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5.3　诱导公式
【考点梳理】
考点一：公式二
1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
2．公式：
sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
考点二：公式三
1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
2．公式：
sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.
考点三：公式四
1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
2．公式：
sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
考点四：公式五
1．角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
2．公式：
sin＝cos α，
cos＝sin α.
考点五：公式六
1．公式：sin＝cos α，cos＝－sin α.
2．公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
大重点：诱导公式规律总结
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0～2π之间的角求值
公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三 将负角转化为正角求值
公式四 将角转化为0～之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
【题型归纳】
题型一：诱导公式一的应用
1．（2021·江苏·高一课时练习）求值：
（1）； （2）； （3）.
2．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）计算
（1）
（2）．
题型二：诱导公式二、三、四应用
3．（2021·江苏·高一课时练习）化简：
（1）；
（2）.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知．
（1）化简；
（2）若为第四象限角且，求的值；
（3）若，求．
题型三：：诱导公式五、六应用
5．（2021·全国·高一课时练习）已知．求下列各式的值：
（1）；（2）．
6．（2021·陕西·杨陵区高级中学高一月考）已知角的顶点是平面直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点．
（1）求，的值；（2）求的值．
题型四：诱导公式的化简求值
7．（2021·海南·儋州二中高一月考）已知.
（1）化简；
（2）若，且，求的值
8．（2020·四川·威远中学校高一月考）化简:
（1）设，求.
（2）已知，求.
题型五：利用诱导公式证明恒等式
9．（2019·全国·高一课时练习）求证：．
10．（2021·全国·高一课时练习）求证：．
题型六：正切函数的诱导公式的应用
11．（2021·陕西富平·高一期末）化简求值：
（1）；（2）．
12．（2021·上海师范大学第二附属中学高一月考）化简下列各式：
（1）（2）
【双基达标】
一、单选题
13．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））若，则（ ）
A． B． C．4 D．
14．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）已知的终边上有一点，则=（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·江西·九江一中高一期中）已知，则( )
A． B． C． D．
16．（2020·湖北荆门外语学校高一月考）若，则（ ）
A． B． C． D．1
17．（2021·全国·高一课时练习）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·北京市第四十三中学高一月考）已知，则（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．
20．（2020·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·安徽·淮北市树人高级中学高一期中）若，且α是第三象限角，则（ ）
A．1 B．7 C．-7 D．-1
22．（2021·辽宁·大连市一0三中学高一月考）已知点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且，则（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
23．（2021·全国·高一课时练习）设（，且，），则的值为（ ）
A． B． C．－1 D．1
24．（2021·广西·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当时，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·全国·高一课时练习）化简：=（ ）
A．-sinθ B．sinθ
C．cosθ D．-cosθ
26．（2021·陕西渭滨·高一期末）的值是（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
28．（2021·全国·高一单元测试）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
29．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·广西·防城港市防城中学高一月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90° ，则称θ与q“广义互余”已知，下列角β中：①；②；③；④.可能与角a“广义互余”的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
31．（2021·广西·全州县第二中学高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·全国·高一课时练习）已知则（ ）
A．2 B．-2 C． D．3
二、多选题
33．（2021·河北·曲周县第一中学高一月考）下列化简正确的是
A． B．
C． D．
34．（2020·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（ ）
A． B． C． D．
35．（2021·全国·高一课时练习）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
36．（2020·江苏省苏州第十中学校高一月考）已知，则（ ）
A．当时，上式的值为 B．当时，上式的值为
C．当时，上式的值为 D．当时，上式的值为
三、填空题
37．（2021·全国·高一课时练习）若角的终边落在直线上，则_____．
38．（2021·全国·高一课时练习）求值_________．
39．（2021·河南·新乡县高中高一月考）已知α为第二象限角，且则的值为______.
40．（2021·全国·高一课时练习）已知角，若角与角的终边相同，则的值为______.
41．（2021·浙江临海·高一期中）已知点是角终边上的一点，则_________．
42．（2021·上海·高一课时练习）已知是方程的根，求的值.
四、解答题
43．（2021·陕西·绥德中学高一月考）(1)计算：；
(2)化简：.
44．（2021·全国·高一课时练习）已知是方程的根．求的值．
45．（2021·江西省靖安中学高一月考）已知.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
46．（2021·陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：
（2）求值：
47．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知角的终边经过点，（），且，求的值；
（2）求值：.
48．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）（1）求函数的值域；
（2）化简：．
49．（2021·陕西韩城·高一期末）已知，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
50．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简：
（1）；
（2）.
51．（2021·湖北武汉·高一期中）已知角的终边经过点，且为第二象限角.
（1）求实数和的值；
（2）若，求的值.
【答案详解】
1．（1）；（2）；（3）.
解 （1）.
（2）
.
（3）
.
2．（1）；（2）-1.
【详解】
（1），
，
，
，
，
.
（2），
，
，
，
．
3．（1）；（2）
【详解】
（1）；
（2）.
4．（1）；（2）；（3）．
【详解】
（1）．
（2）因为，
所以．
（3）因为，，
所以
．
5．（1） ；（2） ．
【详解】
（1）原式．
（2）原式
．
6．（1），；（2）.
【详解】
因为角的终边过点，
所以，，，
所以 ，，
（2）
，
由（1）知：，
所以
所以的值为.
7．（1）；（2）.
【详解】
（1）由诱导公式；
（2）由可知
，
又∵，∴，即，
∴.
8．（1）2；（2）.
【详解】
∵，
则
.
（2）依题意得：，
∴，
∴
.
9．
证明：左边
=
右边，
所以原式或立．
10．
【详解】
证明：左边
=右边，所以原式成立．
11．（1）1；（2）．
【详解】
（1）；
（2）．
12．（1）；（2）.
解：
（1）
（2）
13．D
解：因为.
所以，
故选：D.
14．C
【详解】
由题意，所以．
故选：C．
15．B
【详解】
∵，，
∴由诱导公式可得，，
故选：B.
16．D
【详解】
由，则.
故选：D.
17．B
【详解】
由题意得，又，所以
所以，
结合解得，
所以，
故选：B.
18．B
【详解】
因为，
所以，，
所以，
故选：B
19．B
【详解】
因为，
所以，
，
，
故选：B
20．B
【详解】
，
故选：B.
21．B
【详解】
由，则.
又α是第三象限角，所以，
所以.
故选：B.
22．C
【详解】
依题意，是第二象限角，而，则，
所以.
故选：C
23．A
【详解】
∵，，且，，
∴，，
∴．
故选：A.
24．B
【详解】
∵
∴，
∴，
∴．
故选：B
25．A
【详解】
原式=，
=，
=-sinθ.
故选：A
26．A
【详解】
.
故选：A.
27．B
【详解】
由诱导公式可得：，
所以，，所以是第二象限角
故选：B
28．B
【详解】
，所以或，，
即或，
因此题中应是必要不充分条件．
故选：B．
29．B
【详解】
因为，
所以．
故选：B．
30．A
【详解】
由，得，所以，故.
由题意，a+β= 90° ，所以sinβ，，.故①③满足；对于②，由，得cos β= ，不满足；对于④，由，可得.则，不满足.故可能与角a“广义互余”的有①③.
故选：A.
31．B
【详解】
，
故选：B.
32．A
【详解】
即
，
故选：A．
33．AB
利用诱导公式，及
A选项：，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C不正确；
D选项：，故D不正确
故选：AB
34．AB
【详解】
由题意知，，.
选项A；
选项B，；
选项C，；
选项D，符号不确定.
故选：AB.
35．ABD
【详解】
由诱导公式易知A正确；
B正确，；
C错误，
；
D正确，
，
原式
∵，∴，
∴，
∴.
故选：ABD.
36．ABD
【详解】
，
当时，原式，故选项A正确；
当时，原式，，故选项B正确；
当时，原式，故选项C不正确；
当时，原式，故选项D正确，
故选：ABD
37．或
【详解】
因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角，
，
当角为第一象限角时，，；
当角为第三象限角时，，．
故答案为：或.
38．
【详解】
故答案为：
39．
【详解】
由，得，得或.
α为第二象限角，，
.
故答案为：.
40．
【详解】
.
故答案为：
41．
【详解】
点是角终边上的一点，则
.
故答案为：
42．
【详解】
即 ，解得 ， ，
， ，
，
因为，所以 ，那么原式值为.
故答案为：
43．(1)2；(2)1.
【详解】
(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得，
(2) 由诱导公式可得，
44．．
【详解】
由是方程的根，可得或（舍），
原式
．
由，可知是第三象限或者第四象限角，
当是第三象限时，，；
当是第四象限时，，；
所以或，
即所求式子的值为．
45．（1）；（2）；（3）.
【详解】
解：（1）；
（2）若，则；
（3）由，可得，
因为，，所以，
所以.
46．（1）；（2）
【详解】
（1）原式；
（2）原式
.
47．（1）或；（2）.
【详解】
（1） 角的终边经过点，由三角函数的定义，，解得. 当时，，，；当时，，，.
（2）由诱导公式可得：
48．（1）；（2）．
【详解】
解：（1）因为，显然；
当在第一象限时，、、，，所以；
当在第二象限时，、、，，所以；
当在第三象限时，、、，，所以；
当在第四象限时，、、，，所以；
综上可得；
（2）
49．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】
（Ⅰ）∵，∴.
由，解得，或（舍去）.
∴.
（Ⅱ）
.
50．（1）1；（2）．
【详解】
（1）；
（2）．
51．（1），；（2）.
【详解】
（1）由三角函数定义可知，解得，
∵为第二象限角，∴，所以．
（2）由（1）知，
试卷第1页，共3页

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