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5.2　三角函数的概念
【考点梳理】
大重点：三角函数的概念
考点一：任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cos x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)．
考点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
考点三：公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，
其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．
大重点：同角三角函数的基本关系
考点四：同角三角函数的基本关系
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)．
【题型归纳】
题型一：由定义或者终边求某角三角函数
1．（2021·陕西省洛南中学高一月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江省桐庐分水高级中学高一期末）已知角的终边上有一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京顺义·高一期末）在平面直角坐标系中，角、角的终边关于直线对称，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：由单位圆求三角函数值
4．（2021·全国·高一课时练习）点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·四川·仁寿一中高一开学考试）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为的圆相交于点则，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高一专题练习）已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆（以O为圆心）相交于A点．若A的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：三角函数值符号的运用
7．（2021·全国·高一课时练习）给出下列各三角函数值：
①；②；③；④．
其中符号为负的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·陕西·咸阳百灵学校高一月考），则( )
A．，可能是二，四象限 B．，可能是一三象限角
C．，可能是三，四象限角的 D．，可能是二，四象限角
题型四：公式一的应用
10．（2021·天津市南开区南大奥宇培训学校高一月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·浙江·乐清市知临中学高一期末）（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·全国·高一单元测试）sin 600°＋tan 240°的值等于（ ）
A．－ B． C．－＋ D．＋
题型五：平方关系（sin θ±cos θ型求值）
13．（2021·全国·高一课时练习）已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·河北·沧州市一中高一开学考试）已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））已知，且，则( )
A． B． C． D．
题型六：商的关系
16．（2021·全国·高一课时练习）已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
17．（2021·全国·高一课时练习）已知，则的值是（ ）
A． B． C．-3 D．3
18．（2021·全国·高一课时练习）化简的值为（ ）
A． B． C．1 D．
题型七：恒等式的证明
16．（2021·全国·高一课时练习）求证：
20．（2021·全国·高一课时练习）求证：=.
21．（2021·上海·高一）证明恒等式：.
题型八：化简求值
22．（2021·全国·高一课时练习）已知，其中是第四象限角．
（1）化简；
（2）若，求，．
23．（2021·江苏·高一课时练习）（1）已知α是第三象限角，化简：－；
（2）化简：
24．（2021·江苏·高一课时练习）化简：
（1）；
（2）.
【双基达标】
一、单选题
25．（2021·全国·高一课时练习）点所在的象限是（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
26．（2021·全国·高一课时练习）如图，过原点的直线与单位圆交于两点，其中P点在角的终边上，则P点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·全国·高一课时练习）若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（2021·全国·高一课时练习）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·江西省修水县英才高级中学高一月考）已知，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．
31．（2021·江西上饶·高一月考（理））已知角的顶点为坐标原点，始边x轴的非负半轴，若点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·安徽·蚌埠二中高一期中）已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ）
A．0 B． C． D．5
33．（2021·辽宁·建平县实验中学高一月考）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
34．（2021·全国·高一课时练习）点为圆与轴正半轴的交点，将点沿圆周顺时针旋转至点，当转过的弧长为时，点的坐标为（ ）．
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
35．（2021·山东·齐河县第一中学高一月考），则所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
36．（2021·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
37．（2021·河南新乡·高一期末）已知，则（ ）
A．0 B．
C．0或 D．或
38．（2021·全国·高一课时练习）“角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
39．（2021·江苏省扬中高级中学高一期中）函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
40．（2021·上海市嘉定区第一中学高一期中）设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（ ）
A． B． C． D．
41．（2021·辽宁丹东·高一期末）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
42．（2021·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
43．（2021·全国·高一课时练习）若角的终边上有一点，且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
44．（2021·全国·高一课时练习）已知，则m的值可以等于（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
45．（2020·江苏省西亭高级中学高一月考）已知，则函数的值可能是（ ）
A．0 B． C．4 D．2
46．（2021·安徽·亳州二中高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．若为锐角，则为钝角
C．若，则
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
47．（2020·全国·高一课时练习）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A． B．若sin，则tan
C．若tanx，则 D．若sin，则tan
48．（2020·安徽·马鞍山二中高一月考）下列正确的是（ ）
A．若且是第三象限角，则
B．若且是第四象限角，则
C．若，则
D．化简：
E.已知：且，那么
三、填空题
49．（2021·上海市长征中学高一期中）已知角的终边经过点，，则的值为__．
50．（2021·陕西·绥德中学高一月考）已知为第二象限角，为其终边上一点，且，则x=___________.
51．（2021·江苏·高一课时练习）若，则的值为__________.
52．（2021·全国·高一课时练习）已知，满足是关于方程的两个根中较小的根，则的值为___________．
53．（2021·全国·高一课时练习）已知，是关于的方程的两个实根，且，则的值为________．
四、解答题
54．（2021·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，求，的值．
55．（2021·全国·高一课时练习）化简：
（1）；
（2）．
56．（2021·江苏·高一课时练习）求下列各式的值：
（1）；
（2）.
57．（2021·江西·九江一中高一期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
58．（2021·江苏·高一课时练习）证明下列恒等式：
（1）；
（2）.
【答案详解】
1．C
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以.
故选：C
2．B
【详解】
由题意，角的终边上有一点，可得，
根据三角函数的定义，可得.
故选：B.
3．D
【详解】
由三角函数的定义可知，点在角的终边上，
由于角、角的终边关于直线对称，则点在角的终边上，
所以，.
故选：D.
4．A
【详解】
点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以点Q是角的终边与单位圆的交点，所以Q，又角的终边与的终边是相同的，所以，，所以.
故答案为：A
5．B
【详解】
由题意可得：角的终边与单位圆的交点为，
所以，，
所以，
故选：B.
6．B
【详解】
由三角函数的定义可知，正负无法判断，
故选：B．
7．D
【详解】
因为－100°角是第三象限角，所以；因为－220°角是第二象限角，所以；因为，所以角－10是第二象限角，所以；．所以符号为负的有4个，
故选：D．
8．A
【详解】
因为，
所以为第一象限的角，
所以，
故选：A
9．A
【详解】
由可得，与异号，所以，根据任意角三角函数的定义可知，角为第一象限角时，，，不符合题意；角为第二象限角时，，，符合题意；角为第三象限角时，，，不符合题意；角为第一象限角时，，，符合题意；综上，角为第二、四象限角
故选：A
10．D
【详解】
故选：D
11．D
【详解】
解：
故选：D
12．B
【详解】
sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，
tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，
则 sin 600°＋tan 240°＝.
故选：B.
13．D
【详解】
解：∵，∴，
∴.
故选：D．
14．B
【详解】
由题意得：，
，
即，解得：；
，，即，
，.
故选：B.
15．B
【详解】
∵，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即.
故选：B.
16．A
【详解】
因为，
所以，
所以 ，
故选：A
17．A
【详解】
解：因为，所以．
故选：A．
18．B
【详解】
由同角三角函数关系：
故选：B
19．
【详解】
证明：
．
所以，即得证
20．
【详解】
左边===，
右边===，
所以等式成立.
21．
【详解】
证明：左边=
=右边.所以原式得证.
22．
（1）
（2），
（1）
解：∵是第四象限角，∴，，所以、，
∴
．
即；
（2）
解：∵，∴，
∴．
23．（1）－2tanα；（2）cos2θ.
解：（1）因为α是第三象限角，
所以－＝－
＝－＝－＝－2tanα；
（2）
＝
＝＝cos2θ.
24．（1）；（2）
【详解】
（1）；
（2）.
25．C
【详解】
在第三象限，
，点在第三象限.
故选：C.
26．B
【详解】
设，在单位圆上且 P点在角的终边上，
根据余弦函数的定义可得，.
故选：B.
27．B
【详解】
由题意得：，
所以，又，
所以.
故选：B
28．B
【详解】
由题意，
故选：B
29．A
【详解】
由于，所以，故，
所以.
故选：A
30．B
【详解】
因，则有，
所以的值为.
故选：B
31．B
解：因为点是角终边上一点，
所以.
故选：B.
32．D
由条件可知，，所以，
解得：，
所以，
.
故选：D
33．A
【详解】
点到原点的距离为，
所以，，
,
故选：A.
34．B
【详解】
由题意知，圆的半径为2，，
设旋转角为，则，
从而可得.
故选：B.
35．B
【详解】
，
∴，故所在象限为第二象限.
故选：B
36．C
【详解】
在等式两边平方可得，可得，
所以，.
故选：C.
37．C
【详解】
联立，
解得或，
当，时，
；
当，时，
.
故选：C.
38．C
【详解】
角是第一象限角时，，则；若角是第三象限角，，则.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分条件.
若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要条件.
综上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要条件.
故选:C.
39．D
【详解】
令，
∴，
∴，
∴当，有最小值.
故选：D
40．B
【详解】
由题知，，，，.
其中为点到原点的距离.
，
因为，所以的取值可正可负可为0，故的取值可正可负可为0.
故选项A错误；
，
因为，，所以恒成立.
故选项B正确；
因为，当时，有.
又时，，.
故选项C错误；
因为，，所以.
故选项D错误.
故选：B.
41．A
解：因为，
所以，，
所以，所以，
所以，
，
由，可得，
当时，，则，
当时，，则，
综上，，
故选：A
42．D
【详解】
，，
.
故选：.
43．CD
【详解】
由三角函数的定义可知，，
，
又，则，
解得或，
故选：CD．
44．AD
【详解】
根据同角三角函数基本关系，可得，
解得或.
故选：AD
45．ABD
解：因为，所以且，
当是第一象限角时：，，
，
当是第二象限角时：，，
，
当是第三象限角时：，，
，
当是第四象限角时：，，
，
所以函数的值域，
故选：ABD
46．ACD
【详解】
解：对于：因为所以与的终边相同，而为第二象限角，所以为第二象限角，故正确；
对于：若为锐角，则为锐角、直角或钝角，故错误；
对于：若，则，故正确；
对于：若圆心角为的扇形的弧长为，利用，解得，
故该扇形的面积为，故正确．
故选：．
47．AB
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，若，则，
故B正确；
对于C，若，则，故C不正确；
对于D，∵的范围不确定，∴的符号不确定，故D不正确．
故选：AB.
48．ACE
【详解】
对于A，因为是第三象限角，所以，
所以，A正确；
对于B，是第四象限角，所以，
所以，B不正确；
对于C，，C正确；
对于D，
因为在第三象限，所以，D不正确；
对于E，且，所以，
所以，E正确.
故选：ACE
49．
【详解】
解：，角的终边经过点，，，，
，，
．
故答案为：．
50．
【详解】
∵，∴或，∴或，
∵是第二象限角，∴（舍去）或（舍去）或.
故答案为：.
51．
【详解】
.
故答案为：.
52．
【详解】
是方程的较小根，
且由根与系数的关系可知两根乘积为1，
方程的较大根是，
，
，
即， ，
，或，
当时，，；
当时，，；
由， ，
，．
故答案为：．
53．
【详解】
由，是关于的方程的两个实根，
∴，解得，
又，则，解得，则，
∴．
故答案为：
54．
由题意，可知，，所以，
所以，
解得或．
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，．
55．
（1）
（2）
（1）
原式
；
（2）
原式
．
56．（1）-2；（2）
【详解】
（1）；
（2）
57．(1)；(2)．
【详解】
\(1)∵，，
∴，
分子分母同时除以得，，解得，.
(2)由(1)中知，，
对分子分母同时除以得，
.
故的值为.
58．
【详解】
（1），即证.
（2）
，即证.
试卷第1页，共3页

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