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苏教版（2019）高中数学一轮复习第22讲《椭圆》（原卷版）
【知识梳理】
椭圆 定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆． 【，】 轴 轴 坐标原点 椭圆中
二、【真题再现】
1、（2022全国甲卷理） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
2、（2022新高考2卷）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
3、（2022新高考1卷）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
4、（2022全国乙卷理）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
5、（2022上海卷）设有椭圆方程：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4＝0，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0）．
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b；
（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值．
6、（2022北京卷）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
7、（2022浙江卷）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值； （2）求的最小值．
三、【考点精讲】
考点1 椭圆的定义及其应用
【例1-1】（2021·全国高三月考（理））已知是椭圆上一点，，为椭圆的左，右焦点，且，则( )
A．1 B．3 C．5 D．9
【例1-2】（2021·广东珠海市·高三月考）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【例1-3】（2021·广西高三开学考试（理））已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【变式1-1】（2021·浙江高三开学考试）已知为椭圆上一点，若到一个焦点的距离为1，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．12
【变式1-2】（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
【变式1-3】（2021·江西上饶·（理））已知椭圆的焦点是，，点为椭圆上一点，且，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．2
【变式1-4】（多选）（2021·河北唐山·高三开学考试）已知椭圆：的左 右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）
A．5 B．4 C． D．
考点2 椭圆的标准方程
【例2-1】（2021·江苏省苏州中学园区校高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C于A，B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（2021·山西高三（理））椭圆的焦点分别为，，直线与交于，两点，若，，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2021·山西太原五中高三（文））已知两定点、和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2021·安徽合肥·高三月考（文））已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·四川自贡·高三（文））古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2021·全国高三专题练习（理））已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点3 直线与椭圆的位置关系
【例3-1】（2021·江苏南通市·高二月考）当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是___________
【例3-2】（2）（2021·全国高三（文））已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.
上顶点，为椭圆上一点，若的面积是，则点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021·甘肃省民乐县第一中学高三（理））若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．1个 B．至多一个 C．2个 D．0个
【变式3-2】（2021·浙江杭州·高三专题练习）已知椭圆的焦点为，，且椭圆与直线：有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ）
A．10 B．7 C． D．
【变式3-3】（2021·全国（文））直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
考点4 弦长及中点弦问题
【例4-1】（2021·广西河池·高三期末（理））在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于A、B两点，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
（2）（2021·福建三明一中高三）以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
（3）（2021·正阳县高级中学高三（理））已知椭圆：上有三点，，，线段，，的中点分别为，，，为坐标原点，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，且，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2）（2021·福建三明一中高三）以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-3】（2021·正阳县高级中学高三（理））已知椭圆：上有三点，，，线段，，的中点分别为，，，为坐标原点，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，且，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】1．（2021·全国高三专题练习（理））坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式4-2】（2021·通辽新城第一中学高三（理））已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021·全国（文））过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点5 离心率问题
【例5-1】（2021·浙江高三专题练习）如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2021·安徽（理））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2021·浙江高三）如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））椭圆（）的左右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，求椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知椭圆的右顶点为A，坐标原点为，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021·安徽（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．
考点6 椭圆的综合运用
【例6-1】（多选）（2021·广东深圳·高三月考）（多选）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹是双曲线.
B．当时，点在圆上运动.
C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.
D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.
【例6-2】（2021·湖南高三）（多选）已知焦点在轴上的椭圆过点且离心率为，则（ ）
A．椭圆的标准方程为 B．椭圆经过点
C．椭圆与双曲线的焦点相同 D．直线与椭圆恒有交点
【例6-3】（2021·浙江高三开学考试）已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．
（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值．
【变式6-1】（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）（多选）已知椭圆上有一点， 分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则； B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为
【变式6-2】（2021·甘肃白银·（理））已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积.苏教版（2019）高中数学一轮复习第22讲《椭圆》（解析版）
【知识梳理】
椭圆 定义 标准方程 几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆． 【，】 轴 轴 坐标原点 椭圆中
二、【真题再现】
1、（2022全国甲卷理） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】解：，设，则，
则，故，
又，则，所以，即，
所以椭圆的离心率.故选：A.
2、（2022新高考2卷）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【答案】
【分析】令中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
3、（2022新高考1卷）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，
∴，∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为故答案为：13.
4、（2022全国乙卷理）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【小问1详解】
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，所以椭圆E的方程为：.
小问2详解】
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，综上，可得直线HN过定点
5、（2022上海卷）设有椭圆方程Γ：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4＝0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0）．
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b；
（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值．
【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定M点的纵坐标，进一步可得点M的坐标；
（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定b的值即可；
（3）设P（acosθ，bsinθ），利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定d的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
∵AM的中点在x轴上，
∴M的纵坐标为，
代入得．
（2）由直线方程可知，
①若，则，即，
∴，
∴．
②若，则，
∵，∴，
∴，∴tan∠BAM＝7．
即tan∠OAF2＝7，∴，∴，
综上或．
（3）设P（acosθ，bsinθ），
由点到直线距离公式可得，
很明显椭圆在直线的左下方，则，
即，
∵a2＝b2+2，∴，
据此可得，，
整理可得（a﹣1）（3a﹣5）≤0，即，
从而．
即d的最小值为．
6、（2022北京卷）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；
【小问1详解】
解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，即
即
即整理得，解得
7、（2022浙江卷）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值； （2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出；
（2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值．
【小问1详解】
设是椭圆上任意一点,,则
，当且仅当时取等号，故的最大值是.
【小问2详解】
设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，
因为直线与直线交于,
则,同理可得,.则
，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
三、【考点精讲】
考点1 椭圆的定义及其应用
【例1-1】（2021·全国高三月考（理））已知是椭圆上一点，，为椭圆的左，右焦点，且，则( )
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】B
【解析】对椭圆方程变形得，，易得椭圆长半轴的长为5，由椭圆的定义可得，，又因为，所以.故选：B.
【例1-2】（2021·广东珠海市·高三月考）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】，设椭圆的右焦点为，
，
当在的正上方时，等号成立.故选：D
【例1-3】（2021·广西高三开学考试（理））已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】由可设，则，由椭圆的定义得，，，
从而，所以，故，所以.故选：B.
【变式1-1】（2021·浙江高三开学考试）已知为椭圆上一点，若到一个焦点的距离为1，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．12
【答案】B
【解析】椭圆的长轴长为，由椭圆的定义得：，
又因为到一个焦点的距离为1，即，所以到另一个焦点的距离为，故选：B
【变式1-2】（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
【答案】D
【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，故选项D正确，其他选项错误.故选：D.
【变式1-3】（2021·江西上饶·（理））已知椭圆的焦点是，，点为椭圆上一点，且，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】，，
由题意得，，由余弦定理得，
得，，
设内切圆的半径为，则，
所以.故选：B.
【变式1-4】（多选）（2021·河北唐山·高三开学考试）已知椭圆：的左 右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】BC
【解析】由可得，，所以，
根据对称性只需考虑或，
当时，将代入可得，
如图：，，所以的面积为，
当时，由椭圆的定义可知：，由勾股定理可得，因为，
所以，解得：，此时的面积为，
综上所述：的面积为或.故选：BC.
考点2 椭圆的标准方程
【例2-1】（2021·江苏省苏州中学园区校高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C于A，B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知：，所以椭圆的标准方程为：.故选：B
【例2-2】（2021·山西高三（理））椭圆的焦点分别为，，直线与交于，两点，若，，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，过作于，
由知，过点，且，如图，
，
所以,设，则,代入椭圆方程可得，，解得，又，所以，所以椭圆的方程为，故选：D
【例2-3】（2021·山西太原五中高三（文））已知两定点、和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】、，，
是与的等差中项，则，即，
点在以、为焦点的椭圆上，，，，，因此，椭圆的方程是.故选：B.
【变式2-1】（2021·安徽合肥·高三月考（文））已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得，所以故选：A
【变式2-2】（2021·四川自贡·高三（文））古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆标准方程为，
由题意可得，∴，即，∵△F2AB的周长为32，
∴4a＝32，则a＝8，∴，故椭圆方程为．故选：B．
【变式2-3】（2021·全国高三专题练习（理））已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，所以可得，又因为，
所以可得，即为短轴的顶点，设为短轴的上顶点，，，
所以，所以直线的方程为：，由题意设椭圆的方程为：，则，联立，整理可得：，
即，可得，代入直线的方程可得，
所以，因为，
所以，整理可得：，解得：，可得，所以椭圆的方程为：，故选：D．
考点3 直线与椭圆的位置关系
【例3-1】（2021·江苏南通市·高二月考）当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是___________
【答案】且
【解析】直线过定点，
因为直线与椭圆总有公共点，所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，
即，且，解得且，故答案为：且
【例3-2】（2）（2021·全国高三（文））已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】依题意联立直线与椭圆方程，消去并整理得，解得或，不妨取，则，，，
所以，，又，所以，因为，所以，即，即所以，解得
故答案为：
【例3-3】（2021·辽宁高三（理））已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，为椭圆上一点，若的面积是，则点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得：， ，所以，，
所以直线的方程为：，即，
设过点与直线平行的直线：，
则直线与直线的距离，
因为点为直线与椭圆的交点， 所以点到直线的距离为，
因为的面积是，
可得：，解得：或，
当时，由可得：，解得，此时，
当时可得，
因为，
此时直线与椭圆有个交点，此时有个点，所以共有个点，故选：C
【变式3-1】（2021·甘肃省民乐县第一中学高三（理））若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．1个 B．至多一个 C．2个 D．0个
【答案】C
【解析】因为直线和圆没有交点，
所以，即，所以，即点在椭圆内，所以过点的直线与椭圆的交点个数为个.故选：C
【变式3-2】（2021·浙江杭州·高三专题练习）已知椭圆的焦点为，，且椭圆与直线：有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ）
A．10 B．7 C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆与直线的一个公共点为则（即为长轴长）
问题转化为在直线上找点，使得最小
设关于的对称点，则，可得点坐标为，
则，当且仅当，，三点共线时等号成立即椭圆长轴长的最小值为10．故选:A．
【变式3-3】（2021·全国（文））直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】直线可化为，所以直线恒过点，
又，即在椭圆的内部，
直线与椭圆的位置关系为相交.故选：A.
考点4 弦长及中点弦问题
【例4-1】（2021·广西河池·高三期末（理））在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于A、B两点，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
（2）（2021·福建三明一中高三）以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
（3）（2021·正阳县高级中学高三（理））已知椭圆：上有三点，，，线段，，的中点分别为，，，为坐标原点，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，且，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立方程，解得或，，点O到直线的距离为，则的面积为．故选：C．
【例4-2】（2）（2021·福建三明一中高三）以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设过点的直线交椭圆于，两点，
则，两式相减得，
因为，，，两边同时除以得，
得，所以直线方程为，即.故选：B
【例4-3】（2021·正阳县高级中学高三（理））已知椭圆：上有三点，，，线段，，的中点分别为，，，为坐标原点，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，且，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，代入椭圆方程可得，两式相减，可得，即，故，即，即，同理可得：，．由，得，故．故选：B．
【变式4-1】1．（2021·全国高三专题练习（理））坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】直线方程为，代入椭圆方程得，，
设，则
，
点到直线的距离为，
所以（），
记，则，
当时，递增，当时，，递减，
所以时，取得唯一的极大值也是最大值．即△MAN面积的最大值为．故选：A．
【变式4-2】（2021·通辽新城第一中学高三（理））已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，因为都在椭圆上，所以，所以，所以，所以，又因为，，所以，故选：D.
【变式4-3】（2021·全国（文））过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线中，令，可得，所以右焦点，，
设，，，，则，的中点，
联立，整理得，
所以，，所以，
所以，又，，所以，，
所以椭圆的方程为，故选：A．
考点5 离心率问题
【例5-1】（2021·浙江高三专题练习）如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由点为椭圆上的点，
可得且，即，又由四边形为矩形，
所以，即，联立方程组，解得，设双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，即，
所以双曲线的离心率为.故选：D.
【例5-2】（2021·安徽（理））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，由余弦定理得：
，又，即，
解得，因为，得，
故.又，所以.故选：B.
【例5-3】（2021·浙江高三）如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，则，，，，为则双曲线的实半轴），根据双曲线定义可得，， 在△中，满足，，
则，则椭圆的离心率是．故选：C．
【变式5-1】（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））椭圆（）的左右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，求椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由椭圆方程，可知：
过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，因此将代入椭圆，可得
（舍负）故选：A
【变式4-2】（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知椭圆的右顶点为A，坐标原点为，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】△OAP是等腰直角三角形，则是直角顶点，所以在椭圆上，
所以，，．故选：C．
【变式4-3】（2021·安徽（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由椭圆定义知：.由余弦定理得：，即，所以.故选D.
考点6 椭圆的综合运用
【例6-1】（多选）（2021·广东深圳·高三月考）（多选）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹是双曲线.
B．当时，点在圆上运动.
C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.
D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.
【答案】（BD
【解析】设，则 ，
所以，，
整理得，
所以对于A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误；
对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确；
对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误；
对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确. 故选：BD
【例6-2】（2021·湖南高三）（多选）已知焦点在轴上的椭圆过点且离心率为，则（ ）
A．椭圆的标准方程为 B．椭圆经过点
C．椭圆与双曲线的焦点相同 D．直线与椭圆恒有交点
【答案】ACD
【解析】对于A：由已知可得，，所以，可得，
所以椭圆的标准方程为，故选项A正确；
对于B：当时，，椭圆不经过点，故选项B错误；
对于C：双曲线的焦点为，椭圆的焦点为，故椭圆与双曲线的焦点相同，故选项C正确；
对于D：直线恒过点且该点在椭圆内部，所以直线与椭圆恒有交点，故选项D正确，故选：ACD.
【例6-3】（2021·浙江高三开学考试）已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．
（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在椭圆中，，所以，
因为恰是椭圆的焦点，
所以，所以；
（2）设直线：，，
联立，得，
则，则，
故的中点坐标为，
又因为恰好被平分，则，，
直线的斜率等于，
将M、N的坐标代入椭圆方程得：
，，
两式相减得：，
故，
即直线的斜率等于，
所以，解得，
由的中点在椭圆内，得，解得，
因为，所以的最大值是2，
，
则面积，
所以，当时，面积的最大值是
【变式6-1】（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）（多选）已知椭圆上有一点， 分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则； B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为【答案】ABC
【解析】由椭圆可得，则，
对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为
所以，所以A正确，
对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，
对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，
对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，
故选：ABC
【变式6-2】（2021·甘肃白银·（理））已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由圆可得，
因为，
所以，
即，又，故，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，，，
为线段的中点，则，
，又，
解得，，
若，则，直线的方程为，
由.解得，即，，
所以的面积，
若，同理可求得的面积，
综上所述，的面积为.

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