资源简介

5.4.3　正切函数的性质与图象
【考点梳理】
考点一　函数y＝tan x的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在每个开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性 对称中心(k∈Z)
【题型归纳】
题型一：正切函数的图象的应用
1．（2021·全国·高一）函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
2．（2021·上海·高一期中）函数与的图像在上的交点有（ ）
A．9个 B．13个 C．17个 D．21个
3．（2021·全国·高一课时练习）在（0，）内，使成立的的取值范围为（ ）
A．（，） B．
C． D．
题型二：正切函数的单调性的应用
4．（2021·全国·高一课时练习）已知，不通过求值，判断下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·云南隆阳·高一期中）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·江西·景德镇一中高一期中（文）），，，实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型三：正切函数的定义域、值域
7．（2021·云南·昆明二十三中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·全国·高一课时练习）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型四：正切函数的奇偶性和对称性
10．（2021·上海·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．在第一象限单调递增 B．在函数中，越大，也越大
C．当时，总有 D． 的图象关于原点对称
11．（2021·上海·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．最小正周期为
C．为图象的一个对称中心 D．其图象由的图象右移个单位得到
12．（2021·山东·齐河县第一中学高一月考）的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：正切函数图像和性质的综合应用
13．（2021·全国·高一课时练习）已知，求的值域．
14．（2021·安徽·定远县育才学校高一期中（文））设函数．
（1）求函数的定义域、周期、和单调区间；
（2）求不等式的解集．
15．（2021·全国·高二课时练习）已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求：
（1）函数的解析式；（2）满足的x的取值范围.
【双基达标】
一、单选题
16．（2021·全国·高一课时练习）函数（ ）
A．在上是增函数 B．在上是增函数，在上是减函数
C．在上是减函数 D．在上是减函数，在）上是增函数
17．（2021·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·上海·高一期末）方程的解集是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2021·云南隆阳·高一期中）与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2021·江西·景德镇一中高一期中）关于函数，下列叙述正确的是（ ）
A．最小正周期为，渐近线为直线：
B．最小正周期为，渐近线为直线：
C．最小正周期为，渐近线为直线：
D．最小正周期为，渐近线为直线：
21．（2021·山东潍坊·高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
23．（2021·江西·景德镇一中高一期末（文））函数在区间内的图象是（ ）
A．B．C．D．
24．（2021·全国·高一专题练习）函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
25．（2021·全国·高一课时练习）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
26．（2021·河南·信阳市浉河区新时代学校高一月考）函数的最小正周期是，则（ ）
A．4 B．2 C． D．2或
27．（2020·陕西·千阳县中学高一期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·全国·高一课时练习）函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·宁夏·六盘山高级中学高一月考）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2021·上海·高一课时练习）设、，那么“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
31．（2021·上海·高一课时练习）函数，的图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
32．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域内是增函数
B．函数的增区间是
C．函数的定义域是
D．函数在上的最大值为，最小值为0
33．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于中心对称
C．在区间上单调递增 D．的值域为
34．（2021·湖北十堰·高一期末）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．的值域为
D．不等式的解集为
35．（2021·山西实验中学高一开学考试）下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称
36．（2021·江苏启东·高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的对称中心的坐标为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
37．（2020·广东·深圳实验学校高中部高一月考）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数满足
B．函数在上单调递增
C．函数在区间上单调递增
D．函数图像关于点对称
三、填空题
38．（2021·全国·高一单元测试）若，则的值域为______．
39．（2021·全国·高一课时练习）函数，若，则的值为________
40．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）函数的单调递减区间为_______________.
41．（2021·上海市奉贤中学高一期中）已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为____．
42．（2021·上海·高一专题练习）利用图像，不等式的解集为____________.
四、解答题
43．（2021·全国·高一课时练习）比较下列各组中两个正切函数值的大小．
（1）与；
（2）与；
（3）与．
44．（2021·全国·高一课时练习）判断函数的奇偶性．
45．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的单调区间及对称中心．
46．（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知.
（1）求的最小正周期；
（2）若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足的值.
47．（2021·上海市七宝中学高一期中）已知函数，其中，
（1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心；
（2）若函数在上严格递增，求的取值范围；
（3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围．
【答案详解】
1．B
【分析】
采用排除法，根据函数的奇偶性以及函数在处的函数值大小，可得结果.
【详解】
由，
则
所以，即函数是偶函数
故排除A，C，
当时，，排除D.
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数解析式判断大致图象，针对这种题型常常从定义域、奇偶性、单调性、对称性、值域、特殊值入手，考验分析问题的能力，属中档题.
2．A
【分析】
直接解方程确定．
【详解】
，则或，显然的解包含在中，
，，，∴共9个．
故选：A．
【点睛】
本题考查正弦函数与正切函数图象交点问题，可通过解方程确定解的个数．
3．B
【分析】
画出和直线的图象，由图象可得不等式的解集.
【详解】
画出和直线的图象，
由图象可得,在上解集为，
故选B.
【点睛】
本题考查利用正切函数的图象解不等式，关键是掌握正切函数的图像和性质，利用数形结合思想求解.
4．C
【分析】
利用诱导公式进行化简，结合正切函数的单调性进行判断即可.
【详解】
又
即
故选：C
5．A
【分析】
由对任意，恒成立，则只要即可，根据函数的单调性求出函数的最小值即可得出答案.
【详解】
解：由对任意，恒成立，则只要即可，
因为函数和在上都是增函数，
所以函数，在上是增函数，
所以，
所以.
故选：A.
6．A
【分析】
利用三角函数的诱导公式及正切函数的单调性判断与的大小，再比较与，则答案可求．
【详解】
解：，
，
，
在上单调递增，，即，
因为
综上，，即．
故选：A
7．A
【分析】
结合正切的三角函数的定义域计算即可.
【详解】
由
故选：A
8．A
【分析】
首先由的取值范围求出的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为，所以
因为在上单调递增，所以
即
故选：A
9．A
【分析】
由题意可得，且，结合正切函数的性质可求．
【详解】
解：由题意可得，且，
且，，
解可得，，，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了正切函数的定义域的求解，属于基础题．
10．D
【分析】
取特殊值代入检验结合奇偶性定义即可判断出结果．
【详解】
在第一象限内取两个数，有
因为，但，不满足增函数定义，故A，B错；
取，有，故C错；
由的定义域为关于原点对称，且
故为奇函数，所以图象关于原点对称，D正确．
故选：D
11．C
【分析】
根据正切函数的性质逐一判断即可.
【详解】
A，由，则，
解得，定义域为，
定义域不关于原点对称，故A错误.
B，由解析式可得，故B错误；
C，由正切函数的中心对称点可得，
解得，当时，，故C正确；
D，的图象右移个单位得到，故D错误.
故选：C
12．D
【分析】
由正切函数的对称中心，可令求即可.
【详解】
由的对称中心为，
令，可得.
故选：D
13．
【分析】
令，结合已知及正切函数的性质可得，再利用二次函数的性质求的值域即可.
【详解】
令，又，
∴，故函数化为，且对称轴为．
∴当时，．
当时，．
∴的值域为．
14．（1）定义域为，周期为，增区间为，；（2），．
【分析】
（1）利用正切函数的定义域、周期性和单调性，即可求出结果；
（2）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果.
【详解】
（1）根据函数，可得，，
求得，故函数的定义域为．
周期为．
令，，得，
故函数的增区间为，．
（2）求不等式，即，∴，
求得，故不等式的解集为，．
15．（1）；（2）
【分析】
（1）根据函数的最小正周期求出，根据它的图像过点求出，根据它的图像过点，求出的值即得解；
（2）利用正切函数的图象得到，化简即得解.
【详解】
（1）由题意可得的周期为，所以，所以，
因为它的图像过点，所以，即，
所以，即.又，所以，于是.
又它的图像过点，所以，得.
所以.
（2）由（1）得，所以，即.
解得.
所以满足的x的取值范围是
16．D
【分析】
由同角间的三角函数关系化简函数，然后分类讨论即可得．
【详解】
因为．
由函数在上是增函数，知函数在上是减函数，在上是增函数，
故选：D．
17．A
【分析】
根据正切型函数的周期公式即可求解.
【详解】
函数的最小正周期是 ，
故选：A.
18．C
【分析】
把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.
【详解】
由题意，方程，可化为，
解得，，即方程的解集为.
故选：C.
19．D
【分析】
利用正切函数的定义域求解.
【详解】
由，，
得，，
则函数的定义域为.
故选：D
20．D
【分析】
直接利用正切型函数性质求解，即可得出结果.
【详解】
解：由函数可知最小正周期.
令，解得.
故选：D.
21．D
【分析】
先根据对数函数定义域的求法得到，再利用三角不等式的解法求解.
【详解】
若函数有意义，
则，
，
所以函数的定义域为.
故选：D
22．C
【分析】
根据三角函数的解析式，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．
【详解】
∵=，∴==；
图象是将=在轴下方的图像对称翻折到轴上方得到，
所以周期为，
由周期公式知，为，
为，
故选：C.
23．A
【分析】
先化简函数的表达式，再代入求出特殊函数值的符号，运用排除法可得选项.
【详解】
函数，
当时，，所以，故排除C、D选项，
当时，，所以，故排除B选项，
故选：A.
24．C
【分析】
根据正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)求出函数y=tan(3x+)图象的对称中心，即可得到选项.
【详解】
解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；
令3x+=，解得，k∈Z；
所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；
当k=3时,C正确，
故选：C.
25．B
【分析】
由条件可得，即，然后求出的单调递增区间可得答案.
【详解】
因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，
所以，所以，即
由可得
当时可得在上单调递增
因为函数在区间上是增函数，所以实数的取值范围是
故选：B
26．D
【分析】
利用求出答案即可.
【详解】
的最小正周期是，
所以，解得.
故选：D
27．D
【分析】
由，解不等式可得结果.
【详解】
由函数由意义得，
所以，，
所以，，
所以函数的定义域是.
故选：D
28．A
【分析】
解方程，，即得解.
【详解】
函数中，
令，；
解得，；
所以时，的一个对称中心是，．
故选：A．
【点睛】
方法点睛：求函数，只需解方程. 注意是不是.
29．B
【分析】
根据正切函数的单调增区间整体换元求解即可.
【详解】
解：因为函数的单调递增区间为，
所以，解得，
所以函数的单调增区间为.
故选：B
30．C
【分析】
由正切函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
由、，若，由正切函数的单调性可得，充分性成立；
若，则也成立，必要性成立；
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
31．C
【分析】
结合特值法与排除法即可得到结果.
【详解】
当时，，排除B、D选项；
当时，，排除A选项；
故选：C.
32．BD
【分析】
根据正切函数的定义域、最值、单调性判断．
【详解】
函数在定义域内不具有单调性，故A错误；
由，得，故B正确；
由，解得，故C错误；
因为函数在上是增函数，所以函数在时取得最大值，在时取得最小值0，故D正确．
故选：BD．
33．BC
【分析】
去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，即可判断．
【详解】
解：函数，
画出函数的图象，如图所示：
，的最小正周期是，
的值域为，
在区间上单调递增，
根据的图象，的图象关于中心对称，
说法正确的是BC．
故选：BC．
34．CD
【分析】
把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】
，作出的图象，如图，观察图象，
的最小正周期为，A错误；
的图象没有对称中心，B错误；
的值域为，C正确；
不等式，即时，得，解得，
所以的解集为，D正确.
故选：CD
35．ACD
【分析】
本题可根据单调递增区间为判断出A错误，然后根据最小正周期判断出B正确，再然后根据关于点成中心对称判断出C错误，最后根据正切函数没有对称轴判断出D错误.
【详解】
A项：令，即，
函数的单调递增区间为，A错误；
B项：最小正周期，B正确；
C项：令，即，
函数关于点成中心对称，C错误；
D项：正切函数没有对称轴，则函数也没有对称轴，D错误，
故选：ACD.
36．AD
【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；
对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误；
对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误；
对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案.
37．AD
【分析】
选项A. 直接化简由诱导公式，可判断；选项B. 求出函数的单调区间可判断；选项C求出的定义域可判断；选项D求出对称中心坐标可判断.
【详解】
选项A.
，故A正确.
选项B. 函数的单调递减区间：
即，
当时，函数在上单调递减，所以B不正确.
选项C. 的定义域为
由，所以函数在区间上不单调，所以C不正确.
选项D. 函数的对称中心满足：
即，所以的对称中心坐标为
当时，为函数的一个中心对称点，所以D正确.
故选：AD
38．
【分析】
分，两种情况求函数的值域，再整体讨论求解即可.
【详解】
解：当时，可得，，此时，则；
当时，可得，，此时，则．
所以函数的值域为．
故答案为：
39．0
【分析】
由，可得，然后再求出
【详解】
因为，且，
所以，得，
所以，
故答案为：0
40．
【分析】
由题得，利用正切函数的单调区间列出不等式，解之即得.
【详解】
由题意可知，则要求函数的单调递减区间只需求的单调递增区间，
由得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
41．
【分析】
联立方程组，求出交点坐标，利用三角形的面积公式求出面积.
【详解】
由，得或，因为，
所以或或，
所以函数与函数图像的交点为，，，所以的面积
故答案为：.
42．
【分析】
依题意画出函数图象，分别求出、时的取值，数形结合即可得到原不等式的解集；
【详解】
解：函数图象如下所示：
令，则，解得；
令，则，解得，
因为，所以，即原不等式的解集为，
故答案为：.
43．
（1）
（2）
（3）
【分析】
利用正切函数的单调性比较大小，角不在同一单调区间上的，利用诱导公式化为同一单调区间上角的正切值．
（1）
因为，，，且在上是增函数，
所以．
（2）
易得，
，
因为，函数在上是增函数，
所以，
即．
（3）
因为，而．
函数在上是增函数，
所以，即．
44．是奇函数
【分析】
首先求出函数的定义域，再计算即可判断；
【详解】
解：由，得或，则或，；
∴函数的定义域为，关于原点对称．
又，
∴，∴是奇函数．
45．（1），；（2）单调区间是，，；对称中心，，．
【分析】
（1）根据正切函数有意义的条件确定定义域；
（2）根据正切函数的性质求解.
【详解】
（1）函数，
，，
解得，，
函数的定义域，；
（2）函数，
令，，
解得，，
的单调区间是，，，
令，，
解得，，
函数的对称中心是，，．
46．（1）；（2），.
【分析】
（1）根据正切型函数的周期公式，即可得答案.
（2）由题意得，根据其为奇函数，可得，即可求得的表达式，根据的范围，即可得答案.
【详解】
（1）因为函数，
所以函数的最小正周期为；
（2）
若是奇函数，则，
解得，
令，解得，且，
所以，0，1，2.
故.
【点睛】
易错点为：为奇函数，不是，而是，也为奇函数.
47．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论．
（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围．
（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围．
【详解】
解：（1）由于，，，
的最小正周期为，
令，求得，，
故的图象的对称中心为，，．
（2）若函数在，上严格递增，则，求得，
即的范围为．
（3）方程在，上至少存在2021个根，
故当，时，至少有2021个根，
即，，至少有2021个根，
即当，时， 至少有2021个根．
且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021，
故至少包含2020个周期，即，
所以．
试卷第1页，共3页

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