资源简介

4.4对数函数
【考点梳理】
考点一：对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
重难点技巧：对数函数的图象和性质
考点二：对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
考点三:不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0考点四：反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
　重难点技巧：不同函数增长的差异
考点五：三种常见函数模型的增长差异
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升
增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长
增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
【题型归纳】
题型一：对数函数的概念与解析式
1．（2021·全国高一课时练习）给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·全国高一课时练习）若函数为对数函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高一课前预习）设（且），若，则（ ）.
A．2 B． C． D．
题型二：对数函数的定义域（复合型对数函数）
4．（2021·全国）若对数有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，3） B．
C．∪（1，+∞） D．∪（1，3）
5．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国高一单元测试）函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
题型三：对数函数的值域问题
7．（2021·安徽芜湖一中高一月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·深圳实验学校高中部高一月考）函数的值域是（ ）
A． B．R C． D．
9．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学）若函数()的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：对数函数的图像问题
10．（2021·全国高一专题练习）函数的图象必过的点是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·江苏省西亭高级中学）函数与（且）的图象经过同一个定点，则的值是（ ）
A．4 B．-1 C．3 D．
12．（2021·湖南湘西·高一期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
题型五：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数）
13．（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·丽水外国语实验学校高一月考）已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·石家庄市藁城区第一中学高一月考）若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
题型六：对数函数的单调性比较大小
16．（2021·广西桂林市·高一月考）若，则三者大小关系为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·天津红桥区·高一学业考试）设， ，， 则（ ）
A．cC．c18．（2021·四川眉山市·仁寿一中）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型七：对数函数的单调性解不等式
19．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2020·安徽马鞍山·高一月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21．（2021·湖南）已知函数，则的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八：反函数问题
22．（2019·陕西镇安中学高一期中）已知函数的图象如下图所示，函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
23．（2020·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）已知函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·江西省兴国县第三中学高一月考）已知函数f(x)=log2x的反函数为g(x)， 且有g(a)g(b)=16， 若a>0， b>0， 则 的最小值为（ ）
A．9 B． C．4 D．5
题型九：指数函数与对数函数的综合
25．（2021·新疆昌吉回族自治州第二中学）已知函数，若，则（ ）
A． B． C．0 D．或
26．（2020·广东佛山一中）|log2x|＝1是2|x|＝4的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
27．（2020·张家口市第一中学高一月考）设函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【双基达标】
一、单选题
28．（2021·全国高一课时练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（ ）
A．∪ B．∪ C． D．
29．（2021·庆阳第六中学高一期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·广西桂林市·高一月考）已知函数（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递减 D．在上单调递增
31．（2021·全国高一专题练习）下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（ ）
A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳
B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快
C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳
D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快
32．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（ ）
A．B．C． D．
33．（2020·张家口市第一中学高一）若函数在上单调递减，实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
34．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知a＝log0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
35．（2021·四川巴中·高一期末（理））已知是奇函数，当时，（其中为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．（2021·河北安平中学）设是定义域为的偶函数，若，都有，则大小关系正确的为（ ）
A． B．
C． D．
38．（2021·广东高一期末）已知函数，若正实数、、、互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
39．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知函数在R上是单调函数，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
40．（2021·兴仁市凤凰中学高一期末）设若，，，则（ ）
A． B． C． D．
41．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
42．（2020·云南）若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
43．（2021·广东高一期末）设命题甲：，是真命题，命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么乙是甲的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
44．（2021·上海高一专题练习）将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，再沿轴负方向移动2个单位，得到图像，在下列函数的图像中，与图像关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
45．（2021·上海市金山中学高一月考）若，则下列命题中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
46．（2021·江苏高一课时练习）已知函数，则的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
47．（2021·广东）已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．{x|x>2} B． C．{或x>2} D．{或x>2}
二、多选题
48．（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）在同一坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．时，
49．（2021·汕头市潮师高级中学高一月考）给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（ ）
A．函数的图象过定点
B．化简的结果为25
C．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是
D．若（，），则
50．（2021·广东高一期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
51．（2021·湖南）设函数，下列四个命题正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．若，其中，，，则
C．函数在（1，2）上为单调递增函数
D．若，则
52．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中真命题为（ ）
A．函数的图象关于轴对称
B．当时，是增函数，当时，是减函数
C．函数的最小值是
D．当或时，是增函数
三、填空题
53．（2021·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高一月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是________ .
54．（2021·河北高一期末）函数的单调递减区间为___________.
55．（2021·上海高一期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.
56．（2021·浙江学军中学高一竞赛）已知函数，则关于x的不等式的解集是___________．
四、解答题
57．
（2021·上海）（1）若不等式在内恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知函数且．当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围．
58．（2021·广西桂林市·高一月考）已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集．
59．（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为-2，求实数的值.
60．（2021·汕头市第一中学）已知函数在上的最大值与最小值之和为．
（1）求实数的值；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
61．（2021·曲周县第一中学高一开学考试）已知函数（，）
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，求关于的不等式的解集；
（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
62．（2020·全国）已知函数，函数．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
63．（2021·安徽滁州·）已知函数，若点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函的相关函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）对任意的，的图象总在其相关函数图象的上方，求实数的取值范围.
【答案详解】
1．A
【详解】
①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
2．B
【详解】
由题可知：函数为对数函数
所以或，又且
所以
故选：B
3．C
【详解】
因为（且），，
所以，即，解得，
所以，
所以.
故选：C
4．D
【详解】
由已知，得且，
故选：D.
5．C
【详解】
解：要使函数有意义，则， 解得或，所以函数的定义域为.故选：C．
6．D
解：函数的定义域为：，即或，
所以定义域为：.
故选：D.
7．D
【详解】
设，，
因为函数的值域为，所以要能取到的所有数，
当时，满足条件；
当时，，得；
当时，不成立.
综上可知，.
故选：D
8．A
【详解】
由，得，
令，则，
因为，，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以，
所以函数的值域为，
故选：A
9．C
【详解】
当时，，当且仅当时取等号，
依题意得，，当时，，，不符合要求，于是得，在上递增，
从而得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
10．D
【详解】
，则当，即时，是与的值无关的定值，
故函数的图形必过的点是.
故选：D.
11．D
【详解】
因为函数（且）经过定点，函数（且）的图象经过定点，由题意知，即，故，
故选：D
12．D
【详解】
因为，，是减函数，是增函数，只有D满足．
故选：D．
13．D
【详解】
对于函数，有，解得或，
故函数的定义域为，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.
故选：D.
14．A
【详解】
解：因为为上的减函数，
所以有，
解得，
故选：A.
15．D
解：当时，，因为函数在区间内恒有，
，
函数，由和复合而成，
因为时，在上是增函数，所以只要求的单调增区间．
的单调递增区间为，
的单调增区间为，
故选：．
16．D
【详解】
由题得，
由题得.
所以.
故选：D
17．B
解：因为，，，
所以
故选：B
18．A
【详解】
令，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，，
所以，且，
因为在上单调递增，所以，
所以，
故选：A.
19．D
【详解】
当时，不等式即，可得，解得：；
当时，不等式即，即，所以，
解得：或（舍），所以，
综上所述：不等式的解集为，
故选：D.
20．A
【详解】
解：由，解得，
由，得，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
21．D
由题意，若，则不等式可化为，
解得，
若，则不等式可化为，
解得，
故a的取值范围是.
故选：D.
22．C
由图象可得，，故，又函数的图象与的图象关于直线对称，故与互为反函数，故
故选：C
23．C
函数的反函数图象过点，
函数的图象必过点.
故选：C.
24．B
【详解】
由条件可知，，，
，
当，即时等号成立，因为，解得：，，
所以的最小值是.
故选：B
25．D
【详解】
当时，,解得;
当时，,解得,
故选：D.
26．D
【详解】
∵|log2x|＝1，
∴x＝2或；
∵2|x|＝4＝22，
∴x＝2或-2．
故选：D
27．B
【详解】
因为，
所以或
所以或
故选：B.
28．B
【详解】
要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义，
则
解得 或 .
故选：B．
29．C
【详解】
∵函数的定义域为，
所以恒成立，
当时，显然不合题意，
当时，则
∴
综上所述
故选：C.
30．D
【详解】
在上分别递减，在上递增，
在上递减，在上递增，则在上递减，在上递增，
∴在上递增.
故选：D
31．C
【详解】
观察函数、、在区间上的图象如下图所示：
函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
函数在区间上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．
函数的图象递减速度比较平稳．
故选：C.
32．D
【详解】
由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.
所以，
因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C.
故选：D.
33．B
【详解】
若函数在上单调递减，则，得.
故选：B.
34．A
解：∵log0.53＜log0.51＝0，∴a＜0，
∵20.3＞20＝1，∴b＞1，
∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：A．
35．D
【详解】
由是奇函数得，又时，，
所以.
故选：D．
36．A
【详解】
定义在上的函数满足，所以为偶函数，
当时，为增函数，
由结合偶函数图象的对称性可知，
两边平方并化简得，解得.
所以不等式的解集为.
故选：A
37．D
【详解】
因为若，都有，所以在上单调递增；因为是定义域为的偶函数，所以，
因为，所以，而在上单调递增，所以，
故，即
故选：D.
38．A
解析：如图所示：正实数、、、互不相等，不妨设
∵
则，∴，∴
且，，∴
故选：A
39．C
【详解】
当时，为增函数，则在上为增函数，且，
A.在上为增函数，，故不符合条件；
B.为减函数，故不符合条件；
C.在上为增函数，，故符合条件；
D.为减函数，故不符合条件．
故选：C．
40．A
因为，，，所以可得的大小关系为.
故选：A.
41．B
【详解】
令，得，
所以函数且的图像恒过定点，
设幂函数为，
因为点在幂函数的图象上，
所以，解得，
所以，
故选：B
42．A
【详解】
∵是幂函数，∴，，∴过定点.
故选：A
43．A
【详解】
因为，，故即，
因为在上单调递减，故即，
因为真包含了，
故乙是甲的充分不必要条件.
故选：A.
44．B
【详解】
将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，得到，
再沿轴负方向移动2个单位，得到图像，
则图像的对应的函数为，
则图像关于直线对称的是．
故选：B.
45．D
【详解】
解：因为，所以，即，
对于A：因为在定义域上单调递减，又，所以，故A正确；
对于B：因为在单调递减，又，所以，故B正确；
对于C：因为在单调递减，又，所以，故C正确；
对于D：当（或）时（），此时（或）无意义，故D错误；
故选：D
46．D
解：根据题意，，
所以，在区间上，在轴下方有图象，排除，
又，而，有，不会是增函数，排除，
故选：．
47．C
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.
【详解】
依题意，不等式，
又在上是增函数，所以，
即或，解得或.
故选：C.
48．ABC
【详解】
由图象可知，，所以AB选项错误.
当时，，所以C选项错误.
当时，，所以，所以D选项正确.
故选：ABC
49．BD
【详解】
对于A，函数的图象过定点，A错，
对于B，，B对，
对于C，由函数（且）在上是减函数，
可得，且，所以，故C错误；
对于D，令，若，则，即，又，在上单减，所以，所以故D对，
故选：BD.
50．AD
因为，
所以，
所以，故选项A正确；
当时，，故选项B错误；
又，故选项C错误；
由指数函数和幂函数的单调性得，故选项D正确.
故选；AD.
51．BC
【详解】
A选项，的定义域为，所以是非奇非偶函数，A错误.
B选项，由于，，，
所以，B正确.
C选项，，
由，的开口向下，对称轴为，
根据复合函数单调性同增异减可知函数在（1，2）上为单调递增函数.C正确.
D选项，，，
所以，
即，
由于，，所以不成立，D错误.
故选：BC
52．ACD
的定义域为，关于原点对称，且满足，
所以函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故A是真命题；
当时，，令，则，由对勾函数的性质可知在上是减函数，
在上是增函数，又在定义域上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，在上是减函数，在上是增函数，故B是假命题；
当时，（当且仅当时取等号），又是偶函数，所以函数的最小值是，故C是真命题；
当时，是减函数，当时，是增函数，又是偶函数，所以根据复合函数的单调性知，
当或时，是增函数，故D是真命题．
故选：ACD．
53．
解：因为函数的定义域是，即，所以，所以，即，即，所以，即函数的定义域为
故答案为：
54．
【详解】
由题知：，解得或.
令，则为减函数.
所以，为减函数，为增函数，
，为增函数，为减函数.
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
55．
对于函数，令，可得，则，
故函数的图象恒过定点，
因为点在直线上，则，可得，
因为、，所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
56．
解：令，，则，定义域为，
则，，所以，为奇函数，又，在定义域上单调递增，
所以为定义域上的奇函数，所以关于对称，
因为，
所以关于对称，
所以，即
则，即，即
所以，解得，即
故答案为：
57．（1）；（2）.
【详解】
（1）由，得，
在同一坐标系中作和的图象，如图所示．
要使在内恒成立，
只要在内的图象在图象的上方，于是.
∵时，，
∴只要时，，
∴，即.
又，
∴
即实数m的取值范围是.
（2）∵且，设，
则单调递减，
当时，的最小值为.
∵当时，恒有意义，
即时，恒成立．
∴，∴
又且，∴或，
∴实数a的取值范围为.
58．
（1）要使有意义，则，解得：．
∴的定义域为.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知： 且，
∴为奇函数，得证．
（3）∵在内是增函数，由，
∴，解得，
∴不等式的解集是.
59．（1）；（2）.
【详解】
（1）由得,
所以函数的定义域为.
（2），
设，
所以，又，则
当时，，值域为
当时，，值域为.
所以当时，函数有最小值，解得
60．（1）；（2）
解：（1）因为函数在上的单调性相同，
所以函数在上是单调函数，
所以函数在上的最大值与最小值之和为，
所以，解得和（舍）
所以实数的值为.
（2）由（1）得，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以对于任意的，恒成立，
当时，为单调递增函数，
所以，所以，即
所以实数的取值范围
61．（1）；（2）；（3）.
（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；
（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.
（3）设，，设，，
故，，故：，
又∵对任意实数恒成立，
故：.
62．（1）[－4，﹢∞)；（2）．
（1）由题意得
，
即的值域为[－4，﹢∞)．
（2）由不等式对任意实数恒成立得，
又，
设，则，
∴，
∴当时，=．
∴，即，
整理得，即，
解得，
∴实数x的取值范围为．
63．（1）；（2）.
所以所求不等式的解集为；
（2）因为在函数上，所以，即，所以的相关函数为，
∵对任意的，的图象总在其相关函数图象的上方，
∴当时，恒成立，
即恒成立，
由，，，得，
∴在此条件下，即时，恒成立，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，故实数的取值范围为.
试卷第1页，共3页

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