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专题8-1 涉二次方程系数分析
（4套，3页，含答案）
知识点：
涉二次方程系数分析： 出现的式子，求解的个数，马上考虑以下两种情况： 当时，方程变为一次方程，有一个解； 当时，方程是二次方程，根据的不同会出现三种情况： 时，有两个不同的解； 时，有一个解（两个相同的解）； 时，无解。 涉及到“包含”关系，要特别考虑“空集”的情况。
典型例题：
设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝[endnoteRef:0]________. [0: 答案：－3；
解析　∵ UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，故m＝－3.]
已知集合A＝
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围
（4）若A中有两个元素，求a的取值范围 ([endnoteRef:1]) [1: 答案：1)a>，2）a＝0或a＝，3）a＝0或a≥，4）；]
[endnoteRef:2]已知集合A，B＝，且A∪B＝A，求实数m的值组成的集合
[2: 答案：；
27
① ；
② 时，由。
所以适合题意的的集合为
]
随堂练习：
若A＝{3，5}，，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求m、n的值。（[endnoteRef:3]） [3: 答案：m＝－10，n＝25；
解：， ，又，
即方程有两个相等的实根且根为5，
]
已知{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是___[endnoteRef:4]_____．
[4: 答案：　a≤
解析：　∵{x|x2－x＋a＝0}，
∴方程x2－x＋a＝0有实根，
∴Δ＝(－1)2－4a≥0，a≤.
]
已知集合A＝{}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。（[endnoteRef:5]） [5: 解：当k＝0 时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2，此时集合A＝{2} ；
当时要使一元二次方程有一个实根，需，即k＝1。此时方程的解为。集合A＝{4}，满足题意。
综上所述，使数k的值为0或1当k＝0时，集合A＝{2};当k＝1时，集合A＝{4}.
]
已知M＝{x｜x2－2x－3＝0}，N＝{x｜x2＋ax＋1＝0，a∈R}，且NM，求a 的取值范围、 [endnoteRef:6] [6: 答案：解：M＝{x | x2－2x－3＝0}＝{3，－1}， 　∵NM
当N＝ 时，NM 成立
N＝{x | x2＋ax＋1＝0}
∴a2－4＜0
∴－2＜a＜2
当N≠ 时，∵NM
∴3∈N或 －1∈N
当3∈N时，32－3a＋1＝0即a＝ －，N＝{3，}不满足NM
当－1∈N时，（－1）2－a＋1＝0即a＝2，N＝{－1} 满足NM
∴ a的取値范围是：－2＜a≤2]
设全集U＝R，，（[endnoteRef:7]） [7: 答案：解：当时，，即；
当时，即，且
∴，∴
而对于，即，∴∴]
随堂练习2：
设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{}，则A∪B等于(　[endnoteRef:8]　)
A. 　　 B.　　 C. 　　 D. [8: 答案：　A
解析：　∵A∩B＝，∴∈A，∈B.
将分别代入方程2x2－px＋q＝0及6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0联立，
得∴
∴A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝{－4，}，B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝.
∴A∪B＝，故选A.
]
已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－2x＋b＝0}，问同时满足BA，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有值；若不存在，请说明理由．[endnoteRef:9]
[9: 答案；存在，a＝2，b≥1；
]
专题8-2 涉二次方程系数分析
集合，且M ，则实数a的范围是（ [endnoteRef:10] ）
A、 B、 C、 D、 [10: 答案：C；]
若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B A，求实数a的取值范围．[endnoteRef:11]
[11: 答案：解　A＝{－3，2}．对于x2＋x＋a＝0，
(1)当Δ＝1－4a<0，即a>时，B＝ ，B A成立；
(2)当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝{－}，B A不成立；
(3)当Δ＝1－4a>0，即a<时，若B A成立，
则B＝{－3，2}，∴a＝－3×2＝－6. 综上：a的取值范围为a>或a＝－6.]
已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围．[endnoteRef:12] [12: 答案：解：①a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝，符合题意．
②a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程．
由Δ＝9－8a≤0，得a≥.
∴当a≥时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．
综合①②，知a＝0或a≥.
]
已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝4，求A∪B.([endnoteRef:13])
[13: 解析：　由( UA)∩B＝{2}，
∴2∈B且2 A，
由A∩( UB)＝{4}，
∴4∈A且4 B，
分别代入得
∴p＝－7，q＝6；
∴A＝{3，4}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{2，3，4}．
]
若集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a的值使得 (A∩B)与A∩C＝ 同时成立．[endnoteRef:14]
[14: 解析：　B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，
∵ (A∩B)，A∩C＝ ，
∴A与B有公共元素而与C没有公共元素．
∴3∈A将x＝3代入方程x2－ax＋a2－19＝0，
得a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.
若a＝5，则A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
此时A∩C＝{2}≠ ，舍去；若a＝－2，则A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{－5，3}，
此时A∩C＝ ，满足要求．
综上可知，a＝－2.
]
专题8-3 涉二次方程系数分析
已知集合A＝｛x∈R｜x2＋2ax＋2a2－4a＋4＝0｝，若A，则实数a的取值是 [endnoteRef:15] [15: 答案：｛2｝]
设U＝R，集合，；若，求m的值 （[endnoteRef:16]） [16: 解：，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或 ]
如果集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值是 （ [endnoteRef:17] ）
A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定
[17: 答案：B；]
已知全集U＝R，集合A＝，试用列举法表示集合A[endnoteRef:18]
[18: 答案：；]
集合，，，满足，求实数a的值 （[endnoteRef:19]）
[19: 解： ，，而，则至少有一个元素在中，
又，∴，，即，得
而矛盾，
∴
]
专题8-4 涉二次方程系数分析
集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为__[endnoteRef:20]______． [20: 答案：4
解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．]
已知集合，若，求实数m的取值范围。（[endnoteRef:21]）
[21: 解：，且，
又
当时，有，
当时，有，
当时，有，
由以上得m＝2或m＝3.
]
已知A＝{x|x2＋3x＋2 ≥0}， B＝{x|mx2－4x＋m－1>0 ，m∈R}， 若A∩B＝φ， 且A∪B＝A， 求m的取值范围.（[endnoteRef:22]） [22: 解：由已知A＝{x|x2＋3x＋2}得得 .（1）∵A非空 ，∴B＝；（2）∵A＝{x|x}∴另一方面，，于是上面（2）不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B＝.由已知B＝结合B＝，得对一切x恒成立，于是，有的取值范围是
]
已知A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，求实数a，b，c的值．[endnoteRef:23]
[23: 答案：解：∵A∩B＝{3}，
∴由9＋3c＋15＝0，解得c＝－8.
由x2－8x＋15＝0，解得B＝{3，5}，故A＝{3}．
又a2－4b＝0，解得a＝－6，b＝9.
综上知，a＝－6，b＝9，c＝－8.
]
已知集合，B＝{x|2[24: 答案：b＝－1，c＝－6；
∵A＝{x|（x－1）（x＋2）≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|1∵，（A∪B）∪C＝R，∴全集U＝R。
∴。
∵，∴的解为x<－2或x>3，
即，方程的两根分别为x＝－2和x＝3，
由一元二次方程由根与系数的关系，得b＝－（－2＋3）＝－1，c＝（－2）×3＝－6。
]

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