资源简介

5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
【考点梳理】
考点一；A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
重难点规律：
【题型归纳】
题型一：正（余）型函数图像的平移伸缩变换
1．（2021·江西·九江一中高一月考）已知曲线，曲线的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到
B．将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的倍得到
C．将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得
D．将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的倍得到
2．（2021·全国·高一课时练习）由函数的图象得到函数的图象的变换方法可以是 （ ）
A．将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍
B．将的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍
C．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度
D．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向左平移个单位长度
3．（2021·北京·北大附中高一期中）要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
题型二：求图像变化前后的解析式
4．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·上海市延安中学高一期中）若函数的图像向右平移个单位后与函数的图像重合，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图像关于直线对称
C．是函数的一个零点
D．函数在区间上严格增函数
6．（2021·陕西阎良·高一期末）把函数图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个的长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：三角函数性质的综合问题
7．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
8．（2021·云南·宾川四中高一月考）已知（其中ω>0），的最小正周期是π．
（1）求ω的值及此时的对称中心；
（2）若将的图象向左平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得到的图象，求在的取值范围．
9．（2021·山东淄博·高一期末）已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求函数的单调减区间和在区间上的最值.
题型四：函数y＝Asin(ωx＋φ)的恒等式变换求性质问题
10．（2020·广东·仲元中学高一期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求在上的值域；
（3）将的图象向右平移得到函数的图象，若，探究在上是否存在零点．
11．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）已知函数.
（1）当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间；
（2）若的图像向右平移个单位得到的函数在上仅有一个零点，求ω的取值范围．
12．（2020·安徽·淮北市树人高级中学高一月考）已知函数（，），且函数的最小正周期为．
（1）求函数的对称轴；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的最值．
【双基达标】
一、单选题
13．（2021·全国·高一课时练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·江苏·高一课时练习）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
15．（2021·陕西·绥德中学高一月考）函数，，的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
16．（2021·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于点对称，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021·全国·高一课时练习）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，且直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·云南省楚雄天人中学高一月考）设函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位
C．当时，函数的最小值为
D．函数的图象关于直线对称
20．（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知函数（其中，），为函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
21．（2021·福建福州·高一期末）将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线，把向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．是的一条对称轴
C．在上的最大值为 D．在上单调递增
【高分突破】
一：单选题
22．（2021·河南·高一月考（理））已知函数，为了得到的图象，则只需将的图象（ ）
A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
23．（2021·甘肃·天水市第一中学高一期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的单调递增区间为
C．的图象关于直线对称
D．的图象可以由函数向左平移个单位得到
24．（2021·全国·高一期末）已知函数（为常数，，）在处取得最小值，若将向左平移个单位，得，则下列关于叙述正确的有（ ）
A．为偶函数，在内单调递增 B．
C．为奇函数且一条对称轴为 D．它的图象关于轴对称
25．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数的图象关于直线对称，且对任意，都有，则当取最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的一个对称中心为点
B．函数图象的一条对称轴方程为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
D．函数在上单调递减
26．（2021·全国·高一课时练习）函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．若把的图象平移个单位可得到的图象，则
B．，恒成立
C．对任意，，，，
D．若，则的最小值为
二、多选题
27．（2021·广东·汕头市潮师高级中学高一月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在单调递增
C．函数在上的值域为
D．把函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
28．（2021·重庆复旦中学高一开学考试）函数在一个周期内的图象如图所示,则
A．该函数的解析式为
B．该函数的对称中心为
C．该函数的单调递增区间是
D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到该函数图象
29．（2021·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一月考）如图所示，点是函数(，)图象的最高点， 是图象与轴的交点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·全国·高一专题练习）已知函数且对于 都有成立．现将函数 的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 B．函数相邻的对称轴距离为
C．函数是偶函数 D．函数在区间上单调递增
31．（2021·江苏省丹阳高级中学高一月考）将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是
A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为
C．的图象关于点对称 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
32．（2021·全国·高一单元测试）已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）.
A．函数的图像关于直线对称
B．当时，函数的最小值为
C．若，，则的值为
D．要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位
三、填空题
33．（2019·全国·高一专题练习）函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则=___________.
34．（2021·四川省广安代市中学校高一月考）关于函数有下列命题：
①其表达式可写成；②直线是图象的一条对称轴；
③的图象可由的图象向右平移个单位长度得到；
④存在，使恒成立．
其中正确的是__________（填写正确的番号）．
35．（2021·江西·九江一中高一月考）设偶函数的部分图象如图所示，为等腰直角三角形， 则的值为_________．
36．（2021·河南新乡·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，，给出以下说法：
①将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象；
②的图象关于直线x=1对称；
③的图象关于点成中心对称；
④在上单调递减.
其中所有正确说法的编号是___________
四、解答题
37．（2021·全国·高一课时练习）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
①的最小正周期为，且是偶函数；
②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且；
③直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，且．
问题：已知函数，若______．
（1）求，的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调递减区间．
38．（2021·全国·高一课时练习）已知函数的图象与y轴的交点为，且在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的增区间和函数图象的对称中心；
（3）若方程在上有解，求实数m的取值范围.
39．（2021·上海市建平中学高一期中）已知函数．
（1）求的最小正周期及的最小值；
（2）将函数的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的，得到的图像，求的严格增区间．
40．（2021·河北武强中学高一月考）已知函数，其中，函数图像上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值.
（1）求函数的解析式.
（2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将向左平移个单位，得到函数图象，求函数的单调递增区间.
（3）若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.
41．（2021·北京市顺义区第一中学高一期中）已知函数
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值；
（3）若时，的最小值为，求的最大值
42．（2021·湖北武汉·高一期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原米的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）写出函数的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求实数和正整数，使得在上恰有2021个零点.
43．（2021·山东潍坊·高一期中）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值；
（3）若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【答案详解】
1．A
【详解】
因为图象过，故，而，故，
又图象在轴右侧的第一个对称中心为，故，
故，故.
将变化为， 可先把向右平移个单位，得到的图象对应的函数为，
然后，纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，则可得，
故选：A.
2．C
【详解】
若先作平移变换，则需用去取代，因此A和B选项均不正确.
若先作伸缩变换，将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
所得图象对应的函数为.
再用取代，即可得到函数的图象，
也即再向右平移个单位长度，
故选：C
3．C
【详解】
，
因此要得到函数的图象，
只需把函数的图象向左平移个单位，
故选：C
4．C
解：把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，
可得的函数图像，
再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，
所以.
故选：C.
5．D
【详解】
函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，
，
对于A，的最小正周期为，故A错误 ；
对于B，当，，故直线不是函数的对称轴，故B错误；
对于C，当，，故不是函数的零点，故C错误；
对于D，当时，，在上单调递增，故D正确．
故选：D．
6．C
【详解】
由已知的函数逆向变换，
第一步：向右平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，
所以，
故选：C.
7．C
【详解】
∵函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，∴，即.
∵直线是其中一条对称轴，∴，解得：.
所以.
对于A：函数的最小正周期为，故A错误；
对于B：当时，，所以不单调，故B错误；
对于C：当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，故C正确；
对于D：将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像，再向左平移个单位长度，得到，故D错误.
故选：C
8．（1），对称中心为;（2）.
【详解】
（1）
，
依题意，
所以.
，
所以的对称中心为
（2）将的图象向左平移个单位得到，
再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得到.
，
所以.
9．（1）；（2）最大值为，最小值为.
解：（1）由函数的部分图象可知：
，，
因为，所以，所以，
把点代入得：，即，.
又因为，所以，
所以；
（2）先将的图象横坐标缩短到原来的，可得的图象，
再向右平移个单位，可得的图象.
由，，可得，
即，，因此减区间是，
因为，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，即时，有最大值为；
而，，所以当时，有最小值为.
10．
（1） ，
所以函数的最小正周期；
（2）由（1）知，
由，得，所以，
所以，所以，
即函数在上的值域为；
（3）
易知，
所以，，
因为，，，
所以在上存在零点．
11．
（1）
解：因为，
所以
，
由的图象关于直线对称，可得，
所以解得，
又因为，所以当时，.
所以，令，
解得，
又由，所以，或，
即在上的单调递增区间为和.
（2）
解：由已知得，令得，
即，因为在上仅有一个零点，
所以，
由于，所以得，
解得因为，所以，所以.
12．（1）（）；（2），.
【详解】
（1）
．
因为的最小正周期为，故，所以．
故，
其对称轴满足（），故其对称轴为（）．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，
因此．
令，由于故，所以，
所以当，即时，；当，即时，．
13．A
【详解】
由题意，知．因为为奇函数，所以，所以．又，所以当时，取得最小值．
故选：A
14．C
【详解】
将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，
再的图象向左平移个单位长度，可得，
所以所求得象的函数解析式为.
故选：C.
15．D
【详解】
由图所知，，即，又，所以；
故，又因为在函数上，
所以，解得，，，
又因为，所以.
故选：D.
16．D
【详解】
由题，则将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，图象关于点对称则
故函数的解析式为
故选：D
17．A
【详解】
根据函数（，，）的部分图象，可得，，∴．结合五点法作图可得，∴，．
将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得的图象．再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象．令，求得，可得函数的单调递增区间为，，令，可得一个增区间为.
故选：A.
18．C
【详解】
解析：由题意可知，，
由和是函数图象的两条相邻的对称轴，得，解得，
于是，解得，
所以.
由题意，得，，解得，，结合，得.
故.
故选：C．
19．B
【详解】
函数的最大值为，所以.
图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以，，，
的图象关于点对称，所以，由于，所以.
所以.
A选项，，区间是的减区间的子集，所以在区间上递减，故A错误.
B选项，的图象向右平移个单位得到，B正确.
C选项，，，，所以C错误.
D选项，，所以D错误.
故选：B
20．B
【详解】
因为为函数的一个零点，且是函数f（x）图像的一条对称轴，
所以，所以，所以；
因为函数在区间上单调，
所以，即，所以，所以，
又因为，所以，
当时，，又，
所以函数在区间上不单调，所以舍去；
当时，，
又，，
所以函数在区间上单调，所以.
故选：B.
21．B
解：由题意得，
所以函数的最小正周期，故A错误；
当时，，所以是的一条对称轴，故B正确；
当时，则，所以在上的最大值为2，故C错误；
当时，则，所以函数在不具有单调性，故D错误.
故选：B.
22．D
【详解】
由于函数
所以，为了得到的图象，则只需将的图象向左平移个长度单位．
故选：D.
23．D
【详解】
对于A：的最小正周期，故A错误；
对于B：要求的单调递增区间，只需，解得：，即的单调递增区间为；故B错误；
对于C：因为，所以不是的对称轴；故C错误；
对于D：向左平移个单位得到，即为，故D正确.
故选：D
24．D
【详解】
因为为最小值，所以，所以，
所以，所以，
将向左平移个单位可得，
所以，所以，
显然是非奇非偶函数，所以A,C错误，
又，所以B错误，
又为最小值，所以是对称轴，故正确；
故选：D.
25．D
【详解】
因为图象关于直线对称，所以，
又因为对任意，都有，所以为函数的最小值，
所以，
故，因为
当时，，又因为，所以，
所以，
令，即，
所以函数图象的对称中心为，，则，故A错误；
令，即，
所以函数图象的对称轴为，，则，故B错误；
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数
，故C错误；
因为在上单调递减；
，即，
所以函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，故D正确；
故选：D.
26．D
【详解】
由图象可得，函数的最大值为，即，
又由，即，且，所以，所以，
因为且为单调递减时的零点，所以，
可得，，由图象知，可得，
又由，所以，所以，
对于A中，因为的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，
可得，所以A错；
对于B中，令，，得对称轴为，，则B错；
对于C中，函数单调递增区间的长度，最大为，故C错；
对于D中，由，因为，所以且，设，使最小，即绝对值最小的零点，
令，，可得，，
由时，，所以，所以D正确.
故选：D.
27．BC
【详解】
函数
对于A，当时，，故图像不关于点对称，故A错误；
对于B，由得，当时，知函数在单调递增，故B正确；
对于C，由，知，由正弦函数性质知，，故C正确；
对于D，函数的图象向左平移个单位长度可得到函数，故D错误；
故选：BC
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;由求减区间.
28．ACD
【详解】
由图可知,函数的周期为,故.即,代入最高点有.因为.故.故A正确.
对B, 的对称中心：.故该函数的对称中心为.故B错误.
对C,单调递增区间为,解得.故C正确.
对D, 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到.故D正确.
故选：ACD
29．BC
【详解】
由题知的纵坐标为，又，所以，，
所以，所以的周期，所以，，故B正确；
所以，故C正确；，故A错误，
将代入函数解析式可得：，()，故D错误.
故选：BC.
30．ABCD
【详解】
因为对于都有成立
所以， ，
所以对于 都成立，
可得的周期，所以，
所以，
将函数的图象向右平移 个单位长度，可得
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得 ，
对于选项A:
，
故选项A正确；
对于选项B：函数周期为，所以相邻的对称轴距离为 ，故选项B正确；
对于选项C：是偶函数，故选项C正确；
对于选项D：当，，所以函数 在区间上单调递增，故选项D正确，
故选：ABCD
31．ABD
【详解】
.
，
对于，当时，，关于直线对称，正确；
对于，当时，，，，正确；
对于，当时，，，关于点对称，错误；
对于，向右平移个单位得：，正确.
故选：.
32．BD
【详解】
因为函数的最大值为，
所以.
因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，
所以，
，
又因为的图像关于点对称，
所以，
所以，
即
因为，
所以.
即
对选项A：，故错误.
对选项B，，
当取得最小值，故正确.
对选项C，，
得到.
因为，故错误.
对选项D，的图像向右平移个单位得到
，故正确.
故选：BD
33．
34．②④#④②
【详解】
对①，若，令，显然等式不成立，①错误；
对②，因为，所以直线是图象的一条对称轴，②正确；
对③，因为函数的图象向右平移个单位长度得到的图象解析式为，③错误；
对④，函数的最小正周期为，所以当时，等式成立，④正确．
故答案为：②④．
35．
【详解】
由题意，因为为等腰直角三角形，所以,
所以，则，而函数是偶函数，所以，又，故，于是.
所以.
故答案为：.
36．①②③
【详解】
令函数周期为T，观察图象得，即，则，
又当时，取得最大值，于是有，因，则有，
所以，
因，即g(x)的图象可以由y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到，①正确；
由得函数图象的对称轴为，于是得直线x=1是g(x)图象的一条对称轴，②正确；
由得，图象的对称中心为，则点是图像的一个对称中心，③正确；
当时，，所以在单调递减，在上单调递增，④错误.
故答案为：①②③
37．
（1）
选条件①：（1）∵的最小正周期为，
∴，∴．又是偶函数，∴对恒成立，∴对恒成立，
∴，∴．又，∴．
选条件②：∵函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，
∴，∴．
又，∴，即，
∴，
又，∴．
选条件③：∵直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，
∴，即，∴．
又．∴，∴，又，∴．
（2）
由（1）无论选择①②③均有，，，
将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，
纵坐标不变，得到的图象．
由，
得，
∵，∴，
∴在上的单调递减区间是．
38．
解：由的图象在y轴右侧的第一个最高点和最低点的坐标分别为，，得，，
∴，从而，
又的图象与y轴交于点，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）
解：由（1）可知，
令，得.
故函数的增区间为，
令，得，
∴函数图象的对称中心为；
（3）
解：∵，
∴，
∴，
又方程在上有解，
∴，
∴，
所以实数m的取值范围为.
39．（1），；（2）．
（1）因为
，
所以的最小正周期；
当时，；
（2）由题意可知，
因为在上单调递增，
所以，即，
所以的严格增区间
40．（1）；（2）；（3）或.
【详解】
（1）函数，其中，
由题知函数的最小正周期为，解得，
又函数在处取到最小值-2，
则，且，
即
令可得 ，
∴.
（2）函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得，再向左平移个单位可得
令，解得，
∴的单调递增区间为
（3）方程在上有两个不同的实根，
作出函数的图象，
由图可知或
解得或.
41．（1）；（2）；（3）.
【详解】
（1）；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到，与重合，
所以，由m>0,所以当k=0时，；
（3）当时，时，
因为的最小值为，所以可以取到，即，
所以，即的最大值为.
42．
（1）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度后得.
（2）设，
则，
可化为，
设，，则的图象是开口向上的抛物线一段，
当且仅当，即，
所以的取值范围是.
（3）问题可转化为研究直线与曲线的交点情况.
即.
①当或时，直线与曲线没有交点，舍去；
②当或时，直线与曲线在上有1个交点，
由函数的周期性可知，此时；
③当或时，直线与曲线在上有2个交点，
由函数的周期性可知，直线与曲线在上总有偶数个交点，舍去；
④当时，直线与曲线在上有3个交点，
由函数的周期性及图象可知，此时.
故综上所述，当或时，，
当时，在上恰有2021个零点.
43．（
解：（1）由题意得，
．
由，，得，，
可得函数的单调递增区间为，．
（2）因为，所以，
所以，
所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，
所以．
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以，解得，
所以整数的最大值为4．
（3）由题意知，，
将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得，
再向右平移个单位得，
因为关于的方程在区间上有解，整理得：
，
即（*）在区间上有解，
令，
（*）式可转化为：在内有解，
所以，，
又因为和在为增函数，
所以在为增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，
所以，
综上所述：的取值范围为．
试卷第1页，共3页

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