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集合
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，集合（为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知全集，函数的定义域为M，集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
7．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．设集合，则（ ）
A．M B． C． D．
10．已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
12．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
13．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
16．集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
17．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
19．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
20．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
21．对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____.
22．高一某班有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，另外有人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．
23．集合，，若，则的值为__________.
24．已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 __．
25．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
26．已知x∈{1，2，x2﹣x}，则实数x为 _____．
三、解答题
27．已知集合为全体实数集，或，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
28．已知集合，.
(1)求；
(2)定义，求.
29．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α β成立的充要条件．
30．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：已知集合，_______，若，求a的取值范围.
参考答案：
1．D
首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
详解
解：因为，
又，所以，
所以.
故选：D
2．C
求出集合由交集的运算可得答案.
详解
集合，
，
.
故选：C．
3．C
根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B，再进行交集运算即可.
详解
由题意得，，所以，
故选：C.
4．D
先解不等式求出集合，再由补集和交集的概念计算即可.
详解
，或，则.
故选：D.
5．A
求出，，或，然后根据集合的运算逐项判断可得答案.
详解
函数的定义域为，
集合，
而或，
对于A， ，故正确；
对于B， ，故错误；
对于C， 或，故错误；
对于D，由，或，所以不是的子集，故错误.
故选：A.
6．D
对集合A化简，再与集合B进行交集运算，可得到共有3个元素，再用判断子集个数公式即可.
详解
因为所以，
则,而又因为,
所以，集合中有3个元素，所以的子集个数为：（个）.
故选：D.
7．A
直接由，可得的取值范围
详解
因为，，且，
所以，
即的取值范围是，
故选：A
8．D
求出集合A，根据集合的并集运算，即可求得答案.
详解
由题意得，，
故，
故选：D
9．C
求出集合M，再利用交集的定义计算作答.
详解
因，则，而，
所以.
故选：C
10．D
首先解指数不等式得到，即可得到，再求子集个数即可.
详解
，
则，子集的个数为，
故选：D．
11．A
根据一元二次不等式的求解可化简，根据集合的交运算即可求解.
详解
，则．
故选：A
12．A
根据一元二次不等式的求解得，根据集合的交运算即可求解.
详解
因为，，所以，
故选：A．
13．A
根据集合的交集运算即可得答案.
详解
因为，
所以
故选：A.
14．A
首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
详解
解：由，即，解得，
所以，又，
所以.
故选：A．
15．B
根据并集运算即可求解.
详解
解：因为集合，，
所以.
故选：B.
16．B
将给定的集合用列举法表示出，再直接计算作答.
集合，集合A含有3个元素，
所以集合A的子集个数是.
故选：B
17．D
解不等式求出集合，利用交集的定义得到结果.
∵，，
∴.
故选：D.
18．A
解一元二次不等式，得出集合的范围，再与集合进行交集运算即可得出结果.
集合，由化简得，解得，即；
又因为，所以.
故选：A.
19．D
先求出，再根据交集的定义可求.
，故，
故选：D.
20．A
求出集合、，利用交集的定义可求得结果.
，，
因此，.
故选：A.
21．13
根据定义可求M，从而可求其含有的元素的个数.
∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；
当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，
∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}
＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），
（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，
共13个元素，
故答案为：13
22．
设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，利用容斥原理可得出关于的等式，即可得解.
设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，
以集合表示该班集体，集合表示参加数学竞赛的学生组成的集合，
集合表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：
由题意可得，解得.
故答案为：.
23．0
根据集合的包含关系求解，即由求解．
因为，所以，
显然，
若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去；
若，则或（舍去），
综上，．
故答案为：0．
24．
将充分必要条件的判断问题转化为集合问题解决．
因为是的必要条件，所以，
即由或或；
时，，此时：，有成立；
②时，:且，；
③时，有，即，此时无解， ；
综上，．
故答案为：．
25．{0}∪[，+∞）．
分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．
当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，
解得x，故成立；
当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，
解得；
综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．
故答案为：{0}∪[，+∞）．
26．1或0##0或1
将x依次等于集合中的元素并验证即可．
解：①若x＝1，则{1，2，x2﹣x}＝{1，2，0}，成立；
②若x＝2，则，不成立；
③当x＝x2﹣x时，x＝0，或x＝2（舍去）．
故答案为：1或0．
27．(1)；
(2).
（1）将代入，求出M的补集，再利用交集的定义求解作答.
（2）根据包含关系的定义，按集合N是否是空集分类求解作答.
(1)
当时，，而，
所以.
(2)
因，则当，即时，，此时满足，即，
当，即时，，则有或，即或，因此，
所以实数的取值范围为.
28．(1)
(2)
(1)直接根据集合并集的定义进行求解；
(2)根据新定义，即元素属于集合M当不属于集合N，从而可求出所求.
(1)
，，
；
(2)
，，，
.
29．(1){a|a＜2}
(2)证明见解析
（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
解：（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，
若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集，
当B＝ 时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意，
当B≠ 时，若B是A的真子集，则，解得1≤a＜2，
综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}，
证明：（2）充分性（若a≥2，则α β）．
若a≥2，则{x|1≤x≤2} {x|1≤x≤a}，
所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立，
必要性（若α β，则a≥2）．
若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，
则{x|1≤x≤2} {x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立，
综上所述：a≥2是α β成立的充要条件．
30．条件选择、答案见解析.
选择条件①②③，按集合A是否为空集，分类讨论列出不等式，求解作答.
选择条件①：，因，
当时，，解得a≥5，当时，或，解得4≤a＜5，
所以a的取值范围为.
选择条件②：，则，因，
当时，，解得a≥5，当时，，无解，
所以a的取值范围为.
选择条件③：，因，
当时，，解得a≥5，当时，，解得，
所以a的取值范围为.

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