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4.2指数函数
【考点梳理】
重难点技巧：指数函数的概念
考点一：　指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
考点二：　两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当0　 重难点技巧：指数函数的图象和性质
考点三：指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
考点四：比较幂的大小
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
考点五：解指数方程、不等式
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
考点六　指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0【题型归纳】
题型一：指数函数的概念
1．（2020·黔西南州同源中学高一期中）若是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．且
2．（2020·湖南新宁崀山实验学校高一期中）下列是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高一专题练习）已知指数函数的图像经过点，那么这个函数也必定经过点（ ）
A． B． C． D．
题型二：求指数函数的定义域（复合型）
4．（2021·浙江）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·内蒙古赤峰·）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．R
6．（2021·江西高安中学高一月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
题型三：求指数函数的值域
7．（2020·陕西高一期末）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）当时，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·云南昆明八中高一月考）若函数的定义域为，则该函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
题型四：指数函数的图像问题
10．（2021·全国高一专题练习）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）已知函数的图像过定点P，则P的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·江西上饶·高一期末）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
题型五：指数幂的大小比较
13．（2021·全国）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国高一单元测试）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国高一专题练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
题型六：简单的指数不等式的解法
16．（2019·乌鲁木齐市第二十中学高一期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2020·成都七中万达学校高一月考）已知函数，且.
（1）求的值
（2）若，求实数的取值范围.
18．（2020·全国）设函数，求不等式的解集.
题型七：判断复合型指数函数的单调性
19．（2021·罗平县第二中学高二月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上是奇函数，也是增函数 B．函数在上是奇函数，也是减函数
C．函数在上是偶函数，也是增函数 D．函数在上是偶函数，也是减函数
20．（2021·湖南郴州·）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（2020·河南南阳·高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
题型八：指数函数的最值问题（参数、恒成立）
22．（2021·四川高一开学考试）若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．（2019·四平市第一高级中学高一期末）已知（且），若有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2020·江西省临川第二中学）若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
题型九：指数函数的应用
25．（2021·广东深圳·高一期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ）
A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍
26．（2021·全国高一专题练习）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（ ）
A．125天 B．100天 C．75天 D．50天
27．（2021·全国高一专题练习）渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（ ）考数据：
A．23分钟 B．33分钟 C．50分钟 D．56分钟
【双基达标】
一、单选题
28．（2020·丽水外国语实验学校高一月考）设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
29．（2019·长沙市南雅中学高一月考）下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ）
A．y=|x| B． C． D．
30．（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·江苏高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·广西高一期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在上是减函数
C．是奇函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是增函数
33．（2020·全国高一单元测试）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
34．（2021·全国高一课时练习）已知（，且），且，则a的取值范围是（ ）
A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）
C．（－∞，1） D．（0，1）
35．（2021·全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
36．（2021·上海）函数且的图像（ ）
A．与的图像关于轴对称 B．与的图像关于坐标原点对称
C．与的图像关于轴对称 D．与的图像关于坐标原点对称
37．（2021·全国）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
38．（2021·江苏高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
39．（2021·河南高一期末（文））函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
40．（2021·全国高一专题）已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
41．（2021·全国）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
42．（2021·全国高一课时练习）已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝（ ）
A．1 B．3
C．4 D．2
43．（2021·安徽省太和中学高一月考）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
44．（2021·云南省永善县第一中学）已知函数（a，），则下列结论正确的有（ ）
A．存在实数a，b使得函数为奇函数
B．若函数的图象经过原点，且无限接近直线，则
C．若函数在区间上单调递减，则
D．当时，若对，函数恒成立，则b的取值范围为
45．（2021·全国高一专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图像关于原点对称 B．的图像关于y轴对称
C．的值域为 D．，且
46．（2021·江苏吴江中学高一期中）已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则下列函数中不符合上述条件的是（ ）
A． B． C． D．
47．（2021·全国高一专题练习）已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
48．（2021·山东潍坊·高一期末）若函数（且）在上为单调函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
49．（2021·浙江）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，函数，以下结论正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．的值域是
三、填空题
50．（2021·上海金山·高一期末）函数的值域为________.
51．（2021·镇雄县第四中学）已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________.
52．（2021·全国高一课时练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________.
53．（2021·全国高一专题练习）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的_____
54．（2021·全国高一课时练习）函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
四、解答题
55．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·齐齐哈尔中学高一期中）已知函数.
（1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图；
（2）根据函数的图象，写出函数的单调区间﹔
（3）若，求实数的值.
56．（2021·全国高一专题练习）已知函数是R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
57．（2021·河北正定中学）设函数f(x)=ax-a-x(x∈R，a>0且a≠1).
（1）若f(1)<0，求使不等式f(x2+tx)＋f(4-x)<0恒成立时实数t的取值范围；
（2）若，g(x)=a2x＋a-2x-2mf(x)且g(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m的值.
58．（2021·全国高一课时练习）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且），
（1）若，求.
（2）记，求的最小值.
59．（2021·全国高一专题练习）已知函数
（1）若，求a的值
（2）记在区间上的最小值为
①求的解析式
②若对于恒成立，求k的范围
60．（2021·江苏）已知函数．
（1）解不等式；
（2）若函数在上有零点，求m的取值范围；
（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.
【答案详解】
1．C
【详解】
因为是指数函数，
所以，解得.
故选：C．
2．D
【详解】
对于选项A：，因为不满足底数且，故不是指数函数，故选项A不正确；
对于选项B：不满足指数函数前系数等于，故不是指数函数，故选项B不正确；
对于选项C：没有指出的范围，当且时才是指数函数，故选项C不正确；
对于选项D：是指数函数，故选项D正确，
故选：D
3．D
【详解】
设，且 即
因为
所以D正确
故选D
4．A
【详解】
由题意，，得，所以.
故选：A
5．A
【详解】
要使函数有意义，必须且只需,解得，
故选：A.
6．A
【详解】
要使函数有意义，则需，
即为，解得，，则定义域为.
故选：A.
7．C
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域是，
故选：C.
8．C
【详解】
因为指数函数在区间上是增函数，所以，
于是即.
故选:C.
9．C
【详解】
令，
因为，则，
又因为为单调递增函数，
所以.
故选：C
10．D
【详解】
当时，为增函数，当时，且，
故A，B 不符合.
当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.
故选：D.
11．D
【详解】
因时，不论取符合条件的任何实数，所对应函数值均为2，即，均有，
于是得函数的图像过定点，
所以P的坐标是.
故选：D
12．D
【详解】
因为，所以是增函数；排除AB选项；
二次函数开口向上，对称轴，排除C选项；即D正确；
故选：D.
13．B
【详解】
，，
∵递增，且，
∴，即.
故选：B.
14．C
【详解】
∵，，
∴．
故选：C．
15．A
【详解】
因为函数在上的增函数，且，
所以，即
又，所以，
所以.
故选：A.
16．D
【详解】
因为是单调递减函数，
又
所以，
故选：D.
17．（1）；（2）.
【详解】
（1）由题意，
则，解得
综上所述，结论是：.
（2）由（1）知，则是上的增函数，
因为
则，
解得
综上所述，结论是：
18．
【详解】
解：等价于或，
即或，
或，
∴不等式的解集为．
19．A
【详解】
，故为奇函数，排除C、D；
令，则，又，，
∴，即，即为增函数，排除D.
故选：A
20．B
【详解】
函数，
令，
因为，
所以是偶函数，其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增，
所以的图象关于对称，且在 上递减，在上递增，
若使得不等式成立
则，
即，
解得，
所以实数的取值范围是
故选：B
21．A
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
所以根据复合函数单调性可知，的单调递增区间为
故选：A
22．B
【详解】
由得，
，所以的最小值为，
所以，．
故选：B．
23．B
【详解】
由题意分情况讨论：
①当时，
当时，单调递增，此时；
当时， 单调递减；
，单调递增，
故时，的最小值为，
故若有最小值，则；
② 当时，
当时，单调递减，此时；
当时，单调递增，此时，
故若有最小值，则，解得，
综上实数的取值范围是
故选：B
24．D
【详解】
当时，在单调递增，所以，解得：，所以此时，，
当时，在单调递减，所以，解得：
，所以此时，，
所以m的值为或，
故选：D
25．C
【详解】
某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为，则，
经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：
经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故选：C.
26．C
【详解】
解析：由题意知，当时，有．
即，得．
所以当时，有．
即，得．
所以．
故选：C
27．B
【详解】
由题意可得，解得．
故．
令，即，
两边同时取对数，故分钟
故选：B
28．B
【详解】
解：∵，
函数是减函数，，∴，∴.
又函数是R上的增函数，，∴，即，
综上可得，，
故选：B.
29．D
【详解】
，在定义域内都不是单调递增的，不满足题意，
在定义域上单调递减，不满足题意，
在定义域上单调递增，满足题意，.
故选：D
30．B
【详解】
由可得，
因为在上单调递增，
所以即，解得：，
所以，即函数的值域是，
故选：B.
31．C
解：满足对任意，都有成立，
在上是减函数，
因为
，解得，
的取值范围是．
故选：．
32．C
【详解】
解：，定义域为
，
为奇函数，故可排除，；
又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
在上是增函数，符合题意，可排除；
故选：．
33．A
【详解】
由，可得，
因为由图像可知函数是减函数，所以，所以，
因为，
所以，所以，
故选：A
34．D
【详解】
由，且，排除AC；
∵，
当时，为单调递减函数，∴，与已知矛盾矛盾，故B错误；
当时，为单调递增函数，∴，符合题意.
故选：D.
35．A
【详解】
与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
36．D
【详解】
函数y=a-x是把y=-ax中的x换成-x，把y换成-y，
所以两个函数的图像关于原点对称，
故选：D.
37．D
【详解】
当时，由，则，
即，解得或，
所以或，
又因，所以；
当时，，
由，即，即，
即，解得，
所以，
又因，所以，
综上所述：不等式的解集为.
故选：D.
38．B
【详解】
要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为.
故选：B.
39．D
【详解】
令，则，
故原函数化为，
当时，可得最小值为．
故选：D．
40．D
【详解】
解：根据题意，是定义在，上的偶函数，则有，则，
同时，即，则有，必有，
则，其定义域为，，
则，设，若，则有，
在区间，上，且为减函数，
在区间，上为增函数，
则在，上为减函数，其最大值为，
故选：．
41．C
【详解】
，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
42．C
【详解】
由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,
故选：C.
43．A
【详解】
由，得．
当时，，
所以B，D错误；
当时,，所以C错误．
故选：.
44．ABC
【详解】
A.当时，，此时为奇函数，故选项A正确；
B.为偶函数，在区间上为减函数，图象过点，且以x轴为渐近线.
若函数的图象经过原点，且渐近线为时，，，选项B正确;
C.因为偶函数，在区间上为减函数，
故若函数在区间上单调递减，则，选项C正确：
D.当时，,，若恒成立，得，即，而，此时，，
当时，，得，若恒成立，得，
当时，，得，
若恒成立，得，即，而，因此得，
选项D不正确，
故选:ABC.
45．ACD
【详解】
的定义域为关于原点对称,
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A正确，选项B不正确；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，
则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D正确；
故选：ACD
46．ABD
【详解】
A：由在定义域上的值域为，显然不符合，；
B：在定义域上单调递增，但在定义域上有，即为奇函数，不符合题设函数性质；
C：在定义域上是偶函数，在上单调递增，且，符合题设函数的性质；
D：由幂函数的性质知：在上单调递减，不合题设函数性质；
故选：ABD.
47．ACD
【详解】
对于A，，则，
则为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.
对于B，计算，，故的图象不关于y轴对称，故B错误.
对于C，，，
故，易知：，故的值域为,故C正确.
对于D，，
因为在上为增函数，为上的减函数，
由复合函数的单调性的判断法则可得在上单调递减，
故，且，恒成立，故D正确.
故选：ACD.
48．ABD
【详解】
解：因为函数（且）在上为单调函数，
所以或，解得或，所以满足条件的有ABD；
故选：ABD
49．ACD
【详解】
函数，定义域为R，
又指数函数是单调递增的，可知是单调递减的，取值为，
故是单调递增的，值域为，故A正确；
当时，，当时，，
故的值域是，D正确；
又，故是奇函数，即C正确；
因为，故，，故，即，故不可能是偶函数，B错误.
故选：ACD.
50．
由指数函数的性质知：，
∴.
故答案为：
51．
由题意，的值域为：
要使得：的值域为
必为减函数，因此
可作出函数图象如图，由图象可知解之得.
故答案为：
52．
【详解】
原不等式可变形为，因为指数函数为增函数，
则有，
即对一切实数恒成立.
①当时，，满足题意；
②当时，若二次函数大于0恒成立，则需且，
即且，解得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
53．36倍
【详解】
某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为，则，
经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：
经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故答案为：36倍
54．（1，＋∞）
【详解】
设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝，易知F（x）是奇函数，F（x）＝＝＝1－在R上是增函数，
由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0，
于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1.
答案：（1，＋∞）
55．
解：（1）函数的简图如下:
（2）由图可知，函数的增区间为，减区间为；
（3）由，及函数的单调性可知，
若则实数的值为或.
56．
解：（1）由函数是R上的奇函数知，
即，解得.
（2）由（1）知.
任取，则
因为，所以，所以，
又因为，故，
所以，即
所以在上为减函数.
（3）不等式可化为
因为是奇函数，故
所以不等式可化为
由（2）知在上为减函数，故即
即对于任意，不等式恒成立.
设易知
因此
所以实数的取值范围是.
57．【详解】
（1），即，而，则，解得，显然在上单调递减，
又，于是得在上是奇函数，
从而有等价于，
由原不等式恒成立可得，即恒成立，亦即，解得：，
所以实数的取值范围是：；
（2），即，而，解得：，
所以，
令，显然在上单调递增，则，
，对称轴为，
当时，，解得或(舍)，则，
当时，，解得：不符合题意，
综上得，
所以实数m的值为2.
58．（1）；（2）.
（1）是奇函数，是偶函数，
由，①
得，②
①②得，①②得.
又，，，
.
（2）由（1）可得，故，
由基本不等式可得，
令，则且，设，
当即时，；
当即时，，
故.
59．（1）；（2）①；②.
【详解】
（1）
所以；
（2）①，
令，所以，
令或.
当时，；
当时，；
当时，.
所以.
②函数的图象如图所示，
从函数的图象和解析式可以看出函数单调递减，
因为对于恒成立，
所以，
所以.
所以.
60．（1）；（2）；（3）.
解：（1）因为，
所以
设，，
原不等式可化为，
整理可得，解得，
即，解得，
所以不等式的解集为．
（2）设，由可得，
则，
令，
由二次函数的知识可得，当时，，当时，，
故函数的值域为，
函数有零点等价于方程有解，等价于在的值域内，
故的取值范围为
（3）由题意得解得
即，对任意恒成立，
又时，令，则，
因为在上单调递增，
当时，有最大值，
所以
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