋的结果等于 (　[endnoteRef:6]　)
A. B. C. D. [6: 答案：B；]
设＝（2，9）， ＝（λ,6），＝(－1,μ),若+＝,则λ＝ , μ＝ [endnoteRef:7] [7: 答案：]
已知向量＝，＝，则等于 [endnoteRef:8] . [8: 答案：；]
已知向量在正方形网格中的位置如图所示，则＝　　[endnoteRef:9]　　
[9: 答案：（2，－2）]
已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，将下列向量表示成xa＋yb的形式．
(1)p＝(2,3)；(2)q＝(－3,2)．[endnoteRef:10] [10: [解析]　xa＋yb＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．
(1)由p＝(2,3)＝(x＋y，x－y)，得即　所以p＝a－b.
(2)由q＝(－3,2)＝(x＋y，x－y)，得
即所以q＝－a－b. ,
]
《平面向量》专题3－2 线性运算基础
已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于____[endnoteRef:11]____． [11: 答案：2；
解析　|＋＋|＝|2|＝2||＝2.
]
已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有_____[endnoteRef:12]___．
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋. [12: [答案]　①；
[解析]　－＋＝＋＝；
＋＝＋＝≠；
－＝≠；
＋＝≠.]
已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是(　[endnoteRef:13]　)
A．(1,0) B．(－1,0) C．(1，－1) D．(－1,1) [13: 答案：C；]
如图所示的方格纸中有定点，则 （ [endnoteRef:14] ）
A． B． C． D．
[14: 答案：C；]
已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k、l的值为(　[endnoteRef:15]　)
A．－2,3 B．－2，－3 C．2，－3 D．2,3 [15: [答案]　D；
[解析]　利用相等向量的定义求解．
∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，
∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，
即，解得：k＝2，l＝3.
]
《平面向量》专题3－3 线性运算基础
化简(－)－(－)的结果是___[endnoteRef:16]_____． [16: 答案：0；
解析　方法一　(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
方法二　(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
]
若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　[endnoteRef:17]　)
A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ [17: 答案：B；]
已知向量，则（ [endnoteRef:18] ）
(A) 8 (B)5 (C) 4 (D) [18: 答案：A；]
已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　[endnoteRef:19]　)
A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) [19: 答案：D；]
已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　[endnoteRef:20]　)
A．－2,1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1,2 [20: 答案：D；
　[由解得]]
《平面向量》专题3－4 线性运算基础
如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝(　[endnoteRef:21]　)
A．0 B. C. D. [21: [答案]　B；
[解析]　连结CF，取CF中点O，连结OE，CE.
则＋＋＝(＋)＋＝.
]
如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，
则（ [endnoteRef:22] ） （A） （B） （C） （D）
[22: 11.D 设方格边长为单位长.在直角坐标系内，，由得，
所以，解得，所以，，选.
]
已知点，，向量，＝（3，－2）, 则 向量＝__[endnoteRef:23]____ [23: 答案：(1,－2)；]
已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为(　[endnoteRef:24]　)
A．(－8,1) B. C. D．(8，－1) [24: 答案：C；
　[设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，
∴x＝－1，y＝－.]
]
《平面向量》专题3－5 线性运算基础
如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝__[endnoteRef:25]___.
[25: 答案：；]
已知向量＝（1，2），2+＝（3，2），则＝（　[endnoteRef:26]　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0） [26: 答案：B；
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．
【解答】解： ＝（1，2），2+＝（3，2），
则＝（2+）﹣2＝（3，2）﹣2（1，2）＝（3，2）﹣（2，4）＝（3﹣2，2﹣4）＝（1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．
]
已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　[endnoteRef:27]　)
A．(－7,0) B．(7,6) C．(6,7) D．(7，－6) [27: 答案：D；
　[设D(x，y)，由＝，
∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．
∴x＝7，y＝－6.]
]
已知＝(1,0)，＝(1,1)，＝(－1,0)，求λ和μ，使＝λ+μ（[endnoteRef:28]） [28: 答案：，μ＝0，]
《平面向量》专题3－6 线性运算基础
如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则正确的等式是（ [endnoteRef:29]）
① ② ③ ④
[29: 答案：3，4]
已知向量，，则（ [endnoteRef:30] ）
A． B． C． D． [30: 答案：B；]
已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝_____[endnoteRef:31]___. [31: 答案：；
解析　∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴　解得　
∴x＋y＝.
]
已知M(2,3)、N(3,1)，则的坐标是(　[endnoteRef:32]　)
A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2) [32: [答案]　B；
[解析]　＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．
]
《平面向量》专题3－7 线性运算基础
化简以下各式：
①＋＋； ②－＋－； ③－＋； ④＋＋－.
结果为零向量的个数是(　[endnoteRef:33]　) A．1 B．2 C．3 D．4 [33: [答案]　D；
[解析]　①＋＋＝＋＝－＝0；
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；
③－＋＝(＋)－＝－＝0；
④＋＋－＝＋＋＝－＝0.]
已知点，向量，则向量 （ [endnoteRef:34] ）
（A） （B） （C） （D） [34: 答案：A ；]
若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则2＝ [endnoteRef:35] . [35: 答案：]
若向量a＝（1，1），b＝（1，－1），c＝（－1，2），则c＝ ( [endnoteRef:36] )
（A）a+b （B）a－b （C）ab （D）－ab [36: 答案：B]
《平面向量》专题3－8 线性运算基础
设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式
(1)＋＝_____； (2)＋＋＝_____；(3)＋＋＝______；(4)＋＋＋＝[endnoteRef:37]____. [37: 答案：(1)　(2)0　(3)　(4)；]
若向量；则（ [endnoteRef:38] ）
[38: 【答案】A]
若向量，，则＝（ [endnoteRef:39] ）
A. 　 B． 　　 C． D． [39: 【答案】A
]
已知点A和向量＝(2,3),若,则点B的坐标为 （[endnoteRef:40]　　）
A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) [40: [答案]　D；
设,由得,所以选D. ]
《平面向量》专题3－9 线性运算基础
已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于(　[endnoteRef:41]　)
A. B. C. D. [41: [答案]　A；
[解析]　a＝＝－
＝，λa＝a＝，故选A.
]
已知则等于（ [endnoteRef:42] ） [42: 答案：]
若＝，＝，则＝_____[endnoteRef:43]____ [43: 答案：]
已知A（1，2），B（4，2），则向量按向量（，3）平移后得到的向量是 ( [endnoteRef:44] )
（A）（3，0） （B）（3，5） （C）（，3） （D）（2，3） [44: 答案：D]
已知＝(2,3)，则点N位于(　[endnoteRef:45]　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 [45: [答案]　D；
[解析]　因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．
]
若点M(3，－2)，点N(－5，－1)，且＝，则点P的坐标为(　[endnoteRef:46]　)
A．(－8,1) B. C. D．(8，－1) [46: [答案]　B；
[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)，
∵＝，∴
解得x＝－1，y＝－.
]
《平面向量》专题3－10 线性运算基础
已知＝(3,4)，B(2，－1)，则点A的坐标是______[endnoteRef:47]______． [47: [答案]　(－1，－5)；
[解析]　设A(x，y)，则＝(2－x，－1－y)＝(3,4)．
故解得x＝－1，y＝－5.
]
已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足＝，则点P的坐标是____[endnoteRef:48]____． [48: [答案]　(－1，－)；
[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)．
∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．
即，解得，∴P(－1，－)．
]
已知平面向量，则向量（　[endnoteRef:49]　） [49: 答案：]
已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－的坐标是___[endnoteRef:50]______． [50: 答案：]
已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.[endnoteRef:51] [51: 答案：c＝－2a＋2b；
解　设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
]

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