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高一专题——函数单调性判定方法总结 2
【方法1】图象性质法 2
【方法2】判断函数单调性的几个常用结论 2
【方法3】定义法判断函数的单调性 3
【方法4】复合函数的单调性 5
【方法5】抽象函数的单调性 7
高一专题——函数单调性判定方法总结
【方法1】图象性质法
【例1】下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.2】函数的单调递减区间为（ ）
A．（–∞，2] B．[2，+∞）
C．[0，2] D．[0，+∞）
【变式1.3】若函数与在（0，＋∞）上都是减函数，则在（0，＋∞）上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
【例2】已知函数，则（ ）
A．在（，+∞）上是增函数 B．在（1，+∞）上是增函数
C．在（，+∞）上是减函数 D．在（1，+∞）上是减函数
【变式2.1】函数，（，]最小值为0，则的取值范围是（ ）
A．（1，2） B．（，2）
C．[1，2） D．[，2）
【方法2】判断函数单调性的几个常用结论
若函数，在区间上具有单调性，则在区间上： ①与具有相同的单调性； ②与，当时单调性相同；当时，单调性相反； ③当，都是增（减）函数时，是增（减）函数； ④当，都是增（减）函数时，则当两者都恒大于0时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（减）函数． ⑤当恒不为零时，与具有相反的单调性． ⑥当时，与具有相同的单调性． 注意： （1）判断单调性不等同于证明单调性． （2），都是增（减）函数时，不一定是增(减)函数．如，，则在上不是增（减）函数．同理，也不一定是增（减）函数．
【例3】已知，定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则（ ）
A．是减函数 B．是增函数
C．是减函数 D．是增函数
【变式3.1】设定义在[，7]上的函数的图象如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（ ）
A．在[－1，1]上单调递增
B．在(0，1]上单调递减，在[1，3)上单调递增
C．在[5，7]上单调递增
D．在[3，5]上单调递增
【变式3.2】函数的单调递增区间为 ．
【方法3】定义法判断函数的单调性
利用定义证明函数在给定的区间D上的单调性，一般步骤如下： ①取值：设，是区间D上的任意两个实数值，且； ②作差变形：作差，并通常利用因式分解、配方等方法，向有利于判断差的正负的方向变形； ③定号，下结论：判断的正负，当符号不确定时，可以进行分类讨论，再确定差的符号，最后根据定义得出结论．
【例4】判断并证明函数在（0，＋∞）上的单调性．
【变式4.1】已知函数，[3，5]．利用单调性定义证明函数在[3，5]上的单调性。
【变式4.2】证明：函数在区间[1，+∞)上是减函数．
【例5】判断函数（）在（0，）上的单调性．．
【变式5.1】设函数（），求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性．
【方法4】复合函数的单调性
（1）复合函数的单调性： 复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内层函数与外层函数的单调性相同时是增函数，单调性相反时是减函数．具体情况如下表： 增增增增减减减增减减减增
（2）判断复合函数单调性的步骤： 以复合函数为例．可按下列步骤操作： ①确定定义域； ②将复合函数分解成基本初等函数：，； ③分别确定这两个函数的单调区间： （1）若在区间(，)上为____（ ）函数，其值域为(，)；同时在区间(，)上是____（ ）函数，那么区间(，)是函数的___________区间； （2）若在区间(，)上为____（ ）函数，其值域为(，)；同时在区间(，)上是____（ ）函数，那么区间(，)是函数的___________区间．
【例6】求下列函数的单调性：
（1）； （2）； （3）；
【变式6.1】求下列函数的单调性：
（1）； （2）；
【例7】（1）已知，，则函数的单调递增区间是 ；
单调递减区间是 ；
（2）已知，，则函数的单调递增区间是 ；
单调递减区间是 ；
【变式1】（1）已知，，则函数的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ；
（2）已知，则函数的单调递增区间是 ；
单调递减区间是 ；
【变式7.1】已知函数，，试求的单调区间．
【方法5】抽象函数的单调性
抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题，一般以中学阶段所学的基本函数为背景，构思新颖，条件隐蔽，技巧性强。解法灵活，因此它对发展同学们的抽象思维，培养同学们的创新思想有着重要的作用。抽象函数的单调性证明过程与定义法证明过程一样，但抽象函数的单调性证明往往需要通过构造来进行变形。 常见解题思路：恰当赋值可求函数值，用定义可证单调性，应用单调性可解不等式． 常见的构造方法有：；；
【例8】（内加外加）函数的定义与为，且对于任意，，有，且当时，，．
（1）证明：在上是减函数；
（2）求在[，]上的最大值和最小值；
【例9】（内加外乘）定义在上的函数，，当时，，且对于任意的，有．
（1）证明：；
（2）证明：对任意的，恒有；
（3）证明：是上的增函数；
【变式9.1】定义在上的函数满足，当时，且对任意，都有，
若，则：
（1）求；
（2）证明：对任意有恒成立且在上是增函数；
（3）解不等式．
【例10】（内除外减）已知定义在区间[，）上的函数满足，且当时，．
（1）求的值；
（2）判断的单调性；
（3）若，求在[，]上的最小值；
【变式10.1】函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）求在，上的值域.
【例11】（构造分式）已知是定义在[，1]上的奇函数，且，若，[，1]，且时，有恒成立．
（1）用定义证明函数在[，1]上是增函数；
（2）解不等式：；
（3）若对所有[，1]恒成立，求实数的取值范围．

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