资源简介

4.3　对　数
【考点梳理】
重难点技巧：对数的概念
考点一　对数的有关概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N.
考点二　对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
考点三　对数的性质
1．1的对数为零．
2．底的对数为1.
3．零和负数没有对数．
重难点技巧：对数的运算
考点四一　对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
考点五　换底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
【题型归纳】
题型一：指数式与对数式的互化
1．（2021·内蒙古赤峰·高一）若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏高一专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C．10 D．1
3．（2021·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3
C．=与log8=- D．log77=1与71=7
题型二：对数运算性质的应用
4．（2021·全国高一专题练习）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）已知方程的两根为，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（2021·安徽芜湖一中高一月考）
计算
（1）
（2）
题型三：、对数换底公式的应用
7．（2021·全国高一课时练习）已知，，都是大于1的正数，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·江苏省平潮高级中学高一期中）已知，，则（ ）（结果用，表示）
A． B． C． D．
9．（2021·全国高一课时练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【双基达标】
一、单选题
10．（2022·全国高三专题练习）设2a＝5b＝m，且，则m等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国高三）已知函数，则（ ）
A． B．-1 C．0 D．1
12．（2020·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2021·绥德中学高一月考）若是上周期为3的偶函数，且当时，，则（ ）
A． B．12 C． D．
14．（2021·山西太原市·太原五中高三月考（文））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：）
A． B． C． D．
15．（2021·全国高三专题练习）对任何，都有( )成立.
A． B．
C． D．
16．（2021·河北张家口·）已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·江西高安中学高一月考）已知实数，满足，下列5个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
18．（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））若a＞0且a≠1，则“MN＞0”是“"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．（2021·全国高一课时练习）对于且，下列说法正确的是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则.
A．①② B．②③④
C．② D．②③
【高分突破】
一：单选题
20．（2020·江苏泰州·）已知，，则可以用和表示为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·全国高一单元测试）有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
22．（2021·广东金山中学高二开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国高三专题练习）若函数是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．0
24．（2022·全国高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．log32 B． C．log23 D．
25．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，已知“牛郎星”的星等是，“心宿二”的星等是，“牛郎星”的亮度是“心宿二”的倍，则与最接近的是当较小时，（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·全国高三月考（理））已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2021·全国高一专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2021·江西南昌·高一期末）已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．15
29．（2021·全国高一单元测试）的值是（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·上海高一专题练习）若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；
③logax＝－loga；④＝logax；
⑤＝loga.
其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、多选题
31．（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2020·莆田第七中学高一月考）若，且，，，且，则下列各式不恒成立的是（ ）
①；②；
③；④.
A．① B．② C．③ D．④
33．（2021·全国高一专题练习）设和分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值.为了方便研究，科学家用分别来记录甲、乙两种细菌的信息，其中 .以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若今天的值比昨天的增加1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了10个.
D．已知，假设科学家将乙菌的个数控制为5万，则此时
34．（2021·全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　)
A．与lg 1＝0 B．＝与log27＝－
C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝5
35．（2021·全国高一专题练习）若，，，，则下列各式中，恒等的是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2021·全国）若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
37．（2021·浙江高一单元测试）已知，则=________．
38．（2021·全国高一单元测试）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数，现有以下几种说法：
①；
②若今天的值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时 (注：)．
则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)
39．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知，则的值为___________．
40．（2021·长沙市明德中学高一开学考试）计算：______
41．（2021·安徽省亳州市第一中学）定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则_________________．
四、解答题
42．（2021·上海高一专题练习）（1）已知log23=a，log25=b，试用含a、b的代数式表示log20.6；
（2）已知log32=a，3b=5，试用含a、b的代数式表示log3；
（3）若24a=12.将下列各式用含a的代数式表示：
①log242; ②log243.
（4）已知log32=a，把log296写成含a的代数式；
（5）已知lg2=a，把log225写成含a的代数式.
（2021·全国高一）
计算（1）；
（2）
44．（2021·全国）已知.
求（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）正数满足，求的取值范围.
45．（2021·全国高一课时练习）已知loga3＝m，loga2＝n．
（1）求am＋2n的值；
（2）若0＜x＜1，x＋x－1＝a，且m＋n＝log32＋1，求x2－x－2的值．
46．（2021·全国高一练习）计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
47．（2021·全国高一练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2）
（3）
48．（2021·全国）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.
（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
【答案详解】
1．A
【详解】
因为，则，所以，，故.
故选：A.
2．B
【详解】
解：因为，，
所以，
因为
则．
故选：B．
3．B
【详解】
对于A，e0=1可化为0=loge1=ln 1，所以A中互化正确；
对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；
对于C，=可化为log8=-，所以C中互化正确；
对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确.
故选：B.
4．C
【详解】
对于A：，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：∵,∴，故C正确，
对于D：，故D不正确，
故选： C.
5．D
【详解】
∵方程的两根为，，
∴，
∴.
故选：D．
6．（1）；（2）.
【详解】
（1）
.
（2）
原式.
7．B
【详解】
解：因为，，，
所以，，，
即，
∴，
∴．
故选：B．
8．A
解：
将已知代入得：．
故选：A．
9．B
【详解】
由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
10．D
【详解】
由等式（）两边取对数，
可得，
所以
∴.
故选：D.
11．D
【详解】
，
.
故选：D
12．B
【详解】
因为，所以，则x=2.
故选：B.
13．C
【详解】
因为是上周期为3的偶函数，且当时，，
所以，
，
故选：C
14．B
【详解】
当时，，当时，，
因为
所以将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了23%，
故选：B.
15．B
【详解】
∵，
∴，，
∴.
故选:B.
16．D
由题意，知，因为，所以.
又有两个实根、，所以，解得.
故选：D.
17．A
【详解】
由，两边取常用对数得：，
因为，
当时，，
当时，成立；
当时，，
故选：A
18．B
【详解】
因为，故当时，没有意义，故充分性不满足；
当成立时，显然，此时一定有，必要性满足。
综上所述，“MN＞0”是“"的必要不充分条件。
故选：B.
19．C
【详解】
①中若M，N小于或等于0时，不成立；
②根据对数的运算易得，故正确；
③中M与N也可能互为相反数；
④中当M＝N＝0时不正确．所以只有②正确.
故选：C
20．C
【详解】
故选：C.
21．C
【详解】
对于①：因为，所以，故①正确；
对于②：因为，所以，故②正确；
对于③：由，得，故，故③错误；
对于④：由，得，故，故④错误，
所以正确的是①②，
故选：C.
22．C
【详解】
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
所以等价于，
所以即，
因为在区间上单调递增，
所以，所以，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
23．C
因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即．
当时，，定义域为，且，故符合题意；
当时，，定义域为，且，故符合题意；
故选：C.
24．C
【详解】
方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.
故选：C
25．C
【详解】
设“牛郎星”的星等是，“心宿二”的星等是，“牛郎星”的亮度是，“心宿二”的亮度是，则，，，
因为两颗星的星等与亮度满足，
所以，即，
所以，
所以与最接近的是，
故选：C.
26．C
【详解】
由题意得，即，则有，
代入上式有，化简得，即，
因为，所以，，则，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选：.
27．A
【详解】
首先，，
因为，，所以，所以，因为，所以.
故选：A.
28．A
【详解】
解：因为，所以，
所以，
故选：A.
29．B
【详解】
解：.
故选：B.
30．A
【详解】
根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③与⑤正确．
故选：A.
31．ABD
【详解】
由题意，
，
，
，
故选：ABD．
32．AC
【详解】
若x<0，则①错误；
易知，则,所以，②正确；
若x<0，y<0，则③错误；
∵，∴，∴，④正确.
故选：AC.
33．AD
【详解】
因为甲、乙两种细菌的个数乘积为定值，所以，
所以，即，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
若，则，若，则，此时增加了个，故C错误；
若，则，
所以，故D正确.
故选：AD
34．ABD
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
35．BCD
【详解】
解：因为，，，，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：BCD
36．BCD
【详解】
A选项，若,则，说法正确；
B选项，时不满足条件，说法错误；
C选项，若，则，不一定，说法错误；
D选项，时不满足要求，说法错误；
故选 ：BCD
37．9
由，得，
所以，
故答案为：9.
38．③
【详解】
当nA＝1时，PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
B菌的个数为nB＝5×104，
∴，∴.
又∵，∴
故选③．
39．
【详解】
因为，所以，
所以.
故答案为：
40．
【详解】
原式.
故答案为：
41．
【详解】
由题意可得，所以，，
所以，函数是以为周期的周期函数，
，则，
所以，.
故答案为：.
42．（1）a-b；（2）；（3）①1-a，②3a-2；（4）；（5）.
解：（1）因为log23=a，log25=b，所以log20.6=
（2）因为3b=5，所以b=log35，
所以log3=
（3）因为24a=12，所以a=log2412，
所以①log242=
②log243=
（4）因为log32=a，所以log296=
（5）因为lg2=a，所以log225=
43．（1）；（2）.
【详解】
解：（1）
；
（2）
.
44．（1）；（2）25；（3）.
解：（1）因为，
所以，，，
所以，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，
此时取得最小值；
（2），
，
当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值25；
（3）因为，当且仅当时取等号，
解得，所以，
因为正数满足，所以，
故的取值范围.
45．（1）12；（2）－3．
解：（1）由loga3＝m，loga2＝n得am＝3，an＝2，
因此am＋2n＝am·a2n＝3×22＝12．
（2）∵m＋n＝log32＋1，∴loga3＋loga2＝loga6＝log36，即a＝3，因此x＋x－1＝3．
于是(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝5，
由0＜x＜1知x－x－1＜0，从而x－x－1＝－，
∴x2－x－2＝(x－x－1)(x＋x－1)＝－3．
46．（1）；（2）
【详解】
（1）原式=；
（2）原式= .
47．（1）3；（2）1；（3）-7.
【详解】
（1）原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2
=3lg 5+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2
=3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)
=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.
（2）原式=
（3）原式=
48．（1），；（2）.
【详解】
（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的，
所以，该元素的存量与时间（年）的关系式为，；
（2）由可得，
所以，，.
因此，该古生物距今大约年.
试卷第1页，共3页

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